\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}
\usepackage[enableskew]{youngtab}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\setlength{\parindent}{1zw}
\newcommand{\ido}{\mathfrak{o}}
\newcommand{\idp}{\mathfrak{p}}
\begin{document}

\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{1}
\section{Hall �㐔}

\noindent
���̐߂ł�$\ido$�̏�]��$k$��\textbf{�L����}�ł���Ɖ��肷��.
\\

$\lambda,\mu^{(1)},\ldots,\mu^{(r)}$�𕪊��Ƃ�,
$M$���^�C�v$\lambda$��$\ido$-���Q�Ƃ���.
\[G^\lambda_{\mu^{(1)}\ldots\mu^{(r)}}(\ido)\]
�����̏������݂���$M$�̕������Q�̍��̐��Ƃ��� :
\[M=M_0\supset M_1\supset M_2\supset\ldots\supset M_r=0\]
�ł�����$1\le i\le r$�Ȃ�e$i$�ɂ���$M_{i-1}/M_i$���^�C�v$\mu^{(i)}$�ł���
����.
����$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)$�̓^�C�v$\mu$, �R�^�C�v$\nu$��
$M$�̕������Q$N$�̐����Ӗ�����.
$l(M)=l(N)+l(M/N)$�ł��邩��
\\

\noindent
(2.1)
$|\lambda|=|\mu|+|\nu|$�łȂ����$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)=0$.
\\

Philip Hall ��$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)$����@�Ɍ����萔�Ƃ��ėp���鎖��
���̂悤�Ȋ\�����`����.
$H=H(\ido)$�𕪊�$\lambda$�œY�����t��������$(u_\lambda)$���
���R$\mathbb{Z}$-���Q�Ƃ���.
$H$��̐ς��K��
\[u_\mu u_\nu=\sum_\lambda G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)u_\lambda\]
�Œ�߂�.
(2.1)���E�ӂ͗L���̍��̘a�ɂȂ�.
\\

\noindent
(2.2)
$H(\ido)$�͒P�ʌ������������㐔.
\begin{proof}
�P�ʌ��͗땪��0��p����$u_0$�Ə�����.
$u_\mu(u_\nu u_\rho)$��������$(u_\mu u_\nu)u_\rho)$�ɂ�����
$u_\lambda$�̌W����$G_{\mu\nu\rho}^\lambda$�ɂȂ邱�Ƃ��猋��������������.
(1.5)���$G_{\mu\nu}^\lambda=G_{\nu\mu}^\lambda$�Ȃ̂ŉ��ł�����.
\end{proof}

��$H(\ido)$��$\ido$��\textbf{Hall �㐔}�ƌĂ�.
\\

\noindent
(2.3)
��$H(\ido)$��$u_{(1^r)}$ ($r\ge1$) �ɂ����($\mathbb{Z}$-�㐔�Ƃ���)
���������.
���̐�������$\mathbb{Z}$��㐔�Ɨ��ł���.

\begin{proof}
�ȒP�ׂ̈�$u_{(1^r)}$��$v_r$�ƋL��.
�܂��e����$\lambda$�ɑ΂�
\[v_{\lambda'}=v_{\lambda_1'}v_{\lambda_2'}\ldots v_{\lambda_s'}\]
�ƒ�߂�.
������$\lambda$�̓]�u��
$\lambda'=(\lambda_1',\ldots,\lambda_s')$�Ƃ���.
$v_\lambda'$��$u_\mu$�̐��^�����ŏ�����.
\[\tag{1}v_\lambda'=\sum_\mu a_{\lambda\mu}u_\mu\]
�����ŌW��$a_{\lambda\mu}$�͒�`��莟�̂悤�ȍ��̐��ɓ����� : 
\[\tag{2}M=M_0\supset M_1\supset \ldots \supset M_s=0.\]
������$M$�̓^�C�v$\mu$��$\ido$-���Q��1�Œ肳�ꂽ���̂Ƃ���.
�܂�$1<i<s$�̊e$i$�ɂ���,
$M_{i-1}/M_i$�̓^�C�v$(1^{\lambda_i'})$, 
��������$\lambda_i'$�̊�{���Q�ł���.
(2)�̂悤�ȍ������� (����$a_{\lambda\mu}\neq0$)
�Ȃ�$\idp M_{i-1}\subset M_i$ $(1\le i\le s)$
�ł���, �]����$1<i<s$�ɂ���$\idp^iM\subset M_i$�ł���.
�����
\[l(M/\idp^iM)\ge l(M/M_i)\]
�ƂȂ邩��, (1.4)��p���ĕs����
\[\mu_1'+\ldots+\mu_i'\ge\lambda_1'+\ldots+\lambda_i'\]
�𓾂� ($1\le i\le s$) .
����$\mu'\ge\lambda'$�ł���,
�]���đ�1�� (1.11) ����$\mu\le\lambda$�ł���.
�X�ɓ��l�̋c�_��$\mu=\lambda$�Ȃ�(2)�̂悤�ȍ���1����, ����
$M_i=\idp^iM$�ł���.

�ȏ���$\mu\le\lambda$�łȂ����$a_{\lambda\mu}=0$, 
�܂�$a_{\lambda\lambda}=1$�ł���.
�����s��$(a_{\lambda\mu})$�͒P�ʏ�O�p�s��ł���.
�]����(1)��������$u_\mu$��$v_{\lambda'}$�̐����W���̐��^�����ŏ�����.
�]����$v_{\lambda'}$��$H(\ido)$��$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�.
�����(2.3)��������.
\end{proof}

(2.3)����Hall�㐔$H(\ido)$�͑Ώ̊֐���$\Lambda$ (��1��) �Ɠ��^�ł���.
$u_(1^r)$��$r$����{�Ώ̊֐�$e_r$�ɑΉ�������Ύ����ȓ��^�ʑ��������邪,
���̏͂ł��G��ȓ��^�ʑ�$u_{(1^r)}\mapsto q^{-r(r-1)/w}e_r$������.
������$q$��$\ido$�̏�]�̂̈ʐ��ł���.
���^�ɂ��$H(\ido)$�̊e������$u_\lambda$�͂���Ώ̊֐��Ɏʂ����.
���̑Ώ̊֐��ɂ��Ă͎��͂Ŗ��������������邱�ƂɂȂ�.
���̏͂̎c��̕����͍\���萔$G_{\mu\nu}^\lambda(\ido)$�̌v�Z�ɓ��Ă���.
\end{document}