\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
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\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{2}
\section{�������Q��LR-��}
\noindent
$T$���^��$\lambda-\mu$�ŃE�F�C�g��$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_r)$�̔�(��I��, \S 1)�Ƃ���.
���̂Ƃ�$T$��$\lambda^{0}=\mu$,$\lambda^{(r)}=\lambda$,������$1 \le i \le r$�ɑ΂���$\lambda^{(i)} \supset \lambda^{i-1}$�ł���悤�ȕ����̗�
\[
S=(\lambda^{(0)},\lambda^{(1)},\ldots,\lambda^{(r)})
\]
���߂�.(������$T$�͂��̕����̗�ɂ���Ē�܂�.)
�������$\lambda^{i}-\lambda^{(i-1)}$��$T$�̒��̔ԍ�$i$�������Ă��锠���\������cYoung�}�`�ł���.
(������$T$�͔ՂȂ̂�,����͐����тł���.)

��̂悤�ȕ����̗�$S$��

(LR1) $\lambda^{(0)}=\mu$, $\lambda^{(r)}=\lambda$ ������$1 \le i \le r$�ɑ΂���$\lambda^{(i)} \supset \lambda^{(i-1)}$;

(LR2) $i \le \i \le r$�ɑ΂���$\lambda^{(i)}-\lambda^{(i-1)}$�͒���$\nu_i$������.
(�����2�̏�����$S$����$T$�ɂ���Ē�܂邱�Ƃ�ۏ؂���.)

(LR3) $T$���g�b�v����n�߂ĘA�������s���E���獶�֓ǂ�ł������Ƃɂ���ė^�������$w(T)$�����u��(I��, \S 9).

�ł���Ƃ��^$(\mu,\nu;\lambda)$��\textbf{$LR$-��}�ƌĂ΂��.
\\

(LR3)����������邽�߂ɂ�,
$i\ge 1$,$k\ge 0$�ɑ΂���$T$�̏��߂�$k$�s�̒��̔ԍ�$i$�̐���,���߂�$k+1$�s�̒��̔ԍ�$i+1$�̐������������Ȃ����Ƃ��K�v�\���ł���.
����������Ə���(LR3)��,�S�Ă�$i \ge 1$,$k \ge 0$�ɑ΂���
\[
\tag{LR3$'$} \quad \sum_{j=1}^k \left( \lambda_j^{(i)} - \lambda_j^{(i-1)} \right) \ge \sum_{j=1}^{k+1} \left( \lambda_j^{(i+1)}-\lambda_j^{(i)} \right)
\]
�ł��邱�ƂƓ��l�ł���.
\\

���̐߂ł͗L��$\mathfrak{o}$-���Q$M$�̑S�Ă̕������Q$N$�͌^$(\mu',\nu';\lambda')$��$LR$-���^���邱�Ƃ�����.
������$\lambda,\mu,\nu$�͂��ꂼ��$M, M/N$������$N$�̃^�C�v�ł���.
�ؖ��̑O�ɂ������̕���p�ӂ���.
�Ȃ����̐߂ł�$\mathfrak{o}$�̏�]�̂��L���ł��邱�Ƃ����肷��K�v�͂Ȃ�.
\\

\noindent
(3.1) $M$���^�C�v$\lambda$�̗L��$\mathfrak{o}$-���Q�Ƃ�,
$N$���^�C�v$\nu$,�R�^�C�v$\mu$��$M$�̕������Q�Ƃ���.
���̂Ƃ�$\mu \subset \lambda$, $\nu \subset \lambda$�ł���.
\begin{proof}
\[
\frac{\mathfrak{p}^{i-1}(M/N)}{\mathfrak{p}^{i}(M/N)} \cong \frac{\mathfrak{p}^{i-1}M+N}{\mathfrak{p}^{i}M+N} \cong \frac{\mathfrak{p}^{i-1}M}{\mathfrak{p}^{i-1} \cap (\mathfrak{p}^iM+N)}
\]
�ł��邱�Ƃ�,
$\mathfrak{p}^{i-1} \cap (\mathfrak{p}^iM+N) \supset \mathfrak{p}^iM$�ł��邱�Ƃ���
\[
l(\mathfrak{p}^{i-1}(M/N)/\mathfrak{p}^{i}(M/N)) \le l(\mathfrak{p}^{i-1}M/\mathfrak{p}^{i}M)
\]
���]��.
�����(1.4)���$\mu_i' \le \lambda_i'$�ł���.
�]����$\mu \subset \lambda$�ł���.
�o�ΐ�(1.5)���$\nu \subset \lambda$���]��.
\end{proof}

$M$���^�C�v$\lambda$��$\mathfrak{o}$-���Q�Ƃ�,
$N$��$M$�̊�{���Q�Ƃ���.
���̂Ƃ�$\mathfrak{p}N=0$�ł��邩��,
$N \subset S$�ł���.������
\[
S=\{x \in M : \mathfrak{p}x=0\}
\]
��$M$��\textbf{socle(�I,���?)},����$M$�̋ɑ��{���Q�ł���.
\\

\noindent
(3.2) $M/S$�̃^�C�v��$\tilde{\lambda}=(\lambda_1-1,\lambda_2-1,\ldots)$�ł���.
\begin{proof}
$M=\oplus \mathfrak{o}/\mathfrak{p}^{\lambda_i}$�̂Ƃ�,
���炩��$S=\oplus \mathfrak{p}^{\lambda_i-1}/\mathfrak{p}^{\lambda_i}$�ł���,
������$M/S \cong \oplus \mathfrak{o}/\mathfrak{p}^{\lambda_i-1}$�ł���.
\end{proof}

(3.3) $M$���^�C�v$\lambda$�̗L��$\mathfrak{o}$-���Q�Ƃ�,
$N$���R�^�C�v��$\mu$��$M$�̊�{���Q�Ƃ���.
���̂Ƃ�$\lambda-\mu$�͐�����(�����e$i$�ɑ΂���$\lambda_i-\mu_i=0$�܂���$1$)�ł���.
\begin{proof}
$N \subset S$�ł��邩��,$M/S \cong (M/N)(S/N)$�ł���,(3.1)��(3.2)���$\tilde{\lambda} \subset \mu \subset \lambda$�ł���.
�]����
\[
0 \le \lambda_i-\mu_i \le \lambda_i -\tilde{\lambda}_i =1
\]
�ł���,
$\lambda-\mu$�͐����тł���.
\end{proof}


$\mu \subset \lambda$�̂Ƃ�,
$\tilde{\lambda} \subset \mu$�̂Ƃ������̂Ƃ��Ɍ���$\lambda-\mu$�͐����тł��邱�Ƃɒ��ӂ���.

\noindent
(3.4) $M$���^�C�v$\lambda$�̗L��$\mathfrak{o}$-���Q�Ƃ�,
$N$���^�C�v$\nu$,�R�^�C�v$\mu$��$M$�̕������Q�Ƃ���.
�e$i \ge 0$�ɑ΂���,
$\lambda^{(i)}$��$\mathfrak{p}^iN$�̃R�^�C�v�Ƃ���.
���̂Ƃ���
\[
S(N)=(\lambda^{(0)}{}',\lambda^{(1)}{}',\ldots,\lambda^{(r)}{}')
\]
(������$\mathfrak{p}^rN=0$)�͌^$(\mu ',\nu ';\lambda ')$��$LR$-��ł���.
\begin{proof}
���炩��$\lambda^{(0)}=\mu$,$\lambda^{(r)}=\lambda$�ł���,
(3.1)�����Q$M/\mathfrak{p}^iN$�ƕ������Q$\mathfrak{p}^{i-1}N/\mathfrak{p}^iN$�ɓK�p���邱�Ƃɂ��
$\lambda^{(i)} \supset \lambda^{(i-1)}$�ł���.
�����(LR1)�͖�������Ă���.
$\mathfrak{p}^{i-1}N/\mathfrak{p}^iN$�͊�{���Q�ł��邩��,
(3.3)����$\lambda^{(i)}-\lambda^{(i-1)}$�͐����тł��邱�Ƃ��]��,
$\lambda^{(i)}{}'-\lambda^{(i-1)}{}'$��((1.4)���)������$l(\mathfrak{p}^{i-1}N/\mathfrak{p}^iN)$�ɓ����������тł���.
�����(LR2)����������Ă���.

(LR3$'$)�Ɋւ��Ă�(�Ă�(1.4)���)
\[
\lambda_j^{(i)}{}' = l(\mathfrak{p}^{j-1}(M/\mathfrak{p}^iN)/\mathfrak{p}^j(M/\mathfrak{p}^iN))
\]
�ł��邩��,
\[
\sum_{j=1}^k \lambda_j^{(i)}{}'= l((M/\mathfrak{p}^iN)/\mathfrak{p}^k(M/\mathfrak{p}^iN))=l(M/(\mathfrak{p}^kM+\mathfrak{p}^iN))
\]
�ł���,�]����
\[
\sum_{j=1}^k \left( \lambda_j^{(i)}{}' - \lambda_j^{(i-1)}{}' \right) =l(V_{ki})
\]
�ƂȂ�.
������$V_{ki}=(\mathfrak{p}^kM+\mathfrak{p}^{i-1}N)/(\mathfrak{p}^kM+\mathfrak{p}^kN)$�ł���.
���l��
\[
\sum_{j=1}^{k+1} \left( \lambda_j^{(i+1)}{}' - \lambda_j^{(i)}{}' \right) =l(V_{k+1,i+1})
\]
�ƂȂ�.
$\mathfrak{p}$�̐��������|���邱�Ƃ�$V_{ki}$����$V_{k+1,i+1}$�ւ̏����^�ʑ���U������̂�,$l(V_ki)\ge l(V_{k+1,i+1})$���]��,
(LR3$'$)�͖��������.
\end{proof}

\subsection*{��}
\noindent
$V$��㐔�I��$k$���$n$�����x�N�g����ԂƂ���.
$V$��\textbf{��}�Ƃ�,
$0=V_0 \subset V_1 \subset \ldots \subset V_n=V$�ł���
$0 \ge i \ge n$�ɑ΂���$\dim V_i=i$�ł���悤��$V$�̕�����Ԃ̗�$F=(V_0,V_1,\ldots,V_n)$�̂��Ƃł���.
$X$��$V$�̊��S�̂̏W���Ƃ���.
�Q$G=GL(V)$��$X$�ɐ��ړI�ɍ�p��,
$X$��$G/B$�Ɠ��ꎋ���Ă��\��Ȃ�.
������$B$�͗^����ꂽ�����Œ肷�镔���Q�ł���.
�]����$X$��(�����ˉe)�㐔���l��,$V$��\textbf{�����l��}�ł���.

��$u \in G$��$V$�̙p�P���ȓ��^�ʑ��Ƃ���.
���̂Ƃ�(1.2)���$V$�͗L��������$k[t]$-���Q�ƂȂ�,
$t$�͙p�뎩�ȓ��^�ʑ�$u-1$�Ƃ���$V$�ɍ�p����.
$\lambda$��$V$�̃^�C�v�Ƃ���.
$\lambda$��$u$��Jordan�W���`��\��$n$�̕����ł���.
������$X_\lambda \subset X$��$u$�ɂ���ČŒ肳���S�Ă̊�$F \in X$�̏W���Ƃ���.
�����̊�$F$��$k[t]$-���Q$V$�̑g����ł���.
�W��$X$��$X$�̕������l�̂ł���.

�e$F=(V_0,V_1,\ldots,V_n) \in X_\lambda$�ɑ΂���,
$\lambda^{(i)}$��$V$�̕������Q$V_{n-i}$�̃R�^�C�v�Ƃ���.
���̂Ƃ�(3.1)���
\[
0 = \lambda^{(0)} \subset \lambda^{(1)} \subset \ldots \subset \lambda^{(n)} = \lambda
\]
�������,
$1 \ge i \ge n$�ɑ΂���$|\lambda^{(i)}-\lambda^{(i-1)}|=1$�ł��邩��,
$F$�͘g$\lambda$��$T$��\textbf{�W����}���߂�.
�]���ĉ�X�͘g$\lambda$�̕W����$T$�ɂ���ēY�����t����ꂽ�����W��$X_T$�̒��ւ�$X_\lambda$�̕����𓾂�.

�����̕����W��$X_T$�͈ȉ��̐���������(Spaltenstein [S16]):

\noindent
(a) $X_T$��$X_\lambda$�̊��炩�Ȋ���Ǐ��������l�̂ł���.

\noindent
(b) $\dim X_T=n(\lambda)$.

\noindent
(c) $X_T$�͊e$X_{T,j}$������A�t�B����ԂƓ��^��
$j=1,2,\ldots,m$�ɑ΂���$\bigcup_{k \le j}X_{T,k}$��$X_T$�ɂ����ĕ��Ă�����̂̒��a$\bigcup_{j=1}^m X_{T,j}$�ł���.
\\

\noindent
�����̌��ʂ��$X_T$�̕E$\bar{X_T}$��$X_\lambda$�̊��񐬕��ł���,
�����S�Ă͓�������$n(\lambda)$������.
�]���Ċ��񐬕��̐���$S_n$(I��, \S 7)�̊���w�W$\chi^{\lambda}$�ɓ�����.

$k$���ʐ�$q$�̗L����$\mathbb{F}_q$���܂ނƂ�,
$X_{\lambda}$��$\mathbb{F}_q$-�L���_�̐�$X_\lambda(q)$��
$\mathcal{Q}_{(1^n)}^\lambda(q)$(III��, \S 7)�ɓ�����.
\\

�������Ɋւ������ʓI�Ȍ��ʂ�[H8], [S14]�Ɍ����邱�Ƃ��ł���ł��낤.
\end{document}