\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}
\usepackage[enableskew]{youngtab}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\setlength{\parindent}{1zw}
\setlength{\textwidth}{42zw}
\newcommand{\ido}{\mathfrak{o}}
\newcommand{\idp}{\mathfrak{p}}
\begin{document}

\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{4}
\section*{�t�^
\footnote{
���̕t�^�͂��̖{�̏��ł̃��V�A���̍ۂ�A. Zelevinsky�����������̂ł���.
�ނ̗����𓾂ēǎ҂̕֋X��}�肱���ɋL��,}
: Hall�̒藝�̕ʏؖ�}

\noindent
���̕t�^��(4.3)�������キ�������̎咣�̏ؖ��ɓ��Ă���
(��II�̗͂p��y�ыL���͎��R�ɗp����).
\\

\noindent
(AZ.1)
3�̕���$\lambda$, $\mu$, $\nu$�ɑ΂����鑽����
$g_{\mu\nu}^\lambda(t)\in\mathbb{Z}[t]$��������
$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)=g_{\mu\nu}^\lambda(q)$.
�X��$g_{\mu\nu}^\lambda(t)$�̎�����$n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)$�ȉ�.
�����Ă���$t^n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)$�̌W����$c_{\mu\nu}^\lambda$�ɓ�����.
\\

�����ł̏ؖ���Littlewood-Richardson�� (��I��, (9.2)) ��p���Ȃ�.
������\S3�y��\S4�̌��ʂƍ��킹��, Littlewood-Richardson��
�̍ďؖ��𓾂邱�ƂɂȂ�.
������������̏ؖ��̕������u���̌���������R�ł���.

�ؖ��͑�II��\S2�̎�(1)�̌W��$a_{\lambda\mu}$�̑g�ݍ��킹�_�I���߂Ɋ�Â�.
������q�ׂ邽�߂ɂ������̒�`���K�v�ɂȂ�.

{\bf �g��}�Ƃ͔񕉐����̗�$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)$�ł����ėL����
��������$0$�ɂȂ���̂̂��Ƃł���.
�]���ĕ�����$\alpha_1\ge\alpha_2\ge\ldots$�Ȃ�g���ł���.
$\mathbb{N}^+=\{1,2,3,\ldots\}$�̗L���u���S�̂���Ȃ�Q$S_\infty$��
$w\alpha=(\alpha_{w^{-1}(1),w^{-1}(2),\ldots})$�ɂ���đg���ɍ�p����.
���̍�p�Ɋւ���$\alpha$��$\beta$�������̂Ƃ�$\alpha\sim\beta$�ƋL��.
���炩�Ɋe$S_\infty$-�O���͗B��̕������܂�.

�����Ɠ��l�ɑg���ɑ΂���Young�}�`���߂邱�Ƃ��ł���.
�g��$\alpha$��Young�}�`�Ƃ͏W��$\{(i,j);1\le j\le \alpha_i\}$�̂��ƂƂ���.
$i$�s�ڂ�$\alpha_i$�̔�������}�`���v�������ׂ�Ƃ悢.

$\alpha$��$\beta$��g���Ƃ���.
�^$\alpha$�ŏd��$\beta$��\textbf{�z��}�Ƃ�,
$\alpha$��Young�}�`�̔��ɔԍ�������,
�e$i\ge1$�ɂ���$\beta_i$�̔���$i$�ƋL�����悤�ɂ������̂ł���
(�`���I�Ɍ�����, �z��Ƃ͊֐�$A:\alpha\to \mathbb{N}^+$�ł�����,
�e$i\ge1$�ɂ���${\rm Card}\,A^{-1}(i)=\beta_i$�ƂȂ���̂̂��Ƃł���.
$A$��$\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+$���`����Ă���$j>\alpha_i$�Ȃ�
$A(i,j)=\infty$�ƒ�߂Ă����Ɠs�����悢).
�e$x=(i,j)\in\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+$�ɑ΂�$x^\to=(i,j+1)$�Ƃ���.
�z��$\alpha$�͔C�ӂ�$x\in\alpha$�ɂ���$A(x^\to)\ge A(x)$
(���т�$A(x^\to)> A(x)$)
�̂Ƃ�{\bf �s�����I} (���т�{\bf ���`�s�����I}) �ƌĂ΂��
���l�ɗ񏇏��I�z��⋷�`�񏇏��I�z�񂪒�`�����.

$\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+$��̑S������
\[(i,j)<_L(i',j')\iff j<j' \mbox{��������} j=j'\mbox{����} i>i'\]
�Œ�߂�.
�Ō�Ɍ^$\alpha$�̋��`�s�����I�z��$A$�ɑ΂�
\[d(A)={\rm Card}\,
\{(x,y)\in\alpha\times\alpha; y<_Lx, A(x)<A(y)<A(x^\to)\}\]
�ƒ�߂�.
\\

\noindent
(AZ.2)
$\lambda$, $\mu$�𕪊�,
$\alpha$, $\beta$��g���ł�����$\alpha\sim\mu$����$\beta\sim\lambda'$�Ƃ���.
���̎��W��$a_{\lambda\mu}$ (��II��\S2)�ɂ���
\[a_{\lambda\mu}=\sum_A q^{d(A)}\]
�ƂȂ�.
�����Řa�͌^$\alpha$, �d��$\beta$�̋��`�s�����I$A$�ɂ킽��.
\\

(AZ.2)�������O�ɂ��ꂩ��(AZ.1)�𓱂���.
(AZ.2)���, ��͂蓯�������̘a�ŕ\����鑽����
\[\sum_At^{d(A)}\in\mathbb{Z}[t]\]
��$\lambda$��$\mu$�݂̂Ɉˑ�����.
�����$a_{\lambda\mu}(t)$�ƋL��.
\\

\noindent
(AZ.3)
(a) $a_{\lambda\mu}(t)$�͌W�����S�Ĕ�.\\
(b) $A_{\lambda\mu}(1)$��$(0,1)$-�s��ł����Ċe�s�̐����̘a��
$\mu_1,\mu_2,\ldots$, ��ɂ�����a��$\lambda'_1,\lambda'_2,\ldots$�ƂȂ���̂�
���ɓ�����.\\
(c) $\mu\ge\lambda$�łȂ����$a_{\lambda\mu}(t)=0$. 
�X��$a_{\lambda\lambda}(t)=1$.
\begin{proof}
(a)�͖��炩.
(b)�������ɂ͌^$\mu$, �d��$\lambda'$�̋��`�s�����I�z��Ǝ咣��$(0,1)$�s��
�Ƃ̊Ԃ�1��1�Ή������邱�Ƃ������΂悢.
�z��$A$�ɑ΂�, $A$��$i$�s�ڂ�$j$���܂�ł����$c_{ij}=1$, �����łȂ����
$c_{ij}=0$�Ƃ��čs��$(c_{ij})$���߂�.
���ꂪ���߂Ă���S�P�˂�^����.
(c)��(a)��(b)�y��Gale-Ryser�̒藝(��I��\S7, ��9)����]��.
\end{proof}

\noindent
(AZ.3) (c)����
$(a_{\lambda\mu}(t))$��$\mathbb{Z}[t]$��̋��`��O�p�p�P�s��ł���.
�]���ĉt�ł���, ���̋t�s��������`�����Ă���.
�]����$H(\ido)$�̊��$(v_{\lambda'})$��$(u_\lambda)$�̊Ԃ̑J�ڍs��̐�����
$q$��ϐ��Ƃ��鐮���W���̑������ł���.
$H(\ido)$�̏�@��$(v_{\lambda'})$�����Ƃ�������$q$�ɂ��Ȃ�����,
����$(u_\lambda)$�ɂ������̍\���萔��$q$��ϐ��Ƃ��鐮���W���̑������ł���.
�]����Hall������$g_{\mu\nu}^\lambda(t)\in\mathbb{Z}[t]$�̑��݂�������.
���Ƃ͂��̑������̎����ƍō����W����������Ηǂ�.
\\

\noindent
(AZ.4)
$a_{\lambda\mu}(t)$�͎���$n(\mu)-n(\lambda)$�ȉ��ł���,
$t^{n(\mu)-n(\lambda)}$�̌W����$K_{\mu'\lambda'}$ (��I��\S5) �ł���.
\\

����͎��̑g�ݍ��킹�_�I�ȕ�肩��]��.
\\

\noindent
(AZ.5)
�^$\mu$, �d��$\lambda'$�̔C�ӂ̋��`�s�����z��$A$�ɑ΂�, $\tilde{d}(A)$��
���̏����𖞂�����$(x,y)\in\mu\times\mu$�̐����L��.
$y$��$x$��(�������)��ɂ���, $A(x)<A(y)<A(^\to)$.
���̎�\\
(a)
$d(A)+\tilde{d}(A)=n(\mu)-n(\lambda)$.
\\
(b)
$\tilde{d}(A)=0$��$A$���񏇏��I�ł��邱�Ƃ͓��l.

\begin{proof}
(a)
���̂悤�ɋL�����߂�.
\begin{align*}
&D(A)=\{(x,y)\in\mu\times\mu : y<_Lx, A(x)\le A(y)<A(x^\to)\},\\
&N(\mu)=\{(x,y)\in\mu\times\mu : y\mbox{��}x\mbox{�̏�ɂ���}\},\\
&\tilde{D}(A)=\{(x,y)\in N(\mu) : A(x)<A(y)<A(x^\to)\}.
\end{align*}
����Ǝ��̎������藧��.
\begin{align*}
&{\rm Card}\,D(A)
=d(A)+\sum_{i\ge1}\binom{\lambda_i'}{2}=d(A)+n(\lambda),\\
&{\rm Card}\,N(\mu)=\sum_{i\ge1}\binom{\mu_i'}{2}=n(\mu),\\
&{\rm Card}\,\tilde{D}(A)=\tilde{d}(A).
\end{align*}
�ʑ�$\varphi:D(A)\to N(\mu)$�����̂悤�ɍ\������.
$(x,y)\in D(A)$�Ƃ�, $x=(i_1,j_1)$�y��$y=(i_2,j_2)$�Ƃ���.
$i_1\neq i_2$�ł���.
$i=\max{(i_1,i_2)}$, $i'=\min{(i_1,i_2)}$, $j=\min{(j_1,j_2)}$�Ƃ�,
$\varphi(x,y)=((i,j),(i',j))$�ƒ�߂�.
���̒�`���$\varphi$��$D(A)$����$N(\mu)-\tilde{D}(A)$�̏�ւ̑S�P�˂ł���.
����Ŏ咣��������.

\noindent
(b)
����̎咣�͖��炩.
�t��$A$���񏇏��I�łȂ��Ɖ��肷��.
�܂�$x=(i,j)$, $y=(i',j)\in\mu$��������$i>i'$����$A(x)<A(y)$.
���̂悤�ȑg�̂���$j$���ŏ��̂��̂�I��.
����Ƃ����$\tilde{D}(A)$�ɑ�����̂�$\tilde{d}(A)\neq0$.
\end{proof}

$\tilde{a}_{\lambda\mu}(t)=t^{n(\lambda)-n(\mu)}a_{\lambda\mu}(t^{-1})$�Ƃ���.
(AZ.4)��(AZ.5)����
\[\tag{AZ.6}
\tilde{a}_{\lambda\mu}(t)=\sum_At^{\tilde{d}(A)}\]
�ƂȂ�.
�a�͌^��$\mu$�ŏd�݂�$\lambda'$�ł��鋷�`�񏇏��I�Ȕz��S�̂ɂ킽��.
����$\tilde{a}_{\lambda\mu}(t)\in\mathbb{Z}[t]$.
�X��$\tilde{a}_{\lambda\mu}(0)=K_{\mu'\lambda'}$.
\quad$\square$
\\

�����ŕϐ���$t$�Ƃ���$\Lambda$�W���̑�������
$\Lambda[t]=\Lambda_{\mathbb{Z}(t)}$���l����.
$\Lambda[t]$�̗v�f��$P(x;t)$�ƋL��.
���炩��$\Lambda[t]$�͎��R$\mathbb{Z}(t)$���Q��$(e_\lambda)$�����Ƃ���.
(AZ.3) (c)����s��$(\tilde{a}_{\lambda\mu}(t))$�͋��`��O�p�s��ł���.
�]���ĕ�����
\[\tag{1}e_{\lambda'}=\sum_{\mu}\tilde{a}_{\lambda\mu}(t)P_\mu(x;t)\]
��$P_\mu(x;t)\in\Lambda[t]$�����肵, 
������$\Lambda[t]$��$\mathbb{Z}[t]$�����Ȃ�.
$f_{\mu\nu}^\lambda(t)$�����̊��Ɋւ���$\Lambda[t]$�̍\���萔�Ƃ���.
����
\[P_\mu(x;t)P_\nu(x;t)=\sum_{\lambda}f_{\mu\nu}^\lambda(t)P_\lambda(x;t).\]
���̎��C�ӂ�$\lambda$, $\mu$, $\nu$�ɂ���
$f_{\mu\nu}^\lambda(t)\in\mathbb{Z}[t]$�ƂȂ�.
\\

\noindent
(AZ.7)
(a)
$g_{\mu\nu}^\lambda(t)=t^{n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)}f_{\mu\nu}^\lambda(t^{-1})$.
\\
(b)
$P_\lambda(x;0)=s_\lambda(x)$.
����$f_{\mu\nu}^\lambda(0)=c_{\mu\nu}^\lambda$��$(s_\lambda)$�����Ƃ�������
$\Lambda$�̍\���萔.
\begin{proof}
(a)�͒�`��薾�炩.
(b)�������ɂ�, (AZ.6)����
\[M(e,s)_{\lambda'\mu}=K_{\mu'\lambda'}=\tilde{A}_{\lambda\mu}(0)\]
�ƂȂ邱�Ƃɒ��ӂ�, ��͑�I��\S6�̌��ʂ�p����Ƃ悢.
\end{proof}

�c���Ă���̂�(AZ.2)�̏ؖ��ł���.
�z��̒�`��$d(A)$�̒�`��g���̗�̌��t�Ō�������.
$\alpha$��$\beta$��g���Ƃ���, 
�C�ӂ�$i$�ɂ���$\alpha_i-1\le\beta\le\alpha_i$�̂Ƃ�
$\beta\dashv\alpha$�Ə���.
����$\beta\dashv\alpha$�Ȃ�, $d(\alpha,\beta)$�ɂ����$\beta_i=\alpha_i$,
$\beta_j=\alpha_j-1$����$(j,\alpha_j)<_L(i,\alpha_i)$�Ȃ�$(i,j)$�̑g�̐����L��.
\\

\noindent
(AZ.8)
$\alpha$��$\beta$��g���Ƃ�, $j>r$�Ȃ�$\beta_i=0$���Ƃ���.
�^$\alpha$, �d��$\beta$�̋��`�񏇏��I�z��$A$�Ƒg���̗�
$(\alpha^{(0)},\alpha^{(1)},\ldots,\alpha^{(r)})$�ł�����
$0=\alpha^{(0)}\dashv\alpha^{(1)}\dashv\ldots\dashv\alpha^{(r)}=\alpha$
����$|\alpha^{(i)}|-|\alpha^{(i-1)}|=\beta_i$�Ȃ���̂Ƃ̊Ԃ�1��1�Ή�������.
�X�ɂ��̑Ή��ɂ����$d(A)$��$\sum_{i\ge1}d(\alpha^{(i)},\alpha^{(i-1)})$
�̏�Ɉڂ�.
\begin{proof}
�z��$A$�ɑ΂�,
$\alpha^{(i)}=A^{-1}(\{1,2,\ldots,i\})$�ƒ�߂ė�$(\alpha^{(i)})$�����.
���̑Ή����咣��^����.
\end{proof}

$a_{\lambda\mu}$�̒�` (��II��\S2) ���(AZ.2)�������ɂ͎��̎咣���ؖ�����΂悢
���Ƃ��e�Ղɂ킩��.
\\

\noindent
(AZ.9)
$\lambda$��$\mu$��$|\lambda|=|\mu|+r$�Ȃ镪���Ƃ�,
$\alpha$��$\alpha\sim\lambda$�Ȃ�g���Ƃ���.
���̎�
\[G_{\mu(1^r)}^\lambda(\ido)=\sum_\beta q^{d(\alpha,\beta)}\]
�ƂȂ�.
�A���a��$\beta\dashv\alpha$����$\beta\sim\mu$�Ȃ�g��$\beta$�S�Ăɂ킽��.
\begin{proof}
$M$���^�C�v��$\lambda$�ł���L��$\ido$-���Q�Ƃ���.
$G_{\mu(1^r)}^\lambda(\ido)$�̓^�C�v$(1^r)$, 
�R�^�C�v$\mu$�̕������Q$N\subset M$�̐��ł�����.
$N$���^�C�v$(1^r)$�ł����$M$�̋ɏ��������Q�̘a$S$��$r$����$k$-������ԂƂȂ�.
$G_r(S)$�����̂悤�ȕ�����ԑS�̂���Ȃ�W���Ƃ���.
$G_r(S)$��Schubert�Z���ɕ������悤.
$(v_i)_{i\in I}$��S�����W��$I$�œY�����t����ꂽ$S$�̊��Ƃ���.
$G_r(S)$��Schubert�Z��$C_J$��$I$��$r$-�����W��$J$�Ńp�����g���C�Y�����.
$C_J$�̌���$(c_{ij}\in k;j\in J,i\in I-J,j<i)$�Ȃ���W������.
$(c_{ij})$�ɑΉ����镔����Ԃ͊��$(v_j+\sum_ic_{ij}v_i)_{j\in J}$������.
$G_r(S)$��$C_J$�̒��a�ł��邱�Ƃ��m���Ă��� (�����ėe�ՂɎ�����).
�X��${\rm Card}\,(C_J)=q^{d(J)}$�ƂȂ�.
�A��$d(J)$��$j\in J$, $i\in I-J$����$j<i$�Ȃ�g$(i,j)$�̐��ł���.

$M$��$M=\oplus_{i\ge1}\ido x_i$�Ə���.
������${\rm Ann}(c_i)=\idp^{\alpha_i}$.
$I$��$\alpha_i>0$�Ȃ�Y����$i$�̏W���Ƃ���.
$\pi$��$\idp$�̐�������, �e$i\in I$�ɑ΂�$v_i=\pi^{\alpha_i-1}x_i$�ƒ�߂�.
$(v_i)_{i\in I}$��$S$��$k$-���ɂȂ�͖̂��炩�ł���.
$(j,\alpha_j)<_L(i,\alpha_i)$�̎���$j\succ i$�Ƃ���$I$�������t������.
�Ή�����$G_r(S)$��Schubert�Z���ւ̕������l����.
$I$�̕����W��$J$���g��$\beta\dashv\alpha$�Ɏ��̂悤��1��1�Ή����邱�Ƃ��킩��.
����, $J$�ɑ΂�$i\in J$�Ȃ�$\beta_i=\alpha_i-1$�ł���$i\in I-J$�Ȃ�
$\beta_i=\alpha_i$�Ƃ��Ē�܂�g��$\beta$��Ή�������.
���̑Ή���$d(J)$��$d(\alpha,\beta)$�̒��Ɏʑ������.
�Ō��, �������Q$N\in C_J$�͑S�ăR�^�C�v$\mu$�ł���.
�A��$\mu$��$\mu\sim\beta$�Ȃ镪���ł���.
�����(AZ.9)�̏ؖ�����������.
\end{proof}

\noindent
��.
1.
(1)�Œ�`���ꂽ������$P_\lambda(x;t)$��Hall-Littlewood�֐��ƌĂ΂�,
��III�͂ŏڍׂɒ��ׂ���.
\\
2.
(AZ.9)�͑�II�� (4.6) �Ɠ��l�ł���.
�����Gauss�������̂悭�m��ꂽ���̕\�����番����.
\[\tag{2}\binom{n}{r}=\sum_Jt^{d(J)}.\]
�����Řa�͑S����$n$-�W��$I$��$r$-�����W���S�̂ɂ킽��.
��(2)�͑�I��\S2, ��3���瓱�����Ƃ��ł��邵, ���邢�͗L���̏��Grassmannian��
�_�̐���2�ʂ�ɐ����ē������Ƃ��ł���.
��҂̕��@�͎����I�ɏ�ŋc�_����Ă���.
\end{document}
