\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}
\usepackage[enableskew]{youngtab}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\parindent 1zw
\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE
�t�^B:\\
�ς̎w�W}
\end{center}

\section*{1.�L��}

\noindent
�C�ӂ̌Q$G$�ɑ΂�, $G_*$��$G$�̋���ނ̂Ȃ��W�����L��,
$G^*$��$G$�̊��񕡑f�w�W�̂Ȃ��W�����L��.
$c\in G_*$��$\gamma\in G^*$�ɑ΂���$\gamma(c)$��$x\in c$�ɂ�����$\gamma$�̒l��
�L��, $\zeta_c$��$G$�ɂ�����$x$�̒��S���Q�̈ʐ����L��.
�]����$c$��$|c|=|G|/\zeta_c$�̌�����Ȃ�.
\\
\hskip 1zw
$R(G)$��$G^*$�̒��镡�f���^���, ����$G$��̕��f���l�ފ֐��̋�Ԃ��L��.
���̂Ƃ�$\dim R(G)=|G^*|=|G_*|$����������.
$R(G)$��ɂ̓G���~�[�g����
\begin{align*}\tag{1.1}
\left<u,v\right>_G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{x\in G}u(x)\overline{v(x)}
\end{align*}
������.
���̓��ςɂ���$G^*$��$R(G)$�̒��������Ȃ�.
�܂� $\beta$, $\gamma\in G$�ɂ���
$\left<\beta,\gamma\right>_G=\delta_{\beta\gamma}$�ł���.
\\
\hskip 1zw
���$G_*$��������$G^*$�ɂ���ēY�����t�����镪���̑��Ƃ������̂�����.
��ʂ�, $X$��L���W��, $\rho=(\rho(x))_{x\in X}$��$X$�œY�����t����ꂽ
�����̑�, �����ʑ�$\rho:X\to\mathscr{P}$�Ƃ���,
$\|\rho\|$��a
\[\|\rho\|=\sum_{x\in X}|\rho(x)|\]
�Ƃ�, $\mathscr{P}(X)$ ( $\mathscr{P}_n(X)$ ) ��
�S�Ă� $\rho:X\to\mathscr{P}$ 
( $\|\rho\|=n$ �Ȃ�S�Ă� $\rho:X\to\mathscr{P}$ )
����Ȃ�W�����L��.
�Ō��, $\rho$, $\sigma\in\mathscr{P}(X)$ �ɑ΂���$\rho\cup\sigma$��
�֐�$x\mapsto\rho(x)\cup\sigma(x)$ $(x\in X)$���L��.

\section*{2.�� $G\sim S_n$}

\noindent
$G^n=G\times\ldots\times G$��$G$��$n$�̃R�s�[�̒��ςƂ���.
�Ώ̌Q $S_n$ �� $G^n$ �ɐ����̒u��
$s(g_1,\ldots,g_n)=(g_{s^{-1}(1)},\ldots,g_{s^{-1}(n)})$ �ɂ���č�p����.
\textbf{��} $G_n=G\sim S_n$ �Ƃ͂��̍�p�ɂ���Ē�`���ꂽ $G^n$ �� $S_n$ ��
�����ςł���.
����, �W�� $G^n\times S_n$ �ɐ� $(g,s)(h,t)=(g.s(h),st)$ �ɂ���ČQ�\������ꂽ
���̂ł���.
������ $g$, $s\in G^n$, $s$, $t\in S_n$ �Ƃ���.
����̓I�Ɍ�����, $G_n$ �̌��� $G$ �̌��𐬕��Ƃ���u���s��Ǝv����.
$(g,s)\in G_n$�ɑΉ�����u���s���$(i,j)$������$g_i\delta_{i,s(j)}$�ł���.
������$g=(g_1,\ldots,g_n)$�Ƃ���.
\\
\hskip 1zw
$n=1$�̂Ƃ�, $G_1$��$G$�ɑ��Ȃ�Ȃ�.
$n=0$�̂Ƃ�, $G_0$��1�̌�����Ȃ�Q�ł���.
$G_n$�̈ʐ���$|G|^nn!$�ł���.
\\
\hskip 1zw
$S_m\times S_n$��$S_{m+n}$�ւ̖��ߍ��݂�$G_m\times G_n$��$G_{m+n}$�ւ̖��ߍ���
��^����.
������, ���̂悤�Ȗ��ߍ��݂݂͌���$G_{m+n}$�̒��ŋ����ł���.

\subsection*{3. ����ނƏ���u���^}

\noindent
$x=(g,s)\in G_n$�Ƃ���.
�A��$g=(g_1,\ldots,g_n)\in G^n$����$s\in S_n$.
�u��$s$�݂͌��ɑa�ȏ���u���̐ςŏ�����.
$z=(i_1i_2\ldots i_r)$�����̐ςɌ���鏄��u����1�Ƃ����,
��$g_{i_r}g_{i_{r-1}}\ldots g_{i_1}\in G$��$G$�ɂ����鋤��ނ�
$g$��$z$�ɂ���Ĉ�ӂɌ��܂�.
�����$z$�ɑΉ�����$x$��\textbf{����u����}�ƌĂ�.
�e�����$c\in G_*$�Ɗe����$r\ge1$�ɑ΂�,
����u���ς�$c$�ł���$s$�Ɍ����$r$-����u���̐���$m_r(c)$�ƋL��.
���̂悤�ɂ��Ċe��$x\in G_n$��$\sum_{r,c}rm_r(c)=n$�𖞂���
�񕉐�����$(m_r(c))_{r\ge1,c \in G_*}$���߂�.
�����������, ����$m_r(c)$��$r$��������$\rho(c)$�ƋL����,
$\rho=(\rho(c))_{c\in G_*}$��$G_*$���`���ꂽ�����l�֐��ł���.
�X��$\|\rho\|=n$, 
�܂�\S1�̋L����p�����$\rho\in\mathscr{P}_n(G_*)$,
�����藧��.
�֐�$\rho$��$x=(g,x)\in G_n$��\textbf{�^}�ƌĂ΂��.
$S_n$�ɂ�����$s$�̏���u���^��$\sigma=\cup_{c\in G_*}\rho(c)$
�ƂȂ邱�Ƃɒ��ӂ���.
\\

�ȉ��ł͎��̂��Ƃ�����:
$G_n$��2���������ł��邽�߂ɂ�,
����炪�����^�������Ƃ��K�v�\���ł���.
\\

\noindent
(a)
$w\in S_n$�ɑ΂�$\overline{w}=(1,w)\in G_n$�Ƃ���.
$x=(g,s)\in G_n$�ɑ΂�$\overline{w}x\overline{w}^{-1}=(wg,wsw^{-1})$.
����$z=(i_1\ldots i_r)$��$s$�Ɍ���鏄��u���Ȃ�,
$wzw^{-1}=(w(i_1)\ldots w(i_r))$��$wsw^{-1}$�̏���u���ł���.
�X��, $(wg)_{w(i_1)}=g_i$�ł��邩��,
����u���ς͕s�ςł���,
����������$x$��$\overline{w}x\overline{w}^{-1}$�͓����^������.
\\

\noindent
(b)
$h=(h_1,\ldots,h_n)\in G^n$�Ƃ���.
���̎�$hxh^{-1}=(hgs(h^{-1}),s)$�ł���, 
$hgs(h^{-1})$��$i$�Ԗڂ̐�����$h_ig_ih_{s^{-1}(i)}^{-1}$�ł���.
����������$s$�̏���u��$z$�ɑΉ�����$hxh^{-1}$�̏���u���ς�
\[\left(h_{i_r}g_{i_r}h_{i_{r-1}}^{-1}\right)
\left(h_{i_{r-1}}g_{i_{r-1}}h_{i_{r-2}}^{-1}\right)
\ldots
\Big(h_{i_1}g_{i_1}h_{i_r}^{-1}\Big)
=h_{i_r}(g_{i_r}\ldots g_{i_1})h_{i_r}^{-1}\]
�ł���.
�����$G$�ɂ�����$g_{i_r}\ldots g_{i_1}$�Ƌ����ł���.
����������$x$��$hxh^{-1}$�͓����^�ł���.
\\

\noindent
(c)
(a)��(b)����$G_n$�̋����Ȃ���͓����^�������Ƃ�������.
�t��$G_n$�̌�$x=(g,s)$��$y=(h,t)$�������^�����Ƃ��悤.
�����$s$, $t\in S_n$�͓�������u���^
$\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\ldots)$������,
$S_n$�ɂ����ċ����ł���.
����������. �K���Ȓu��$w\in S_n$�ɂ����$y$�̋������Ƃ���, $t=s$�Ɖ��肵�Ă悢.
�����$x$��$y$�͂Ƃ��ɓ��������Q
$G_\sigma=G_{\sigma_1}\times G_{\sigma_2}\times\ldots\subset G_n$�Ɋ܂܂��.
����������$G_\sigma$�ɂ�����$x$��$y$�������ł��邱�Ƃ������Ώ\���ł���.
�����$s\in S_n$��$n$-����u��, �Ⴆ��$s=(12\ldots n)$�ł�����,
��$\overline{g}=g_ng_{n-1}\ldots g_1$��$\overline{h}=h_nh_{n-1}\ldots h_1$
��$G$�ŋ����ȏꍇ�ɂ��čl����΂悢.
$u_n\in G$��$\overline{g}=u_n\overline{h}u_n^{-1}$�ƂȂ�悤�Ɏ��,
$u_1,\ldots,u_{n-1}\in G$������
\[g_1=u_1h_1u_n^{-1},g_2=u_2h_2u_1^{-1},\ldots,
g_{n-1}=u_{n-1}h_{n-1}u_{n-2}^{-1}\]
�ƒ�`����.
$u=(u_1,\ldots,u_n)$�Ƃ����$uyu^{-1}=x$�ƂȂ邱�Ƃ��P���v�Z�ɂ���ĕ�����.
����������$x$��$y$��$G_n$�ɂ����ċ����ł���, ����ŏؖ����I������.
\\

\noindent
(d)
�^$\rho\in\mathscr{P}_n(G_*)$��$x=(g,s)$��$G_n$�ɂ����钆�S���Q�̈ʐ���
�v�Z���悤.
�܂�$s\in S_n$�̎��R�x��
\begin{align*}\tag{1}
n!\Big/\prod_{r\ge1}r^{m_r}.m_r!
\end{align*}
�ł���.
�A��$m_r=\sum_cm_r(c)$.
���Ɋe$s$��$r\ge1$�ɂ���
$G$�̋���ނɂ�����$m_r$��$r$-����u������ׂ���@��
\begin{align*}\tag{2}
m_r!\Big/\prod_{c}m_r(c)!
\end{align*}
�ʂ肠��.
�Ō��, $g_{i_r}\ldots g_{i_1}\in c$�ƂȂ�$s$�̏���u��$z=(i_1\ldots i_r)$
�ɂ���,
$(g_{i_1},\ldots,g_{i_1})$�̂Ƃ����
\begin{align*}\tag{3}
|G|^{r-1}.|c|=|G|^r/\zeta_c
\end{align*}
�ʂ肠��.
(1), (2)�y��(3)����, �^��$\rho$�ł���$G_n$�̌��̐���
\[\dfrac{n!}{\prod_cz_{\rho(c)}}.\dfrac{|G|^n}{\prod_c\zeta_c^{l(\rho(c))}}\]
�ł���,
���������Č^��$\rho$�ł���$G_n$�̌��̒��S���Q�̈ʐ���
\begin{align*}\tag{3.1}
Z_\rho=\prod_{c\in G_*}z_{\rho(c)}\zeta_c^{l(\rho(c))}
\end{align*}
�ł���.

\subsection*{4. �㐔$R(G)$}

\noindent
\[R(G)=\otimes_{n\ge0}R(G_n)\]
�Ƃ���.
$R(G)$��̐ς����̂悤�ɒ�`����.
$u\in R(G_m)$,
$v\in R(G_n)$�Ƃ�$G_m\times G_n$��$G_{m+n}$�ɖ��ߍ���.
���̎�$u\times v$��$R(G_m\times G_n)$�̌��ł��邩��,
$R(G_{m+n})$�̌�
\begin{align*}\tag{4.1}
uv=\mathrm{ind}_{G_m\times G_n}^{G_{m+n}}(u\times v)
\end{align*}
����`�ł���.
�������đo���`�ȏ��$R(G_m)\times R(G_n)\to R(G_{m+n})$����`�ł���.
��1��, \S7 (�����ł�$G=\{1\}$�̏ꍇ��������)
�̂悤��, ���̏�@�ɂ����$R(G)$���P�ʌ������������I�����t��
$\mathbb{C}$-�㐔�ł��邱�Ƃ��m���߂邱�Ƃ��ł���.
\\
\hskip 1zw
�X��, $R(G)$�̓G���~�[�g���ς�����.
$u,v\in R(G)$��$u=\sum u_n$, $v-\sum v_n$, �A��$u_n,v_n\in R(G_n)$���Ƃ���,
���ς�
\begin{align*}\tag{4.2}
\left<u,v\right>=\sum_{n\ge0}\left<u_n,v_n\right>_{G_n}
\end{align*}
�ƒ�`����.
�����ŉE�ӂ̓��ς�$G$��(1.1)�Œ�`���ꂽ���̂�$G_n$�ɓK�p�������̂ł���.

\subsection*{5. �㐔$\Lambda(G)$}

\noindent
$p_r(c)$ ($r\ge1, c\in G_*$)��$\mathbb{C}$��Ɨ��ȕs�茳�Ƃ�,
\[\Lambda(G)=\mathbb{C}[p_r(c):r\ge1,c\in G_*]\]
�Ƃ���.
�e$c\in G_*$�ɂ���$p_r(c)$��ϐ���$x_c=(x_{ic})_{i\ge1}$��$r$��p�a�Ǝv����.
$p_r(c)$�̎�����$r$�Œ�߂��, $\Lambda(G)$�͎����t��$\mathbb{C}$-�㐔�ɂȂ�.
\\
\hskip 1zw
�C�ӂ̕���$\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\ldots)$�ɑ΂�,
$p_\sigma(c)=p_{\sigma_1}(c)p_{\sigma_2}(c)\ldots$�ƒ�߂�.
$G_*$���`���ꂽ�����l�֐�$\rho$�ɑ΂�
\begin{align*}\tag{5.1}
P_\rho=\prod_{c\in G_*}p_{\rho(c)}(c)
\end{align*}
�ƒ�`����.
$P_\rho$��$\Lambda(G)$��$\mathbb{C}$-�����Ȃ��͖̂��炩�ł���.
$f\in\Lambda(G)$��$f=\sum_\rho f_\rho P_\rho$
(�A��$f_\rho\in\mathbb{C}$�͗L����������0)
�Ə�����Ƃ���
\begin{align*}\tag{5.2}
\overline{f}=\sum_\rho \overline{f}_\rho P_\rho
\end{align*}
�ƒ�߂�.
����$\overline{P}_\rho=P_\rho$�ł���.
\\
\hskip 1zw
����, $\Lambda(G)$��̃G���~�[�g���ς����̂悤�ɒ�`����.
$f=\sum_\rho f_\rho P_\rho$, $g=\sum_\rho g_\rho P_\rho$�ɑ΂�
\begin{align*}\tag{5.3}
\left<f,g\right>=\sum_\rho f_\rho \overline{g}_\rho Z_\rho
\end{align*}
�ƒ�߂�.
������$Z_\rho$��(3.1)�Œ�߂����̂ł���.
�����������
\begin{align*}\tag{5.3$'$}
\left<P_\rho,P_\sigma\right>=\delta_{\rho\sigma}Z_\rho.
\end{align*}
\hskip 1zw
�Ō��, $\Psi:G_m\to\Lambda(G)$��, $x\in G_m$���^$\rho$�̂Ƃ�
$\Psi(x)=P_\rho$�ƒ�`�����ʑ��Ƃ���.
����$y\in G_n$���^$\sigma$�Ȃ�$x\times y\in G_m\times G_n$��$G_{m+n}$�ɂ�����
������������well-defied�ł���, ���̌^��$\rho\cup\sigma$�ł���.
�܂�
\begin{align*}\tag{5.4}
\Psi(x\times y)=\Psi(x)\Psi(y).
\end{align*}

\subsection*{6. �w�W}
$\mathbb{C}$-���^�ʑ�
\[\mathrm{ch}:R(G)\to\Lambda(G)\]
���ȉ��̂悤�ɒ�`����.
$f\in R(G_n)$�ɑ΂���
\begin{align*}\tag{6.1}
\mathrm{ch}(f)&=\left<f,\Psi\right>_{G_n}\\
&=\dfrac{1}{|G_n|}\sum_{x\in G_n}f(x)\Psi(x).
\end{align*}
$f_\rho$��$f$�̌^$\rho$�̌��ɂ�����l�ł���Ȃ�
\begin{align*}\tag{6.2}
\mathrm{ch}(f)=\sum_\rho Z_\rho^{-1}f_\rho P\rho
\end{align*}
�ł���.
����, $\varphi_\rho$���^$\rho$�̌�$x\in G_n$�̏W���̎w�W�Ȃ�,
$\mathrm{ch}(\varphi_\rho)=Z_\rho^{-1}P_\rho$�ł���,
���̂��Ƃ���$\mathrm{ch}$�����^���^�ʑ��ł��邱�Ƃ��]��.
\\

$f,g\in G_n$�Ƃ���.
(5.3)�y��(6.2)����
\begin{align*}
\left<\mathrm{ch}(f),\mathrm{ch}(g)\right>
&=\sum_\rho Z_\rho^{-1}f_\rho \overline{g}_\rho\\
&=\left<f,g\right>_{G_n}
\end{align*}
�Ȃ̂�, $\mathrm{ch}$��(4.2)��(5.3)�Œ�`���ꂽ$R(G)$�y��$\Lambda(G)$��̓���
�Ɋւ���\textbf{�����I}�ł���.
\\

$u\in R(G_m)$, $v\in R(G_n)$�Ƃ����,
(4.1)�y��(6.1)����
\begin{align*}
\mathrm{ch}(uv)
&=\left<\mathrm{ind}_{G_m\times G_n}^{G_{m+n}}(u\times v),\Psi\right>_{G_{m+n}}
\end{align*}
Froenius���ݗ���p����
\begin{align*}
\qquad\quad&=\left<u\times v,\Psi|_{G_m\times G_n}\right>_{G_m\times G_n}
\end{align*}
(5.4)��p����
\begin{align*}
&=\left<u,\Psi\right>_{G_m}\left<v,\Psi\right>_{G_n}\\
&=\mathrm{ch}(u)\mathrm{ch}(v).
\end{align*}
�]���Ď��̂��Ƃ������ꂽ.
\\

\noindent
(6.3)
$\mathrm{ch}:R(G)\to\Lambda(G)$�͎����t��$\mathbb{C}$-�㐔�̓����I���^�ʑ�
�ł���.

\subsection*{7.�ϐ��ϊ�}

\noindent
�e�w�W$\gamma\in G^*$�Ɗe$r\ge1$�ɑ΂�
\begin{align*}\tag{7.1}
p_r(\gamma)=\sum_{c\in G_*}\zeta_c^{-1}\gamma(c)p_r(c)
\end{align*}
�ƒ�`����.
���̎�
($G$�̎w�W�̒��𐫂ɂ��)
\begin{align*}\tag{7.1$'$}
p_r(c)=\sum_{\gamma\in G^*}\overline{\gamma(c)}p_r(\gamma)
=\sum_{\gamma\in G^*}\gamma(c)\overline{p_r(\gamma)}
\end{align*}
����������.
$p_r(\gamma)$�S�̂͑㐔�I�ɓƗ���, 
$\mathbb{C}$-�㐔�Ƃ���$\Lambda(G)$�𐶐�����.
(7.1$'$)����
\begin{align*}\tag{7.2}
\sum_c\zeta_c^{-1}p_r(c)\otimes p_r(c)
&=\sum_c\sum_{\beta,\gamma}\zeta_c^{-1}\overline{\gamma}(c)\beta(c)p_r(\gamma)
\otimes\overline{p_r(\beta)}\\
&=\sum_{\beta,\gamma}\left<\beta,\gamma\right>_Gp_r(\gamma)\otimes
\overline{p_r(\beta)}\\
&=\sum_{\gamma}p_r(\gamma)\otimes\overline{p_r(\gamma)}
\end{align*}
��$\Lambda(G)\otimes\Lambda(G)$�ɂ����Đ�������.
\\
\hskip 1zw
$p_r(\gamma)$�͐V�����ϐ���$y_\gamma=(y_{i\gamma})_{i\ge1}$��$r$��p�a��
���Ȃ��邩��,
����$\mu$�ɑ΂���Schur�֐�$s_\mu(\gamma)=s_\mu(y_\gamma)$���`�ł���.
����ʓI��, �C�ӂ�$\lambda\in\mathscr{P}(G^*)$�ɑ΂�
\begin{align*}\tag{7.3}
S_\lambda=\prod_{\gamma\in G^*}s_{\lambda(\gamma)}(\gamma)
\end{align*}
�ƒ�`�ł���.
\\
\\
(7.4)
$(S_\lambda)_{\lambda\in\mathscr(G^*)}$��$\Lambda(G)$�̒������ł���.
\begin{proof}
$\Lambda(G)$��̓��ς̒�`(5.3$'$)���,
\begin{align*}\tag{1}
\sum_\lambda S_\lambda\otimes\overline{S}_\lambda
=\sum_\rho Z_\rho^{-1}P_\rho\otimes P_\rho
\end{align*}
�������Ώ\��.
�����ō��ӂ̘a�͑S�Ă�$\lambda\in\mathscr{P}(G^*)$�ɂ킽��,
�E�ӂ̘a�͑S�Ă�$\rho\in\mathscr{P}(G^*)$�ɂ킽��.
(1)���̍��ӂ�
\begin{align*}\tag{2}
\prod_{\gamma\in G^*}\left(\sum_\mu s_\mu(\gamma)\otimes
\overline{s_\mu(\gamma)}\right)
&=\prod_{\gamma\in G^*}\left(\exp\sum_{r\ge 1}\dfrac{1}{r}p_r(\gamma)\otimes
\overline{p_r(\gamma)}\right)\\
&=\exp\left(\sum_{r\ge1}\dfrac{1}{r}\sum_{\gamma\in G^*}p_r(\gamma)\otimes
\overline{p_r(\gamma)}\right)
\end{align*}
�ɓ�����.
\\
\hskip 1zw
�����, (3.1)���(1)�̉E�ӂ�
\begin{align*}\tag{3}
\prod_{c\in G^*}\left(\sum_\sigma\zeta_c^{-l(\sigma)}z_\sigma^{-1}
p_\sigma(c)\otimes p_\sigma(c)\right)
&=\prod_{\gamma\in G^*}\left(\exp\sum_{r\ge1}\dfrac{1}{r}\zeta_c^{-1}
p_r(c)\otimes p_r(c)\right)\\
&=\exp\left(\sum_{r\ge 1}\dfrac{1}{r}\sum_{c\in G^*}
\zeta_c^{-1}p_r(c)\otimes p_r(c)\right)
\end{align*}
(7.2)���(2)��(3)�͓�����.
\end{proof}

\subsection*{8.�w�W$\eta_{n,\gamma}$}
\noindent
�w�W$\gamma\in G^*$������$G$-���Q��$E_\gamma$�ƋL��.
�Q$G_n$��$n$���e���\����$\mathbf{T}^n(E_\gamma)$�Ɏ��̂悤�ɍ�p����.
$u_1,\ldots,u_n\in E_\gamma$��$(g,s)\in G_n$, �A��$g=(g_1,\ldots,g_n)\in G^n$
�y��$s\in S_n$, �ɑ΂�
\[(g,s)(u_1\otimes\ldots\otimes u_n)
=g_1u_{s^{-1}(1)}\otimes\ldots\otimes g_nu_{s^{-1}(n)}.\]
\hskip 1zw
�������Č��܂�$G_n$�̕\���̎w�W$\eta_n=\eta_n(\gamma)$���v�Z������.
�܂�$x\in G_r$, $y\in G_{n-r}$�Ƃ�,
$\mathbf{T}^n(E_\gamma)$�̍ŏ���$r$�̈��q�ɂ�$x$��,
�㔼��$n-r$�̈��q�ɂ�$y$����p������̂Ƃ���.
���̎�
\begin{align*}\tag{8.1}
\eta_n(x\times y)=\eta_r(x)\eta_{n-r}(y)
\end{align*}
�ƂȂ�͖̂��炩�ł���.
�]����$g\in G^n$��$n$-����u��$s=(12\ldots n)$�ɑ΂���
$\eta_n(g,s)$���v�Z����΂悢.
���̂��߂�, $e_1,\ldots,e_d$��$E_\gamma$�����Ƃ�,
\[ge_j=\sum_ia_{ij}(g)e_i\]
�ɂ����$G$�̍s��\��$g\mapsto a(g)=(a_{ij}(g))$���߂�.
���̂Ƃ�
\[(g,s)(e_{j_1}\otimes\ldots\otimes e_{j_n})
=g_1e_{j_n}\otimes g_2e_{j_1}\otimes\ldots\otimes g_ne_{j_{n-1}}\]
�ł���,
�E�ӂɂ�����$e_{j_1}\otimes e_{j_n}$�̌W����
\begin{align*}\tag{1}
a_{j_1j_n}(g_1)a_{j_2j_1}(g_2)\ldots a_{j_nj_{n-1}}(g_n)
\end{align*}
�ɂȂ�.
�g���[�X�𓾂�ɂ͑S�Ă�$j_1,\ldots,j_n$�ɂ���(1)�̘a���Ƃ�΂悢.
�����
\begin{align*}
\eta_n(g,s)
&=\mathrm{trace}a(g_n)a(g_{n_1})\ldots a(g_1)\\
&=\mathrm{trace}a(g_ng_{n-1}\ldots a(g_1)=\gamma(c)
\end{align*}
�ƂȂ�.
�����ōŌ�̓����ł͏����$g_ng_{n-1}\ldots g_1$�������$c$�ɑ�����Ɖ��肵��.
(8.1)��p�����, $x\in G_n$���^$\rho$�Ȃ�,
\begin{align*}\tag{8.2}
\eta_n(\gamma)(x)=\prod_c\gamma(c)^{l(\rho(c))}
\end{align*}
�ƂȂ邱�Ƃ�������.
\\
�ȏ�̂��Ƃ𓥂܂��Čv�Z�����
\begin{align*}
\sum_{n\ge0}\mathrm{ch}(\eta_n(\gamma))
&=\sum_\rho Z_\rho^{-1}\prod_{c\in G_*}\gamma(c)^{l(\rho(c))}p_{\rho(c)}(c)\\
&=\prod_{c\in G_*}\left(\sum_\sigma(\zeta_c^{-1}\gamma(c))^{l(\sigma)}
z_\sigma^{-1}p_\sigma(c)\right)\\
&=\prod_{c\in G_*}\exp\left(\sum_{r\ge1}\dfrac{1}{r}\zeta_c^{-1}\gamma(c)p_r(c)
\right)\\
&=\exp\left(\sum_{r\ge1}\dfrac{1}{r}\sum_{c\in G_*}\zeta_c^{-1}\gamma(c)p_r(c)
\right)\\
&=\exp\left(\sum_{r\ge1}\dfrac{1}{r}p_r(\gamma)\right)&\mbox{(7.1)���}\\
&=\sum_{n\ge0}h_n(\gamma).
\end{align*}
�]����
\begin{align*}\tag{8.3}
\mathrm{ch}(\eta_n(\gamma))=h_n(\gamma)
\end{align*}
���C�ӂ�$\gamma\in G^*$�y��$n\ge0$�ɂ��Đ��藧��.

\subsection*{9. $G_n$�̊���w�W}
\noindent
$m$�̕���$\mu$��$\gamma\in G^*$�ɂ���
\begin{align*}\tag{9.1}
\chi^\mu(\gamma)=\det\left(\eta_{\mu_i-i+j}(\gamma)\right)
\end{align*}
�Ƃ���.
����͎w�W�̐ς̌��a������, $G_m$��(�ꍇ�ɂ���Ă͉��z)\textbf{�w�W}�ł���.
(8.3)��(6.3)����
\begin{align*}\tag{9.2}
\mathrm{ch}(\chi^\mu(\gamma))=\det\left(h_{\mu_i-i+j}(\gamma)\right)
=s_\mu(\gamma)
\end{align*}
�ƂȂ�.
\\
\hskip 1zw
����, $\lambda\in\mathscr{P}_n(G^*)$�ɑ΂���
\begin{align*}\tag{9.3}
X^\lambda=\prod_{\gamma\in G^*}\chi^{\lambda(\gamma)}(\gamma)
\end{align*}
�ƒ�`����.
�����(9.1)�Ɠ������R�ɂ��$G_n$�̎w�W�ƂȂ�.
(9,2)����
\begin{align*}\tag{9.4}
\mathrm{ch}(X^\lambda)=\prod_{\gamma\in G^*}s_{\lambda(\gamma)}(\gamma)
=S_\lambda
\end{align*}
�ƂȂ�.
$\mathrm{ch}$�͓��� (6.3) ������, (7.4)���
\begin{align*}
\left<X^\lambda,X^\mu\right>_{G_n}=\left<S_\lambda,S_\mu\right>
=\delta_{\lambda\mu}
\end{align*}
���C�ӂ�$\lambda$, $\mu\in\mathscr{P}_n(G^*)$�ɂ��Đ�������.
�]����$X^\lambda$��, ������������, �݂��ɈقȂ�$G_n$�̊���w�W�ł���.
�܂�$|\mathscr{P}_n(G^*)|=|\mathscr{P}_n(G_*)|=|(G_n)_*|$������,
$X^\lambda$�̌���$G_n$�̋���ނ̐��ɓ�����, �]����$G_n$�̊���w�W��
$X^\lambda$�Ős������Ă���.
���Ƃ͕����̖�肪�c�邪, �ȉ��Ŏ����悤�Ɋe$X^\lambda$�̎������v�Z�����
�S�ĉ�������.
\\

�^$\rho\in\mathscr{P}_n(G_*)$������$G_n$�̌��ɂ�����$X^\lambda$�̒l��
$X_\rho^\lambda$�ƋL��.
(9.4)�y��(6.2)����
\begin{align*}\tag{9.5}
S_\lambda=\sum_\rho Z_\rho^{-1}X_\rho^\lambda P_\rho
\end{align*}
�ƂȂ�.
�����������
\begin{align*}
\tag{9.5$'$}
&X_\rho^\lambda=\left<S_\lambda,P_\rho\right),\\
\tag{9.5$''$}
&P_\rho=\sum_\lambda X_\rho^\lambda\overline{S}_\lambda
=\sum_\lambda\overline{X}_\rho^\lambda S_\lambda.
\end{align*}
$c_0\in G_*$���P�����̑����鋤��ނƂ���.
$G_n$�̍P�����̌^$\rho$��$\rho(c_0)=(1^n)$����
$c\neq c_0$�Ȃ�$\rho(c)=0$�𖞂���.
�]����$P_\rho=p_1(c_0)^n$�ł���.
�܂�$d_\gamma=\gamma(c_0)$��$\gamma$�̎����Ƃ���
$p_1(c_0)=\sum_\gamma d_\gamma p_1(\gamma)$�ƂȂ邩��,
(9.5$'$)���$X^\lambda$�̎�����$(\sum_\gamma d_\gamma p_1(\gamma))^n$�ɂ�����
$S_\lambda$�̌W���ɓ�����.
����
���̎��ɂ�����$\prod_\gamma s_{\lambda(\tau)}(\gamma)$�̌W���ɓ�����.
\[\dfrac{n!}{\prod_\gamma|\lambda(\gamma)|!}
\prod_\gamma\left(d_\gamma(p_1(\gamma))\right)^{|\lambda(\gamma)|}
\]
��I��, (7.6)��p�����, ���̎���
\begin{align*}\tag{9.6}
n!\prod_\gamma\left(d_\gamma^{|\lambda(\tau)|}/h(\lambda(\tau))\right)
\end{align*}
�ɓ�����.
������$h(\lambda(\tau))$�͕���$\lambda(\gamma)$�ɂ������꒷�̐ςł���.
�]���ČW���͐��ł���, $X^\lambda$�͊���w�W�ł���
(������$-X^\lambda$�͎w�W�ł͂Ȃ�).
�܂Ƃ߂��
\\

\noindent
(9.7)
$G_n=G\sim S_n$�̕��f����w�W��(9.3)�Œ�`�����$X^\lambda$ 
($\lambda\in\mathscr{P}_n(G^*)$) �ł���,
�^��$\rho\in\mathscr{P}_n(G_*)$�ł��錳�ł�$X^\lambda$�̒l��
\[
X_\rho^\lambda=\left<S_\lambda,P_\rho\right>
\]
�ł���.
�X��$X^\lambda$�̎�����(9.6)�ŗ^������.

\subsection*{��}
�����łȂ��ꍇ�̂����ł��P���Ȃ��̂�, $G$��2��$pm1$����Ȃ�Q�̂Ƃ��ł���.
���̏ꍇ$G_n$�͕������u���s��̂Ȃ��Q�ł���, �ʐ���$2^nn!$�ł���.
����������ƃ����N$n$�̒����ʑ̌Q�ł���.
$G_n$�̋���ދy�ъ���w�W��$|\lambda|+|\mu|=n$�Ȃ镪���̑g$(\lambda,\mu)$��
�p�����g���C�Y�����.
\\
\hskip 1zw
�P�����̋���� (���l�ɂ���ȊO�̋����) �ɑΉ�����p�a��$p_r(a)$ 
(���l�� $p_r(b)$ )�ƕ\�L�����,
�ϐ��ϊ�����(7.1$'$)��
\begin{align*}
p_r(a)=p_r(x)+p_r(y),\qquad
p_r(b)=o_r(x)-p_r(y)
\end{align*}
�ƂȂ�.
�܂�(9.5$''$)��
\begin{align*}
p_\rho(a)p_\sigma(b)
=\sum_{\xi,\mu}X_{\rho,\sigma}^{\lambda,\mu}s_\lambda(x)s_\mu(y)
\end{align*}
�ƂȂ�.
������$X_{\rho,\sigma}^{\lambda,\mu}$��$(\lambda,\mu)$�Ŏw�肳���w�W��,
$(\rho,\sigma)$�Ŏw�肳��鋤��ނɂ�����l�ł���
(���̂Ƃ�$|\lambda|+|\mu|=|\rho|+|\sigma|=n$�ł���).

\subsection*{���ƎQ�l����}
\noindent
$G$��C�ӂ̗L���Q�Ƃ���, ��$G\sim S_n$�̎w�W�� W.Specht�̊w�ʘ_�� [S17]
�ɂ���čŏ��ɉ𖾂��ꂽ.
���̖{�ł̋c�_�͖{���I��Specht�ɂ����̂ł���.
[M3] ���Q�l����.
\end{document}