\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}
\usepackage[enableskew]{youngtab}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\setlength{\parindent}{1zw}
\setlength{\textwidth}{42zw}
\newcommand{\ido}{\mathfrak{o}}
\newcommand{\idp}{\mathfrak{p}}
\begin{document}

\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{3}
\section{Hall ������}

\noindent
���̐߂ł�Hall�㐔�̍\���萔$G_{\mu\nu}^\lambda$���v�Z����.
(\S2�Ɠ��l$\ido$�̏�]�̂͗L���̂ł���Ɖ��肷��.)
$S$���^�C�v$(\mu',\nu';\lambda')$��$LR$-��Ƃ���.
$M$���^�C�v$\lambda$��$\ido$-���Q�Ƃ���.
$M$�̕������Q$N$�ł�����
����$LR$-��$S(N)$��$S$�ł�����̂̐���$G_S(\ido)$�ƋL��.
(3.4)��肻�̂悤��$N$�̓^�C�v��$\nu$, �R�^�C�v��$\mu$�ł���.

$\ido$�̏�]�̂̈ʐ���$q$�Ƃ���.
�C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂�
$n(\lambda)=\sum(i-1)\lambda_i$�ł��������Ƃ��v���o����.
\\

\noindent
(4.1)
�^�C�v$(\mu',\nu';\lambda')$��$LR$-��$S$�ɑ΂�,
$\ido$�Ɉˑ����Ȃ�
����$n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)$�̃��j�b�N������$g_S(t)\in\mathbb{Z}$��
���݂���, ���̎������藧��.
\[g_S(q)=G_S(\ido).\]
(����$G_S(\ido)$�͈ʐ�$q$�̑������ł���.)
\\

(4.1)�̏ؖ��͌�ɂ܂킷.
����$\lambda$, $\mu$, $\nu$�ɑ΂�
\[\tag{4.2}g_{\mu\nu}^\lambda(t)=\sum_S g_S(t)\]
�ƒ�`����.
�A���E�ӂ̘a�̓^�C�v$(\mu',\nu';\lambda')$��$LR$-��$S$�S�Ăɂ킽��.
���̑�������$\lambda$, $\mu$, $\nu$�ɑ΂���\textbf{Hall ������}�ƌĂ�.
�����ő�1�� (\S5�y��\S9) �ŗp�����L��$c_{\mu\nu}^\lambda$���v���o����.
�����Schur�֐��̐�$s_\mu s_\nu$�ɂ�����$s_\lambda$�̌W���ł�����.
�܂�$c_{\mu\nu}^\lambda=c_{\nu\mu}^\lambda$��������,
$c_{\mu'\nu'}^{\lambda'}$��
�^�C�v$(\mu',\nu';\lambda')$��$LR$-��̐��ɂȂ�̂ł�����.
�����(4.1)���玟�̎�������������.
\\

\noindent
(4.3)
(i)
$c_{\mu\nu}^\lambda=0$�Ȃ�Hall������$g_{\mu\nu}^\lambda(t)$�͍P���I��0.
(����$|\lambda|=|\mu|+|\nu|$����$\mu,\nu\subset\lambda$�łȂ����
$g_{\mu\nu}^\lambda(t)=0$.)
\\
(ii)
$c_{\mu\nu}^\lambda\neq0$�Ȃ�$g_{\mu\nu}^\lambda(t)$�͎���
$n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)$�ł���ō����W����$c_{\mu\nu}^\lambda$.
\\
(iii)
$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)=g_{\mu\nu}^\lambda(q)$.
($c_{\mu\nu}^\lambda$��0�ł����Ă������łȂ��Ă���������.)
\\
(iv)
$g_{\mu\nu}^\lambda(t)=g_{\nu\mu}^\lambda(t)$.

\begin{proof}
�����łȂ��̂�(iv)�����ł���.
(2.2)����C�ӂ�$\ido$�ɑ΂�
$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)=G_{\nu\mu}^\lambda(\ido)$�Ȃ̂�
�C�ӂ̑f���̙p$q$�ɑ΂�$g_{\mu\nu}^\lambda(q)=g_{\nu\mu}^\lambda(q)$.
�]����$g_{\mu\nu}^\lambda(t)=g_{\nu\mu}^\lambda(t)$.
\end{proof}

�ȉ�(4.4)����(4.10)�܂ł�p����(4.1)���ؖ�����.
�ŏ��̏����͎��̖�����������Ƃł���.
\\

\noindent
(4.4)
$M$���^�C�v$\lambda$�̗L��$\ido$-���Q,
$N$���R�^�C�v$\alpha$��$M$�̊�{�������Q�Ƃ���
(���̂Ƃ�(3.3)����$\lambda-\alpha$�͐����тł���).
$\beta$��$\alpha\subset\beta\subset\lambda$�Ȃ镪���Ƃ�,
$H_{\alpha\beta\lambda}(\ido)$��$P\subset N$�Ȃ�
�R�^�C�v$\beta$��$M$�̕������Q$P$�̐��Ƃ���.
���̂Ƃ�
\[H_{\alpha\beta\lambda}(\ido)=h_{\alpha\beta\lambda}(q)\]
�Ȃ鑽����$h_{\alpha\beta\lambda}(t)\in\mathbb{Z}[t]$�����݂���.
�X�ɂ����
\[\tag{4.4.1}
h_{\alpha\beta\lambda}(t)=t^{d(\alpha,\beta,\lambda)}
\prod_{i\ge1}[\lambda_i'-\beta_i',\beta_i'-\alpha_i'](t^{-1})\]
�Ə�����.
�A��
\[\tag{4.4.2}
d(\alpha,\beta,\lambda)=\sum_{r\le s}(\beta_r-\alpha_r)(\lambda_s-\beta_s)\]
�ł���,
�܂�$[r,s]$��$r,s\ge0$�Ȃ�Gauss������ $\begin{bmatrix}r+s\\r\end{bmatrix}$
(��1��\S2, ��1), �����łȂ����0�Ƃ���.
\begin{proof}
$\theta=\lambda-\beta$, $\varphi=\beta-\alpha$�Ƃ���.
�܂�$N_i=N\cap\idp^iM$�Ƃ���.
\[\idp^iM/N_i\cong(\idp^iM+N)?N\cong\idp^i(M/N)\]
���������邩��,
(1.4)���
\begin{align*}
l(N_i)&=l(\idp^iM)-l(\idp^i(M/N))\\
&=\sum_{j>i}(\lambda_j'-\alpha_j')
\end{align*}
�𓾂�.
�����������
\[\tag{1}n_i=l(N_i)=\sum_{j>i}(\theta_j'+\varphi_j').\]

����$P$��$N$�̕������Q��$M$�ɂ����ăR�^�C�v$\beta$�Ƃ�,
$P_i=P\cap\idp-iM=P\cap N_i$�Ƃ���.
���̂Ƃ�
\[P/P_i\cong(P+\idp^iM)/\idp^iM\]
������,
(1.4)���
\begin{align*}
l(P_{i-1})-l(P_i)&=l(P/P_i)-l(P/P_{i-1})\\
&=l((P+\idp^iM)/\idp^iM)-l((P+\idp^{i-1}M)/\idp^{i-1}M)\\
&=l(\idp^{i-1}M/\idp^iM)-l((P+\idp^{i-1}M)/(P+\idp^iM))\\
&=\lambda_i'-\beta_i'=\theta_i'
\end{align*}
����������.
�t��$P$��$N$�̕������Q��
\[\tag{2}l(P_{i-1}/P_i)=\theta_i\qquad(i\ge1)\]
�Ȃ���̂Ƃ����,
��̌v�Z���$P$��$M$�ɂ����ăR�^�C�v$\beta$�ł���.
\\
$i\ge1$�Ƃ�, $P_i$���^����ꂽ���̂Ƃ���.
$N_{i-1}$�̕������Q$P_{i-1}$��(2)�𖞂����X��
\[\tag{3}P_{i-1}\cap N_i=P_i\]
�𖞂������̂̐������߂悤.
$N_{i-1}$�̌��̗�$\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_{\theta_i'})$�ł�����
$N_i$��@�Ƃ��Đ��^�Ɨ��Ȃ��̂̐���
\[\tag{4}(q^{n_{i-1}}-q^{n_i})(q^{n_{i-1}}-q^{n_i+1})\ldots
(q^{n_{i-1}}-q^{n_i+\theta_i'-1})\]
�ł���.
�e��$\boldsymbol{x}$�ɑ΂�$P_i$��$\boldsymbol{x}$�ƂŐ�������镔�����Q
$P_{i-1}$��(2)��(3)�𖞂���.
�t�ɂ��̂悤��$P_{i-1}$��$P_i$��@�Ƃ��Đ��^�Ɨ���$\theta_i'$��$P_{i-1}$��
���̗�$\boldsymbol{x}$�����̂悤�ɍ\�������.
���̂悤�ȗ�̐���
\[\tag{5}(q^{p_{i-1}}-q^{p_i})(q^{p_{i-1}}-q^{p_i+1})\ldots
(q^{p_{i-1}}-q^{p_i+\theta_i'-1})\]
�ł���.
�A��(2)���l������
\[\tag{6}p_i=l(P_i)=\sum_{j>i}\theta_j'\]
�Ƃ���.
�]����(2)��(3)�𖞂���$N_{i-1}$�̕������Q$P_{i-1}$�̐���(4)��(5)�Ŋ�����
\[q^{\theta_i'(n_{i-1}-p_{i-1})}[\theta_i',\varphi_i'](q^{-1})\]
�ƂȂ�.
$i\ge1$�ɂ��Ă��̎��̐ς����, 
$n_{i-1}-p_{i-1}=\sum_{j\ge i}\varphi_j'$�ƂȂ�
( (1)��(6)���番���� )
���Ƃ���, ���̎��𓾂�.
\[H_{\alpha\beta\lambda}(\ido)
=q^d\prod_{i\ge1}[\lambda_i'-\beta_i',\beta_i-\alpha_i'](q^{-1}).\]
�A��
\[d=\sum_{i\le j}\theta_i'\varphi_j'.\]

$\theta_i'$�͘cYoung�}�`$\theta=\lambda-\beta$��$i$��ڂ̔��̐��ł���,
$\sum_{j\ge i}\varphi_j'$��$\varphi=\beta-\alpha$��$i$��ڈȍ~�̔��̐��ł���.
�]����
\[d=\sum_{r\le s}\varphi_r\theta_s=d(\alpha,\beta,\lambda)\]
�ƂȂ�, �����(4,4)�̏ؖ�����������.
\end{proof}

����(4.4)��$N$��$M$�̋ɏ��������Q�̘a$S$�Ƃ����,
(3.2)���$\alpha=\tilde{\lambda}$�ł���.
���̂Ƃ�$H_{\tilde{\lambda}\beta\lambda}(\ido)$�̓R�^�C�v$\beta$��
$M$�̊�{�������Q$P$�̐��ł��邩��,
\[H_{\tilde{\lambda}\beta\lambda}(\ido)=G_{\beta(1^m)}^\lambda(\ido)\]
�ł���.
�A��$m=|\lambda-\beta|=|\theta|$�Ƃ���.
���̏ꍇ$\varphi=\beta-\tilde{\beta}$������
$\varphi_i=\beta_i-\lambda_i+1=1-\theta_i$�ł���,
�w��$d=d(\tilde{\lambda},\beta,\lambda)$��
\begin{align*}
d&=\sum_{r\le s}(1-\theta_r)\theta_s\\
&=\sum_{r<s}(1-\theta_r)\theta_s=\sum_{r<s}\theta_s-\sum_{r<s}\theta_r\theta_s
\end{align*}
�ƂȂ�.
�����ŔC�ӂ�$r$�ɂ���$\theta_r=\theta_r^2$�ł��邱�Ƃ�p����.
$\sum\theta_r=m$������
\[\tag{4.5}
\sum_{r<s}\theta_r\theta_s=\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{1}{2}\sum\theta_r^2
=\dfrac{1}{2}m(m-1)\]
�ƂȂ�, �]����
\[d=\sum(s-1)\theta_s-\dfrac{1}{2}m(m-1)=n(\lambda)-n(\beta)-n(1^m)\]
�ł���.
�����(4.4)��莟�̎������藧��.
\[G_{\beta(1^m)}^\lambda(\ido)
=q^{n(\lambda)-n(\beta)-n(1^m)}
\prod_{i\ge1}[\lambda_i'-\beta_i',\beta_i'-\lambda_{i+1}'](q^{-1})\]
(�C�ӂ�$i\ge1$�ɂ���$\tilde{\lambda}_i'=\lambda_{i+1}'$�Ȃ̂�).
�����$m=|\lambda|-|\beta|$�Ȃ�C�ӂ̕���$\lambda$, $\beta$�ɂ��Đ�������.
($\lambda-\beta$�������̂łȂ���Η��ӂƂ�0�ł���.)

�����������,
\[\tag{4.6}
g_{\beta(1^m)}^\lambda(t)=t^{n(\lambda)-n(\beta)-n(1^m)}
\prod_{i\ge1}[\lambda_i'-\beta_i',\beta_i'-\lambda_{i+1}'](t^{-1})\]
�ƒ�`�����$g_{\beta(1^m)}^\lambda(q)=G_{\beta(1^m)}^\lambda(\ido)$�ł���.
\\

(4.1)�̏ؖ��̎��̒i�K�Ɉڂ�.
\\

\noindent
(4.7)
$R=(\alpha',\beta',\lambda')$��3��$LR$-��Ƃ���.
���̂Ƃ����̂悤�ȃ��j�b�N������$F_R(t)\in\mathbb{Z}[t]$������.
�܂�$F_R$��$R$�ɂ݈̂ˑ���, $n=|\beta-\alpha|$�Ƃ���
$F_R$�̎�����$n(\beta)-n(\alpha)-\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}$�ł���.
�X��$M$���^�C�v$\lambda$��$\ido$-���Q,
$P$��$M$�ɂ�����R�^�C�v$\beta$�̊�{�������Q�Ƃ����,
$M$�ɂ�����R�^�C�v$\alpha$�̕������Q$N$�ł�����$\idp N=M$�Ȃ���̂̐���
$F_R(q)$�ɓ�����.

($\beta=\lambda$�̂Ƃ��@($\lambda-\alpha$�͐����тł��邪)
$P=0$�ɂȂ�̂�, 
$N$�͊�{���Q�ł���, $F_R(t)=g_{\alpha(1^n)}^\lambda(t)$�ƂȂ�.)

\begin{proof}
$Q$��$P$�̕������Q, $\gamma$��$M$�ɂ�����$Q$�̃R�^�C�v�Ƃ���.
���̂Ƃ�$\alpha\subset\beta\subset\gamma\subset\lambda$�ł���.

$f(P,Q)$ (���т�$g(P,Q)$)��$M$�ɂ�����R�^�C�v��$\alpha$�̕������Q$N$
��$N\supset P\supset Q\supset \idp N$ (���т�$N\supset P\supset Q=\idp N)$
�Ȃ���̂̐��Ƃ���.
$g(P,P)$���v�Z���ׂ��ʂł���.
�ȉ��ł͂��ȒP�ɓ�����$f(P,Q)$���v�Z��,
���̌�M\"obius�ϊ� [R8] �ɂ����$g(P,Q)$�𓾂�.

$f(P,Q)$���v�Z���悤.
���̎����ɒ��ӂ���.
\begin{align*}
N\supset P\supset Q\supset\idp N
&\iff
N\supset P\mbox{����}N/Q\mbox{�͊�{�I}\\
&\iff
S\supset N\supset P, \mbox{ �A��} S/Q \mbox{��} M/Q \mbox{�̋ɏ��������Q�̘a}\\
&\iff
N/P\subset S/P.
\end{align*}
(3.2)�ɂ��$S$��$M$�ɂ����ăR�^�C�v$\tilde{\gamma}$�ł��邩��,
(4.4) (�����Q$M/P$�y�т��̊�{�������Q$S/P$�ɓK�p���邱��) �ɂ��
\[\tag{i} f(P,Q)=H_{\tilde{\gamma}\alpha\beta}(\ido)\]
��$\tilde{\gamma}\subset\alpha$, ����
$\gamma-\alpha$�������т̂Ƃ��ɐ��藧��.
���̑��̏ꍇ��$f(P,Q)=0$�ł���.

����Ǝ��̎��͖��炩�ł���.
\[\tag{ii} f(P,Q)=\sum_{R\subset Q}g(P,R)\]
�����Řa��$Q$�̕������Q (���������x�N�g�����) $R$�S�Ăɂ킽��.
$P$���Œ肵$Q\subset P$�𓮂�����(ii)��������ƌ����,
�����M\"obius�ϊ��ŉ����� : 
����
\[g(P,Q)=\sum_{R\subset Q}f(P,R)\mu(R,Q)\]
�ł���.
������$\mu$�̓x�N�g�����$P$�̕�����Ԃ̊i�q���M\"obius�֐��ł���,
���̎� (��L���p�����Q��)
\[\mu(R,Q)=(-1)^dq^{d(d-1)/2}\]
�ƂȂ�.
�A��$d=\dim_k(Q/R)$�Ƃ���.
�]����
\[\tag{iii}
g(P,P)=\sum_{R\subset P}(-1)^mq^{m(m-1)/2}f(P,R)\]
�ƂȂ�.
�A��$m=\dim_k(P/R)$�ł���a��$P$�̕������$R$�S�̂ɂ킽��.
\\
����$\beta\subset\delta\subset\lambda$�Ȃ镪��$\delta$�ɂ���,
$M$�ɂ�����R�^�C�v$\delta$�̕������Q$R\subset P$�̐���
$H_{\beta\delta\lambda}(\ido)$�ł���.
(i)��(iii)����
\[\tag{iv}g(P,P)=\sum_\delta
(-1)^mq^{m(m-1)/2}
H_{\beta\delta\lambda}(\ido)H_{\tilde{\delta}\alpha\beta}(\ido)\]
�ł���.
�A���a��$\beta\supset\delta\lambda$����$\delta-\alpha$�������тƂȂ�
�C�ӂ�$\delta$�ɂ킽��.
�܂�$m=|\delta-\beta|$�Ƃ���.
�����ő�����$F_R(t)$��
\[\tag{4.8}
F_R(t)=\sum_\delta(-1)^mt^{m(m-1)/2}
h_{\beta\delta\lambda}(t)h_{\tilde{\delta}\alpha\beta}(t)\]
�ƒ�`����.
�a�͏�Ɠ��l�̏����𖞂���$\delta$�ɂ킽��.
�����$(iv)$�y��(4.4)����$g(P,P)=F_R(q)$�ł���.

�ؖ�������������ɂ�
$F_R(t)$������$n(\beta)-n(\alpha)-\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}$
(�A��$n=|\beta-\alpha|$)
�̃��j�b�N�������ł��邱�Ƃ������Ώ\���ł���.

(4.8)�̘a�ɂ����Ċe$\delta$�ɑΉ����镔���̎�����(4.4.2)����
\[d=\dfrac{1}{2}m(m-1)
+\sum_{r\le s}(\varphi_r\psi_s+(1-\theta_r-\varphi_r)\theta_r)\]
�ɓ�����.
�A��$\theta=\beta-\alpha$, $\varphi=\delta-\beta$, $m=|\varphi|$�Ƃ���,
�e$\theta$, $\varphi$, $\psi$�͐����т�����, $\theta_r$, $\varphi_r$,
$\psi_r$��0�܂���1�ł���.
����(4.5)���$\frac{1}{2}m(m-1)=\sum_{r\le s}\varphi_r\varphi_s$�ł���.
�]���Ď��̎������藧��.
\[\tag{v}d=\sum_{r\le s}\varphi_r(\varphi_s+\psi_s-\theta_s)
+\sum_{r\le s}(1-\theta_r)\theta_s-|\varphi_|.\]
������$(\alpha',\beta',\lambda')$��$LR$-��ł���.
�]���Ċe$r\ge1$�ɂ���$\beta'-\alpha'=\theta'$�̒���$r$�Ԗڈȍ~�̗�ɂ���
���̐���$\lambda'-\beta'$�̒���$r$�Ԗڈȍ~�̗�ɂ��锠�̐���菭�Ȃ��͂Ȃ�.
�܂�
\[\tag{vi}
\sum_{s\le r}\theta_s\ge\sum_{s\ge r}(\varphi_s+\psi_s)\]
���e$r\ge1$�ɂ��Đ�������.
(v)��(vi)����
\[d\le\sum_{r\le s}(1-\theta_r)\theta_s\]
�ƂȂ�.
����������������$\varphi=0$, ����$\delta=\beta$�̂Ƃ��݂̂ł���.
�]���Ęa(4.8)�̍ō�������
$h_{\tilde{\beta}\alpha\beta}(t)=g_{\alpha(1^n)}^\beta(t)$�ł���.
�����(4.6)��莟��$n(\beta)-n(\alpha)-\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}$��
���j�b�N�������ł���.
�ȏ�ŏؖ�����������.
\end{proof}

�c���(4.1)�̏ؖ��͏u���ԂɏI���.
$M$���^�C�v$\lambda$��$\ido$-���Q,
$S=(\lambda'^{(0)},\ldots,\lambda'^{(r)})$���^�C�v$(\mu',\mu';\lambda')$��
$LR$-��Ƃ���.
$N$��$S(N)=S$n����$M$�̕������Q�Ƃ�,$N_1=\idp N$�Ƃ���.
���̂Ƃ�$S(N_1)=(\lambda'^{(1)},\ldots,\lambda'^{(r)})=S_1$������������.
�t��$S(N_1)=S$�Ȃ�$M$�̕������Q$N_1$���^����ꂽ��,
$S(N)=S$����$\idp N=N_1$�Ȃ镔�����Q$N$�̐���$F_{R_1}(q)$�ɓ�����.
�A��$R_1=(\lambda'^{(0)},\lambda'^{(1)},\lambda'^{(2)})$.
���̂��Ƃ�(4.7)�����Q$M/\idp N_1$�y�т��̊�{�������Q$N_1.\idp N_1$��
�K�p����Ε�����.
�����
\[G_S(\ido)=G_{S_1}(\ido)\cdot F_{R_1}(q)\]
�ƂȂ�,
\[G_S(\ido)=\prod_{i=1}^rF_{R_i}(q)\]
�𓾂�.
������$R_i=(\lambda'^{(i-1)},\lambda'^{(i)},\lambda'^{(i+1)})$.
($i=r$�̂Ƃ���$\lambda'^{(r+1)}=\lambda'^{(r)}$�Ƃ���.
�����$F_{R_r}(q)=g_{\alpha(1^m)}^\lambda(q)$�ł���.
������$\alpha=\lambda'^{(r-1)}$����$m=|\lambda-\alpha|$�Ƃ���.)

������
\[\tag{4.9}g_S(t)=\prod_{i=1}^rF_{R_i}(t)\]
�ƒ�`�����$g_S(q)=G_S(\ido)$�ƂȂ�,
(4.7)��葽����$g_S(t)$�̓��j�b�N�������Ŏ�����
\[\sum_{i=1}^r\left(n(\lambda^{(i)})-n(\lambda^{(i-1)})
-\begin{pmatrix}\nu_i'\\2\end{pmatrix}\right)
=n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)\]
�ł���.
\hfill{\textbf{�ؖ��I}}

��̏ؖ�����$g_{\mu\nu}^\lambda(t)$��
(���G�ɂ͂Ȃ邪)�������邱�Ƃ��ł���.
����ɂ�(4.2),(4.4),(4.8)�y��(4.9)���g���΂悢.
$a$, $b$, $c$, $N$��񕉐�����$b\le c$�Ȃ���̂Ƃ���.
\[\tag{4.10}
\Psi(a,b,c;N;t)=\sum_{r\ge0}(-1)^rt^{Nr+r(r+1)/2}
\begin{bmatrix}a\\r\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}c-r\\b-r\end{bmatrix}
\]
�ƒ�`����.
������$\begin{bmatrix}a\\r\end{bmatrix}$,
$\begin{bmatrix}c-r\\b-r\end{bmatrix}$��$t$��Gauss�������ł���.
((4.10)�̉E�ӂ̘a�͗L���ł���.
�Ƃ����̂�$r>\min(a,b)$�ɑ΂���E�ӂ̍���0�ɂȂ邩��ł���.)

�ȏ�̋L���̉�, ���̎��������藧��.
\\

\noindent
(4.11)
$S=(\alpha^{(0)},\alpha^{(1)},\ldots,\alpha^{(r)})$���^�C�v
$(\mu',\nu';\lambda')$��$LR$-��Ƃ����
\[g_S(t)=t^{n(\lambda)-n(\mu)-n(\nu)}\prod_{i\ge j\ge 1}
\Psi(a_{ij},b_{ij},c_{ij};N_{ij};t^{-1}).\]
�A��
\begin{align*}
&a_{ij}=\alpha_{i+1}^{(j+1)}-\alpha_{i+1}^{(j)},
\qquad
b_{ij}=\alpha_{i}^{(j-1)}-\alpha_{i+1}^{(j)},\\
&c_{ij}=\alpha_{i}^{(j)}-\alpha_{i+1}^{(j)},
\qquad
N_{ij}=\sum_{h\le i}(a_{h-1,j-1}-a_{h,j}).
\end{align*}

\noindent
(�]����$a_{ij}$��$S$�Œ�`�����Ղ�$i+1$�s�ڂɂ���L��$j+1$�̐��ł���.
$c_{ij}$��$\alpha^{(j)}$�̒���$i$�̗�̌��ł���,
$c_{ij}-b_{ij}=a_{i-1,j-1}$��$S$��$i$�s�ڂɂ���$j$�̐��ł���.
$N_{ij}$��$S$�̍ŏ���$i$��ɂ���$j$�̐�����ŏ���$i+1$��ɂ���$j+1$�̐���
���������̂ł���.
���u���̐�������$N_{ij}\ge0$���]��.

\begin{proof}
(4.7)�̋L�@�̉�, $R=(\alpha',\beta',\lambda')$��3��$LR$-��Ƃ���.
�܂�
\[a_i=\lambda'_{i+1}-\beta_{i+1}',\quad
b_i=\alpha_i'-\beta_{i+1}',\quad
c_i=\beta_i'-\beta_{i+1}'\]
�Ƃ���.
(4.8)�̂悤��$\delta$��$\tilde{\delta}\subset\alpha\subset\beta\subset\delta\subset\lambda$�Ȃ镪���Ƃ���.
�A���e$i\ge1$�ɑ΂�$\tilde{\delta'}_i=\delta'_{i+1}$�Ƃ���.
�܂�$r_i=\delta'_{i+1}-\beta_{i+1}'$�Ƃ���.
���̂Ƃ�$m=|\delta-\beta|=\sum r_i$�����藧��.
($R$��$LR$-��Ȃ̂�$\beta_1'=\delta_1'=\lambda_1'$�ł���,
�]����$a_0=r_0=0$.
�܂�$0\le r_i\le a_i\le c_i$����$0\le r_i\le b_i\le c_i$�ł���.)

(4.8)��p����$F_R(t)$���v�Z���悤.
(4.4)����
\[\tag{1}
t^{m(m-1)/2}h_{\beta\delta\lambda}(t)h_{\tilde{\delta}\alpha\beta}(t)
=t^A\prod_{i\ge1}\begin{bmatrix}a_i\\r_i\end{bmatrix}(t^{-1})
\begin{bmatrix}c_i-r_i\\b_i-r_i\end{bmatrix}(t^{-1})\]
�ƂȂ�.
������$t$�̎w��$A$��
\begin{align*}
\tag{2}
A&=\dfrac{1}{2}\left(\sum r_j\right)^2
-\dfrac{1}{2}\sum_{i\le j}\left((a_i-r_i)r_j+(c_i-b_i)(b_j-r_j)\right)\\
&=-\dfrac{1}{2}\sum r_j(r_j+1)-\sum N_jr_j+\sum_{i\le j}(c_i-b_i)b_j
\end{align*}
�ƕ\�������ł���.
�A��$N_j=\sum_{i\le j}(c_i-a_i-b_i)$.
�X��
\[\sum_{i\le j}(c_i-b_i)b_j
=\sum_{i\le j}(\beta_i'-\alpha_i')(\alpha_j'-\beta_{j+1}')\]
�Ȃ̂�,
$s=|\beta-\alpha|$�Ƃ��Ă��̎���
\[\tag{3}n(\beta)-n(\alpha)-\dfrac{1}{2}s(s-1)\]
�ɂȂ�.
\\

(1), (2)��(3)�y��(4.8)���玟�̎��𓾂�.
\[\tag{4}
F_R(t)
=t^{n(\beta)-n(\alpha)-s(s-1)/2}\prod_{i\ge1}\Phi(a_i,b_i,c_i;N_i;t^{-1}).\]
(4.9)���
\[g_S(t)=\prod_{j=1}^rF_{R_j}(t)\]
�ł���.
�A��$R_j=(\alpha^{(j-1)},\alpha^{(j)},\alpha^{(j+1)})$.
��(4)����(4.11)�𓾂�.
($S$��$j+1$�s�ڂɏ��߂�$j+1$�������̂�, $i<j$�Ȃ�$a_{ij}=0$.
�]����(4.11)�̉E�ӂ̐ς�$i\ge j$�ɐ������Ă悢.)
\end{proof}

��Ƃ���$\nu=(r)$, $r=|\lambda-\mu|$�̎���$g_{\mu\nu}^\lambda(t)$���v�Z����.
(���̗�͌�ŗp���邱�ƂɂȂ�. $\nu=(1^r)$�̏ꍇ��(4.6)�Ōv�Z����.)
�܂����̎����ɒ��ӂ���.
\\

\noindent
(4.12)
$\lambda-\mu$������$r$�̐����тłȂ�����$g_{\mu(r)}^\lambda(t)=0$.
\begin{proof}
$M$���^�C�v$\lambda$�̗L��$\ido$-���Q, $N$��$M$�̃R�^�C�v$\mu$�̕������Q�Ƃ���.
$N_i=N\cap\idp^iM$�Ƃ���.
$\idp^i/N_i\cong(\idp^iM+N)/N\cong\idp^i(M/N)$������
\[l(N_{i-1}/N_i)=\lambda_i'-\mu_i'\]
�ł���, �܂�$\idp N_{i-1}=\idp(N\cap\idp^{i-1}M)\subset N\cap\idp^iM=N_i$������
\[0\le\lambda_i'-\mu_i'\le l(N_{i-1}/\idp N_{i-1}).\]
$N$�͏���I������$N_i$�������ł���, �]����$l(N_{i-1}/\idp N_{i-1})\le 1$.
����Ċe$i\ge 1$�ɂ���$\lambda_i'-\mu_i'=0$�܂���$1$.
�܂�$\lambda-\mu$�͐����тł���.
�]����$\lambda-\mu$�������тłȂ���ΔC�ӂ̑f���̙p$q$�ɂ���
$g_{\mu(r)}^\lambda(q)=0$�ł���, �����$g_{\mu(r)}^\lambda(t)=0$.
\end{proof}

\noindent
��.
����(�����Ă��Ȍ���)�ؖ��@�Ƃ���, (4.3)����(4.12)���������Ƃ��ł���.
$c_{\mu(r)}^\lambda\neq0$�łȂ����$g_{\mu(r)}^\lambda(t)=0$�ł���.
����$s_\lambda$��$s_\mu h_{(r)}$�Ɍ���Ȃ����$g_{\mu(r)}^\lambda(t)=0$.
��������I�͂�(5.16)���炻���$\lambda-\mu$�������тł��邱�ƂƓ��l�ł���.
\\

������$|lambda-\mu$��$r$-�����тł���Ƃ��悤.
$\lambda'-\mu'$��$r$-�����т�����, �^�C�v$(\mu',(1^r);\lambda')$��$LR$-��
$S=(\alpha^{(0)},\alpha^{(1)},\ldots,\alpha^{(r)})$��1�����Ȃ�.
����͐�����$\lambda'-\mu'$�̔����ォ�珇�Ԃɐ����Ŗ��߂Ă������Ƃœ�����.
$\lambda'-\mu'$�̊e�s�ɂ͍��X1�������͂Ȃ�����,
����$S$�ɂ���$a_{ij}$��$0$�܂���$1$.
�]����$c_{ij}-b{ij}=a_{i-1,j-1}$��$0$�܂���$1$.
�����$a_{ij}=1$�Ȃ� ($i+1$��ڂ�$j+1$�Ə�����Ă��锠�����邩��)
$N_{ij}=0$.
�����$\Phi$�̒�`(4.10)����$\Phi(a_{ij},b_{ij},c_{ij};N_{ij},t)$��
���̂悤�ɂȂ�.
\begin{align*}
&1   &a_{i-1,j-1}=a_{ij}=0\mbox{�܂���}1,\\
&1-t &a_{i-1,j-1}=0,\ a_{ij}=1,\\
&(1-t^{c_{ij}})/(1-t)   &a_{i-1,j-1}=1,\ a_{ij}=0.
\end{align*}
�X��3�Ԗڂ̏ꍇ 
(���̎�$i$�s�ڂ�$j$�Ə����ꂽ�������邪, 
�����艺�̍s�ɂ�$j$�����ꂽ���͂Ȃ�), 
$c_{ij}$��$\lambda'$�ɂ����钷��$i$�̍s�̐�������, $c_{ij}=M(\lambda)$.
�ȏ�̎��������킹��, ���̌��ʂ𓾂�.
\\

\noindent
(4.13)
$\sigma=\lambda-\mu$�𒷂�$r$�̐����тƂ�, $I$�𐮐�$i\ge1$�ł�����
$\sigma_i'=1$����$\sigma_{i+1}'=0$�Ȃ���̂̏W���Ƃ���.
���̎�
\[g_{\mu(r)}^\lambda(t)=\dfrac{t^{n(\lambda)-n(\mu)}}{1-t^{-1}}
\prod_{i\in I}(1-t^{-m_{i}(\lambda)}).\]
�A��$m_i(\lambda)$��$\lambda$�ɂ�����$i$�̏d���x.\quad
$\square$

\subsection*{��}
\noindent
1.
$r\ge 0$�ɑ΂�$(x;t)_r=(1-x)(1-xt)\ldots(1-xt^{r-1})$�ƒ�߂�.
$\Phi(a,b,c;N,t)$��$(xt^{N+1};t)_a/(x;t)_{c-b+1}$�ɂ�����$x^b$�̌W���ɓ�����.
(��I��, \S2�̗�3��p����.)
�X��$N=c-a-b$�Ȃ�
\[\Phi(a,b,c;N;t)=\begin{bmatrix}c-a\\b\end{bmatrix}\]
�ł��邱�Ƃ𓱂�.
���̎���(4.11)�̐ς�$i=j$�̂Ƃ���ɗp���邱�Ƃ��ł���.
����$N_{ii}=c_{ii}-a_{ii}-b_{ii}$�ł���.
\\
2.
���􉽋����̕W���I�ȋL��
\[{}_2\varphi_1(\alpha,\beta;\gamma;t,x)
=\sum_{r\ge0}\dfrac{(\alpha;t)_r(\beta;t)_r}{(\gamma;t)_r(t;t)_r}x^r\]
��p�����
\[\Phi(a,b,c;N;t)=\begin{bmatrix}c\\b\end{bmatrix}
{}_2\varphi_1(t^a,t^b;t^c;t^{-1},t^N)\]
�ƂȂ�.
�]����$g_S(t)$��Gauss��������${}_2\varphi_1$�̐ςŏ������Ƃ��ł���.

\subsection*{���ӂƎQ�l����}
\noindent
\S1��\S2�̓��e�y�ђ藝(4.3)��Philip Hall�ɂ�邪,
�ނ͏ڍׂ��o�ł����ɗ��_�̊T�v�̂݋L���� [H3].
\S3���e, ����(3.4)��J.A.Green�ɂ�� [G13].
�藝(4.1)��Green�̊w���ł���T.Klein �ɂ�� [K10].
�����ł̏ؖ��͔ޏ��̗^�������̂Ƃ͈Ⴄ.

���̕���̐�ڂ������̂�E.Steinitz�ł�����, Hall�̎d����蔼���I�O�ɑk��.
1900�N��Steinitz�͍��ł���Hall��������Hall�㐔���`��,
Schur�֐��Ƃ̊֌W�����o��, Hall�̒藝(4.3)��\�z����.
Steinitz�̘_�� [S26]��1900�N��Aachen�ł�Deutsche Mathematiker-Vereinigung
�̔N��ł̍u���̊T�v�ł���.
�ؖ��⓹��Ăɂ͈�؂ӂ�Ă��炸,
���̌�Y�ꋎ���,
1982�N�ɂȂ���K.Johnsen�����@���� [J13].

Hall�㐔�̈�ʉ��ɂ��Ă�C.M.Ringel�̘_�� [R2], [R3], [R4]������.
\end{document}
