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付録^{*1} : Hall の定理の別証明

この付録は (4.3) を少し弱くした次の主張の証明に当てられる (第 II 章の用語及び記号は自由に用いる).

(AZ.1) 3 つの分割 λ, μ, ν に対しある多項式 g_{μν}^{λ}(t) ∈ ℤ[t] があって G_{μν}^{λ}(𝔬) = g_{μν}^{λ}(q). 更に g_{μν}^{λ}(t) の次数は n(λ) − n(μ) − n(ν) 以下. そしてその t^{n}(λ) − n(μ) − n(ν) の係数は c_{μν}^{λ} に等しい.

ここでの証明は Littlewood-Richardson 則 (第 I 章, (9.2)) を用いない. そこで §3 及び §4 の結果と合わせて, Littlewood-Richardson 則の再証明を得ることになる. しかもこちらの証明の方が束置換の現れ方が自然である.

証明は第 II 章 §2 の式 (1) の係数 a_{λμ} の組み合わせ論的解釈に基づく. それを述べるためにいくつかの定義が必要になる.

組成とは非負整数の列 α = (α_{1}, α_{2}, …) であって有限個を除いて 0 になるもののことである. 従って分割は α_{1} ≥ α_{2} ≥ … なる組成である. ℕ^{+} = {1, 2, 3, …} の有限置換全体からなる群 S_{∞} が wα = (α_{w^{−1}(1),w^{−1}(2),...}) によって組成に作用する. この作用に関して α と β が共役のとき α ∼ β と記す. 明らかに各 S_{∞}-軌道は唯一の分割を含む.

分割と同様に組成に対して Young 図形を定めることができる. 組成 α の Young 図形とは集合 {(i, j); 1 ≤ j ≤ α_{i}} のこととする. i 行目に α_{i} 個の箱がある図形を思い浮かべるとよい.

α と β を組成とする. 型 α で重み β の配列とは, α の Young 図形の箱に番号をつけて, 各 i ≥ 1 について β_{i} 個の箱に i と記されるようにしたものである (形式的に言うと, 配列とは関数 A : α → ℕ^{+} であって, 各 i ≥ 1 について Card A^{−1}(i) = β_{i} となるもののことである. A が ℕ^{+} × ℕ^{+} 上定義されていて j > α_{i} なら A(i, j) = ∞ と定めておくと都合がよい). 各 x = (i, j) ∈ ℕ^{+} × ℕ^{+} に対し x^{→} = (i, j + 1) とする. 配列 α は任意の x ∈ α について A(x^{→}) ≥ A(x) (並びに A(x^{→}) > A(x)) のとき行順序的 (並びに狭義行順序的) と呼ばれる同様に列順序的配列や狭義列順序的配列が定義される.

ℕ^{+} × ℕ^{+} 上の全順序を (i, j) <_{L} (i′, j′) ⟺ j < j′もしくはj = j′かつi > i′

で定める. 最後に型 α の狭義行順序的配列 A に対し d(A) = Card {(x, y) ∈ α × α; y <_{L} x, A(x) < A(y) < A(x^{→})} と定める.

*1 この付録はこの本の初版のロシア語訳の際に A. Zelevinsky が書いたものである. 彼の了承を得て読者の便宜

を図りここに記す,

(AZ.2) λ, μ を分割, α, β を組成であって α ∼ μ かつ β ∼ λ′ とする. この時係数 a_{λμ} (第 II 章 §2) について

a_{λμ} = ∑_{A} q^{d(A)}

となる. ここで和は型 α, 重み β の狭義行順序的 A にわたる.

(AZ.2) を示す前にそれから (AZ.1) を導こう. (AZ.2) より, やはり同じ条件の和で表される多項式

∑_{A} t^{d(A)} ∈ ℤ[t]

は λ と μ のみに依存する. これを a_{λμ}(t) と記す.

(AZ.3) (a) a_{λμ}(t) は係数が全て非負.

(b) A_{λμ}(1) は (0, 1)-行列であって各行の成分の和が μ_{1}, μ_{2}, …, 列における和が λ′_{1}, λ′_{2}, … となるものの数に等しい.

(c) μ ≥ λ でなければ a_{λμ}(t) = 0. 更に a_{λλ}(t) = 1.

証明. (a) は明らか. (b) を示すには型 μ, 重み λ′ の狭義行順序的配列と主張の (0, 1) 行列との間に 1 対 1 対応があることを示せばよい. 配列 A に対し, A の i 行目が j を含んでいれば c_{ij} = 1, そうでなければ c_{ij} = 0 として行列 (c_{ij}) を定める. これが求めている全単射を与える. (c) は (a) と (b) 及び Gale-Ryser の定理 (第 I 章 §7, 例 9) から従う.

(AZ.3) (c) から (a_{λμ}(t)) は ℤ[t] 上の狭義上三角冪単行列である. 従って可逆であり, その逆行列も同じ形をしている. 従って H(𝔬) の基底 (v_{λ′}) と (u_{λ}) の間の遷移行列の成分は q を変数とする整数係数の多項式である. H(𝔬) の乗法は (v_{λ′}) を基底とした時に q によらないから, 基底を (u_{λ}) にした時の構造定数は q を変数とする整数係数の多項式である. 従って Hall 多項式 g_{μν}^{λ}(t) ∈ ℤ[t] の存在が言えた. あとはこの多項式の次数と最高次係数が分かれば良い.

(AZ.4) a_{λμ}(t) は次数 n(μ) − n(λ) 以下であり, t^{n(μ)−n(λ)} の係数は K_{μ′λ′} (第 I 章 §5) である.

これは次の組み合わせ論的な補題から従う.

(AZ.5) 型 μ, 重み λ′ の任意の狭義行順序配列 A に対し, d̃(A) で次の条件を満たす対 (x, y) ∈ μ × μ の数を記す. y は x の (同じ列の) 上にあり, A(x) < A(y) < A(^{→}). この時 (a) d(A) + d̃(A) = n(μ) − n(λ).

(b) d̃(A) = 0 と A が列順序的であることは同値.

証明. (a) 次のように記号を定める.

D(A) = {(x, y) ∈ μ × μ : y <_{L} x, A(x) ≤ A(y) < A(x^{→})},
N(μ) = {(x, y) ∈ μ × μ : y は x の上にある},
D̃(A) = {(x, y) ∈ N(μ) : A(x) < A(y) < A(x^{→})}.

すると次の式が成り立つ.

Card D(A) = d(A) + ∑_{i≥1} \binom{λ′_{i}}{2} = d(A) + n(λ),

Card N(μ) = ∑_{i≥1} \binom{μ′_{i}}{2} = n(μ),

Card D̃(A) = d̃(A).

写像 φ : D(A) → N(μ) を次のように構成する. (x, y) ∈ D(A) とし, x = (i_{1}, j_{1}) 及び y = (i_{2}, j_{2}) とする. i_{1} ≠ i_{2} である. i = max (i_{1}, i_{2}), i′ = min (i_{1}, i_{2}), j = min (j_{1}, j_{2}) とし, φ(x, y) = ((i, j), (i′, j)) と定める. この定義より φ は D(A) から N(μ) − D̃(A) の上への全単射である. これで主張が示せた.

(b) 一方の主張は明らか. 逆に A が列順序的でないと仮定する. つまり x = (i, j), y = (i′, j) ∈ μ があって i > i′ かつ A(x) < A(y). そのような組のうち j が最小のものを選ぶ. するとそれは D̃(A) に属するので d̃(A) ≠ 0.

ã_{λμ}(t) = t^{n(λ)−n(μ)}a_{λμ}(t^{−1}) とする. (AZ.4) と (AZ.5) から

(AZ.6)  ã_{λμ}(t) = ∑_{A} t^{d̃(A)}

となる. 和は型が μ で重みが λ′ である狭義列順序的な配列全体にわたる. 特に ã_{λμ}(t) ∈ ℤ[t]. 更に ã_{λμ}(0) = K_{μ′λ′}. □

ここで変数を t とする Λ 係数の多項式環 Λ[t] = Λ_{ℤ(t)} を考える. Λ[t] の要素を P (x; t) と記す. 明らかに Λ[t] は自由 ℤ(t) 加群で (e_{λ}) を基底とする. (AZ.3) (c) から行列 (ã_{λμ}(t)) は狭義上三角行列である. 従って方程式

(1)  e_{λ′} = ∑_{μ} ã_{λμ}(t)P_{μ}(x; t)

は P_{μ}(x; t) ∈ Λ[t] を決定し, それらは Λ[t] の ℤ[t] 基底をなす. f_{μν}^{λ}(t) をこの基底に関する Λ[t] の構造定数とする. 即ち

P_{μ}(x; t)P_{ν}(x; t) = ∑_{λ} f_{μν}^{λ}(t)P_{λ}(x; t).

この時任意の λ, μ, ν について f_{μν}^{λ}(t) ∈ ℤ[t] となる.

(AZ.7) (a) g_{μν}^{λ}(t) = t^{n(λ)−n(μ)−n(ν)}f_{μν}^{λ}(t^{−1}).

(b) P_{λ}(x; 0) = s_{λ}(x). 特に f_{μν}^{λ}(0) = c_{μν}^{λ} は (s_{λ}) を基底とした時の Λ の構造定数.

証明. (a) は定義より明らか. (b) を示すには, (AZ.6) から

M(e, s)_{λ′μ} = K_{μ′λ′} = Ã_{λμ}(0)

となることに注意し, 後は第 I 章 §6 の結果を用いるとよい.

残っているのは (AZ.2) の証明である. 配列の定義と d(A) の定義を組成の列の言葉で言い直す. α と β を組成として, 任意の i について α_{i} − 1 ≤ β ≤ α_{i} のとき β ⊣ α と書く. もし β ⊣ α なら, d(α, β) によって β_{i} = α_{i}, β_{j} = α_{j} − 1 かつ (j, α_{j}) <_{L} (i, α_{i}) なる (i, j) の組の数を記す.

(AZ.8) α と β を組成とし, j > r なら β_{i} = 0 だとする. 型 α, 重み β の狭義列順序的配列 A と組成の列 (α^{(0)}, α^{(1)}, …, α^{(r)}) であって 0 = α^{(0)} ⊣ α^{(1)} ⊣ … ⊣ α^{(r)} = α かつ |α^{(i)}| − |α^{(i−1)}| = β_{i} なるものとの間に 1 対 1 対応がある. 更にこの対応によって d(A) は ∑_{i≥1} d(α^{(i)}, α^{(i−1)}) の上に移る.

証明. 配列 A に対し, α^{(i)} = A^{−1}({1, 2, …, i}) と定めて列 (α^{(i)}) を作る. この対応が主張を与える.

a_{λμ} の定義 (第 II 章 §2) より (AZ.2) を示すには次の主張を証明すればよいことが容易にわかる.

(AZ.9) λ と μ を |λ| = |μ| + r なる分割とし, α を α ∼ λ なる組成とする. この時

G_{μ(1^{r})}^{λ}(𝔬) = ∑_{β} q^{d(α,β)}

となる. 但し和は β ⊣ α かつ β ∼ μ なる組成 β 全てにわたる.

証明. M をタイプが λ である有限 𝔬-加群とする. G_{μ(1^{r})}^{λ}(𝔬) はタイプ (1^{r}), コタイプ μ の部分加群 N ⊂ M の数であった. N がタイプ (1^{r}) であれば M の極小部分加群の和 S の r 次元 k-部分空間となる. G_{r}(S) をそのような部分空間全体からなる集合とする. G_{r}(S) を Schubert セルに分解しよう. (v_{i})_{i∈I} を全順序集合 I で添え字付けられた S の基底とする. G_{r}(S) の Schubert セル C_{J} は I の r-部分集合 J でパラメトライズされる. C_{J} の元は (c_{ij} ∈ k; j ∈ J, i ∈ I − J, j < i) なる座標を持つ. (c_{ij}) に対応する部分空間は基底 (v_{j} + ∑_{i} c_{ij}v_{i})_{j∈J} を持つ. G_{r}(S) が C_{J} の直和であることが知られている (そして容易に示せる). 更に Card (C_{J}) = q^{d(J)} となる. 但し d(J) は j ∈ J, i ∈ I − J かつ j < i なる組 (i, j) の数である.

M を M = ⊕_{i≥1}𝔬x_{i} と書く. ここで Ann(c_{i}) = 𝔭^{α_{i}}. I を α_{i} > 0 なる添え字 i の集合とする. π を 𝔭 の生成元と, 各 i ∈ I に対し v_{i} = π^{α_{i}−1}x_{i} と定める. (v_{i})_{i∈I} を S の k-基底になるのは明らかである. (j, α_{j}) <_{L} (i, α_{i}) の時に j ≻ i として I を順序付けする. 対応する G_{r}(S) の Schubert セルへの分割を考える. I の部分集合 J が組成 β ⊣ α に次のように 1 対 1 対応することがわかる. 即ち, J に対し i ∈ J なら β_{i} = α_{i} − 1 であり i ∈ I − J なら β_{i} = α_{i} として定まる組成 β を対応させる. この対応で d(J) は d(α, β) の中に写像される. 最後に, 部分加群 N ∈ C_{J} は全てコタイプ μ である. 但し μ は μ ∼ β なる分割である. これで (AZ.9) の証明が完了した.

注. 1. (1) で定義された多項式 P_{λ}(x; t) は Hall-Littlewood 関数と呼ばれ, 第 III 章で詳細に調べられる.

2. (AZ.9) は第 II 章 (4.6) と同値である. これは Gauss 多項式のよく知られた次の表示から分かる.

(2)  \binom{n}{r} = ∑_{J} t^{d(J)}.

ここで和は全順序 n-集合 I の r-部分集合全体にわたる. 式 (2) は第 I 章 §2, 例 3 から導くこともできるし, あるいは有限体上の Grassmannian の点の数を 2 通りに数えて導くこともできる. 後者の方法は実質的に上で議論されている.