\underline{2.3 部分加群の LR-列 1}

2.3 部分加群の LR-列

T を型が λ − μ でウェイトが ν = (ν_{1}, …, ν_{r}) の盤 (第 I 章, §1) とする. このとき T は λ^{0} = μ,λ^{(r)} = λ, そして 1 ≤ i ≤ r に対して λ^{(i)} ⊃ λ^{i−1} であるような分割の列

S = (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(r)})

を定める.(そして T はこの分割の列によって定まる.) 条件より λ^{i} − λ^{(i−1)} は T の中の番号 i が入っている箱を構成する歪 Young 図形である. (そして T は盤なので, これは水平帯である.)

上のような分割の列 S は

(LR1) λ^{(0)} = μ, λ^{(r)} = λ そして 1 ≤ i ≤ r に対して λ^{(i)} ⊃ λ^{(i−1)};

(LR2) i ≤ ı ≤ r に対して λ^{(i)} − λ^{(i−1)} は長さ ν_{i} 水平帯. (これら 2 つの条件は S が盤 T によって定まることを保証する.)

(LR3) T をトップから始めて連続した行を右から左へ読んでいくことによって与えられる語 w(T) が束置換 (I 章, §9).

であるとき型 (μ, ν; λ) の LR-列と呼ばれる.

(LR3) が満たされるためには, i ≥ 1,k ≥ 0 に対して T の初めの k 行の中の番号 i の数が, 初めの k + 1 行の中の番号 i + 1 の数よりも小さくないことが必要十分である. 言い換えると条件 (LR3) は, 全ての i ≥ 1,k ≥ 0 に対して

(LR3′)  ∑_{j=1}^{k} (λ_{j}^{(i)} − λ_{j}^{(i−1)}) ≥ ∑_{j=1}^{k+1} (λ_{j}^{(i+1)} − λ_{j}^{(i)})

であることと同値である.

この節では有限 𝔬-加群 M の全ての部分加群 N は型 (μ′, ν′; λ′) の LR-列を与えることを示す. ここで λ, μ, ν はそれぞれ M, M/N そして N のタイプである. 証明の前にいくつかの補題を用意する. なおこの節では 𝔬 の剰余体が有限であることを仮定する必要はない.

(3.1) M をタイプ λ の有限 𝔬-加群とし, N をタイプ ν, コタイプ μ の M の部分加群とする. このとき μ ⊂ λ, ν ⊂ λ である.

証明.

\frac{𝔭^{i−1}(M/N)}{𝔭^{i}(M/N)} ≅ \frac{𝔭^{i−1}M + N}{𝔭^{i}M + N} ≅ \frac{𝔭^{i−1}M}{𝔭^{i−1} ∩ (𝔭^{i}M + N)}

\underline{2}

であることと, 𝔭^{i−1} ∩ (𝔭^{i}M + N) ⊃ 𝔭^{i}M であることから

l(𝔭^{i−1}(M/N)/𝔭^{i}(M/N)) ≤ l(𝔭^{i−1}M/𝔭^{i}M)

が従う. よって (1.4) より μ′_{i} ≤ λ′_{i} である. 従って μ ⊂ λ である. 双対性 (1.5) より ν ⊂ λ も従う.

M をタイプ λ の 𝔬-加群とし, N を M の基本加群とする. このとき 𝔭N = 0 であるから, N ⊂ S である. ここで

S = {x ∈ M : 𝔭x = 0}

は M の socle(棚, 台座?), 即ち M の極大基本加群である.

(3.2) M/S のタイプは λ̃ = (λ_{1} − 1, λ_{2} − 1, …) である.

証明. M = ⊕𝔬/𝔭^{λ_{i}} のとき, 明らかに S = ⊕𝔭^{λ_{i}−1}/𝔭^{λ_{i}} であり, これより M/S ≅ ⊕𝔬/𝔭^{λ_{i}−1} である.

(3.3) M をタイプ λ の有限 𝔬-加群とし, N をコタイプが μ の M の基本加群とする. このとき λ − μ は垂直帯 (即ち各 i に対して λ_{i} − μ_{i} = 0 または 1) である.

証明. N ⊂ S であるから,M/S ≅ (M/N)(S/N) であり,(3.1) と (3.2) より λ̃ ⊂ μ ⊂ λ である. 従って

0 ≤ λ_{i} − μ_{i} ≤ λ_{i} − λ̃_{i} = 1

であり, λ − μ は垂直帯である.

μ ⊂ λ のとき, λ̃ ⊂ μ のときかつそのときに限り λ − μ は垂直帯であることに注意せよ. (3.4) M をタイプ λ の有限 𝔬-加群とし, N をタイプ ν, コタイプ μ の M の部分加群とする. 各 i ≥ 0 に対して, λ^{(i)} を 𝔭^{i}N のコタイプとする. このとき列

S(N) = (λ^{(0)}′, λ^{(1)}′, …, λ^{(r)}′)

(ここで 𝔭^{r}N = 0) は型 (μ′, ν′; λ′) の LR-列である.

証明. 明らかに λ^{(0)} = μ,λ^{(r)} = λ であり, (3.1) を加群 M/𝔭^{i}N と部分加群 𝔭^{i−1}N/𝔭^{i}N に適用することにより λ^{(i)} ⊃ λ^{(i−1)} である. よって (LR1) は満たされている. 𝔭^{i−1}N/𝔭^{i}N は基本加群であるから, (3.3) から λ^{(i)} − λ^{(i−1)} は垂直帯であることが従い, λ^{(i)}′ − λ^{(i−1)}′ は ((1.4) より) 長さが l(𝔭^{i−1}N/𝔭^{i}N) に等しい水平帯である. よって (LR2) も満たされている.

(LR3′) に関しては (再び (1.4) より)

λ_{j}^{(i)}′ = l(𝔭^{j−1}(M/𝔭^{i}N)/𝔭^{j}(M/𝔭^{i}N))

であるから,

∑_{j=1}^{k} λ_{j}^{(i)}′ = l((M/𝔭^{i}N)/𝔭^{k}(M/𝔭^{i}N)) = l(M/(𝔭^{k}M + 𝔭^{i}N))

であり, 従って

∑_{j=1}^{k} (λ_{j}^{(i)}′ − λ_{j}^{(i−1)}′) = l(V_{ki})

となる. ここで V_{ki} = (𝔭^{k}M + 𝔭^{i−1}N)/(𝔭^{k}M + 𝔭^{k}N) である. 同様に

∑_{j=1}^{k+1} (λ_{j}^{(i+1)}′ − λ_{j}^{(i)}′) = l(V_{k+1,i+1})

となる. 𝔭 の生成元を掛けることは V_{ki} から V_{k+1,i+1} への準同型写像を誘導するので,l(V_{k}i) ≥ l(V_{k+1,i+1}) が従い, (LR3′) は満たされる.

例

V を代数的閉体 k 上の n 次元ベクトル空間とする. V の旗とは, 0 = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ … ⊂ V_{n} = V であり 0 ≥ i ≥ n に対して dim V_{i} = i であるような V の部分空間の列 F = (V_{0}, V_{1}, …, V_{n}) のことである. X を V の旗全体の集合とする. 群 G = GL(V) は X に推移的に作用し, X は G/B と同一視しても構わない. ここで B は与えられた旗を固定する部分群である. 従って X は (正則射影) 代数多様体,V の旗多様体である.

今 u ∈ G を V の冪単自己同型写像とする. このとき (1.2) より V は有限長さの k[t]-加群となり, t は冪零自己同型写像 u − 1 として V に作用する. λ を V のタイプとする. λ は u の Jordan 標準形を表す n の分割である. そして X_{λ} ⊂ X を u によって固定される全ての旗 F ∈ X の集合とする. これらの旗 F は k[t]-加群 V の組成列である. 集合 X は X の閉部分多様体である.

各 F = (V_{0}, V_{1}, …, V_{n}) ∈ X_{λ} に対して, λ^{(i)} を V の部分加群 V_{n−i} のコタイプとする. このとき (3.1) より

0 = λ^{(0)} ⊂ λ^{(1)} ⊂ … ⊂ λ^{(n)} = λ

が得られ, 1 ≥ i ≥ n に対して |λ^{(i)} − λ^{(i−1)}| = 1 であるから, F は枠 λ の T の標準盤を定める. 従って我々は枠 λ の標準盤 T によって添え字付けられた部分集合 X_{T} の中への X_{λ} の分割を得る.

これらの部分集合 X_{T} は以下の性質を持つ (Spaltenstein [S16]):

(a) X_{T} は X_{λ} の滑らかな既約局所閉部分多様体である.

(b) dim X_{T} = n(λ).

(c) X_{T} は各 X_{T,j} があるアフィン空間と同型で j = 1, 2, …, m に対して ⋃_{k≤j} X_{T,k} が X_{T} において閉じているものの直和 ⋃_{j=1}^{m} X_{T,j} である.

これらの結果より X_{T} の閉胞 X̄_{T} は X_{λ} の既約成分であり, それら全ては同じ次元 n(λ) を持つ. 従って既約成分の数は S_{n}(I 章, §7) の既約指標 χ^{λ} に等しい.

k が位数 q の有限体 𝔽_{q} を含むとき, X_{λ} の 𝔽_{q}-有理点の数 X_{λ}(q) は Q_{(1^{n})}^{λ}(q)(III 章, §7) に等しい.

部分旗に関するより一般的な結果は [H8], [S14] に見つけることができるであろう.