\underline{2.2 Hall 代数 1}

2.2 Hall 代数

この節では 𝔬 の剰余体 k は有限体であると仮定する.

λ, μ^{(1)}, …, μ^{(r)} を分割とし, M をタイプ λ の 𝔬-加群とする.

G_{μ^{(1)}...μ^{(r)}}^{λ}(𝔬)

を次の条件をみたす M の部分加群の鎖の数とする :

M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ M_{2} ⊃ … ⊃ M_{r} = 0

であって 1 ≤ i ≤ r なる各 i について M_{i−1}/M_{i} がタイプ μ^{(i)} であるもの. 特に G_{μν}^{λ}(𝔬) はタイプ μ, コタイプ ν の M の部分加群 N の数を意味する. l(M) = l(N) + l(M/N) であるから

(2.1) |λ| = |μ| + |ν| でなければ G_{μν}^{λ}(𝔬) = 0.

Philip Hall は G_{μν}^{λ}(𝔬) を乗法に現れる定数として用いる事で次のような環構造を定義した. H = H(𝔬) を分割 λ で添え字付けられる基底 (u_{λ}) 上の自由 ℤ-加群とする. H 上の積を規則

u_{μ}u_{ν} = ∑_{λ} G_{μν}^{λ}(𝔬)u_{λ}

で定める. (2.1) より右辺は有限個の項の和になる.

(2.2) H(𝔬) は単位元を持つ可換結合代数.

証明. 単位元は零分割 0 を用いて u_{0} と書ける. u_{μ}(u_{ν}u_{ρ}) もしくは (u_{μ}u_{ν})u_{ρ}) における u_{λ} の係数が G_{μνρ}^{λ} になることから結合律が成立する. (1.5) より G_{μν}^{λ} = G_{νμ}^{λ} なので可換でもある.

環 H(𝔬) を 𝔬 の Hall 代数と呼ぶ.

(2.3) 環 H(𝔬) は u_{(1^{r})} (r ≥ 1) によって (ℤ-代数として) 生成される. この生成元は ℤ 上代数独立である.

証明. 簡単の為に u_{(1^{r})} を v_{r} と記す. また各分割 λ に対し

v_{λ′} = v_{λ′_{1}}v_{λ′_{2}} … v_{λ′_{s}}

\underline{2}

と定める. ここで λ の転置を λ′ = (λ′_{1}, …, λ′_{s}) とした. v′_{λ} は u_{μ} の線型結合で書ける.

(1)  v′_{λ} = ∑_{μ} a_{λμ}u_{μ}

ここで係数 a_{λμ} は定義より次のような鎖の数に等しい :

(2)  M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ … ⊃ M_{s} = 0.

ここで M はタイプ μ の 𝔬-加群で 1 つ固定されたものとする. また 1 < i < s の各 i について, M_{i−1}/M_{i} はタイプ (1^{λ′_{i}}), 即ち長さ λ′_{i} の基本加群である. (2) のような鎖がある (即ち a_{λμ} ≠ 0) なら 𝔭M_{i−1} ⊂ M_{i} (1 ≤ i ≤ s) であり, 従って 1 < i < s について 𝔭^{i}M ⊂ M_{i} である. すると

l(M/𝔭^{i}M) ≥ l(M/M_{i})

となるから, (1.4) を用いて不等式

μ′_{1} + … + μ′_{i} ≥ λ′_{1} + … + λ′_{i}

を得る (1 ≤ i ≤ s) . 即ち μ′ ≥ λ′ であり, 従って第 1 章 (1.11) から μ ≤ λ である. 更に同様の議論で μ = λ なら (2) のような鎖は 1 つだけ, 即ち M_{i} = 𝔭^{i}M である.

以上より μ ≤ λ でなければ a_{λμ} = 0, また a_{λλ} = 1 である. 即ち行列 (a_{λμ}) は単位上三角行列である. 従って (1) を解いて u_{μ} を v_{λ′} の整数係数の線型結合で書ける. 従って v_{λ′} は H(𝔬) の ℤ-基底をなす. これで (2.3) が示せた.

(2.3) から Hall 代数 H(𝔬) は対称関数環 Λ (第 1 章) と同型である. u_{(}1^{r}) を r 次基本対称関数 e_{r} に対応させれば自明な同型写像が得られるが, 次の章でより秀逸な同型写像 u_{(1^{r})} ↦ q^{−r(r−1)/w}e_{r} を扱う. ここで q は 𝔬 の剰余体の位数である. 同型により H(𝔬) の各生成元 u_{λ} はある対称関数に写される. この対称関数については次章で明示化し研究することになる. この章の残りの部分は構造定数 G_{μν}^{λ}(𝔬) の計算に当てられる.