\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,mathrsfs,youngtab}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{1}
\setcounter{section}{6}
\section{�Ώ̌Q�̎w�W}
\noindent
���̐߂ł͗L���Q�̕\���Ǝw�W�̊�{�I��
�����ɂ��Ă͊��m�Ƃ���.

$G$���L���Q��$f,g$����$\mathbb{Q}$-�㐔�ɒl���Ƃ�$G$��̊֐��Ƃ���.���̂Ƃ�$f$��$g$��\textbf{����}��
\[\langle f,g \rangle_G = \frac{1}{|G|}
\sum_{x \in G}f(x)g(x^{-1})\]
�ƒ�`����.
$H$��$G$�̕����Q��$f$��
$H$�̎w�W�̂Ƃ�,
$G$�̗U���w�W��ind$_H^G(f)$�Ə���.
$g$��$G$�̎w�W�̂Ƃ�,
$H$�ւ̐�����res$_G^H(g)$�ƕ\�L����.

�u��$w \in S_n$���ꂼ��݂͌��ɑf�ȏ���u���̐ςň�ӂɕ\�����.������
����u���̈ʐ���$\rho_1,\rho_2,\ldots$�Ƃ���.������
$\rho_1 \ge \rho_2 \ge \ldots$�ł���.���̂Ƃ�
$\rho(w)=(\rho_1,\rho_2,\ldots)$��
$w$��\textbf{����u���^}(�܂��͒P�Ɍ^)�ƌĂ΂��$n$�̕����ł���.�����
$S_n$�̋�����������$w$�����肵,
$S_n$�̋���ނ͂��̕��@��$n$�̕����ŕ��ނ����.

�ʑ�$\psi:S_n \rightarrow \Lambda^n$��
���̂悤�ɒ�`����:
\[ \psi(w) = p_{\rho(w)}.\]
$m,n$���������̂Ƃ�,
$S_m$��$S_n$��
$\{1,2,\ldots,m+n\}$�݂̌��ɑf�ȕ����W���ɍ�p������
���Ƃɂ��$S_m \times S_n$��$S_{m+n}$�ɖ��ߍ���.�������
���ߍ��ޕ��@�͑������邪,
���ʂƂ��ē�����$S_{m+n}$�̕����Q�͑S�ċ����ł���.�]����
$v \in S_m,w \in S_n$�Ȃ��,
$v \times w \in S_{m+n}$��
$S_{m+n}$�̋�����������well-defined�ł���,
����u���^��$\rho(v \times w)=\rho(v) \cup \rho(w)$�ł���.
�����
\begin{equation*}
\tag{7.1} \psi(v \times w) = \psi(v) \psi(w)
\end{equation*}
�ł���.

$R^n$��$S_n$�̊���w�W�ɂ���Đ������ꂽ
$\mathbb{Z}$-���Q�Ƃ�,
$S_0=\{1\}$�Ƃ�������,
�]����$R^0=\mathbb{Z}$�̉���
\[ R = \bigoplus_{n \ge 0}R^n \]
�Ƃ���.
$\mathbb{Z}$-���Q$R$��
���̂悤�ɒ�`���ꂽ�\��������.
$f \in R^m,g \in R^n$�Ƃ�
$S_{m+n}$��$S_m \times S_n$�𖄂ߍ���.���̂Ƃ�$f \times g$��
$S_m \times S_n$�̎w�W�ł���,
$S_{m+n}$�̎w�W,
����$R^{m+n}$�̌��ł���
\[f\, .\  g = \textrm{ind}_{S_m \times S_n}^{S_{m+n}}(f \times g)\]
���`����.���̂悤�ɂ��đo���^�`��
$R^m \times R^n \rightarrow R^{m+n}$���`�ł���.������
���̏�@�Ɋւ���$R$�����ł���,
�����@���𖞂���,
�P�ʌ����������t���ł���
���Ƃ��ؖ����邱�Ƃ͓���Ȃ�.

�����
$R$�͓��ς�����:
$f,g \in R$�̂Ƃ�,
$f_n,g_n \in R^n$��p����
$f=\sum f_n,g=\sum g_n$�ƕ\����,
\[\langle f,g \rangle = \sum_{n \ge 0}\langle f_n,g_n \rangle_{S_n}\]
�ƒ�`����.

����$\mathbb{Z}$-���^�ʑ�
\[ \textrm{ch}:R \rightarrow \Lambda_\mathbb{C}
=\Lambda \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{C} \]
�����̂悤�ɒ�`����:
$f \in R^n$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\[\textrm{ch}(f)=\langle f,\psi \rangle_{S_n}
= \frac{1}{n!}\sum_{w\in S_n}f(w)\psi(w)\]
($\psi(w)=\psi(w^{-1})$���)�Ƃ���.
$f_\rho$������u���^$\rho$�̌��ɂ�����$f$�̒l�Ƃ����,
\begin{equation}
\tag{7.2} \textrm{ch(f)}=\sum_{|\rho|=n}z_{\rho}^{-1}f_{\rho}p_{\rho}
\end{equation}
�𓾂�.
ch($f$)��$f$��\textbf{������}�ƌ���,
ch��\textbf{�����ގʑ�}�ƌ���.
(7.2)��(4.7)����$f,g \in R^n$�ɑ΂���,
\[\langle \textrm{ch}(f),\textrm{ch}(g) \rangle\ =
\sum_{|\rho|=n}z_{\rho}^{-1}f_{\rho}g_{\rho} =
\langle f,g \rangle_{S_n}, \]
�]����\textrm{ch}��\textbf{�����ϊ�}�ł��邱�Ƃ�������.

���̊�{�I����������.
\\
\\
(7.3)\
�����ގʑ���$\Lambda$�̏�ւ�$R$�̓������^�ʑ��ł���.
\begin{proof}
�܂�ch�������^�ʑ��ł��邱�Ƃ��ؖ�����.
$f \in R^m,g \in R^n$�Ƃ����,
\begin{align*}
\textrm{ch}(f\, .\  g) &=\langle \textrm{ind}_{S_m \times S_n}^{S_{m+n}}(f \times g),
\psi \rangle_{S_{m+n}} \\
 		 &=\langle f \times g,
                 \textrm{res}_{S_{m+n}}^{S_m \times S_n}(\psi)\rangle
                 _{S_m \times S_n}
\end{align*}
��Frobenius�̑��݊֌W��蓾���,
(7.1)���
\[=\langle f,\psi \rangle_{S_m} \langle g,\psi \rangle_{S_n}
= \textrm{ch}(f)\, .\, \textrm{ch}(g)\]
�𓾂�.

����,
$\eta_n$��$S_n$�̍P���w�W�Ƃ���.���̂Ƃ�(7.2)��$(2.14')$���
\[ \textrm{ch}(\eta_n)= \sum_{|\rho|=n}z_{\rho}^{-1}p_{\rho}=h_n \]
�𓾂�.
$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$��
$n$�̔C�ӂ̕����Ƃ���Ƃ�,
$\eta_\lambda$��
$\eta_{\lambda_1}\, .\, \eta_{\lambda_2} . \,\ldots$
�ƒ�`����.���̂Ƃ�$\eta_{\lambda}$��
$S_n$�̎w�W,����
$S_{\lambda}=S_{\lambda_1} \times S_{\lambda_2} \times \ldots$
�̍P���w�W�ɂ��U���w�W�ł���,
$\textrm{ch}(\eta_{\lambda})=h_{\lambda}$�𓾂�.

$n$�̊e����$\lambda$�ɑ΂���,
\begin{equation}
\tag{7.4} \chi^\lambda = \det(\eta_{\lambda_i-i+j})_{1 \le i,j \le n}
\in R^n,
\end{equation}
����$\chi^{\lambda}$��$S_n$��
(�ꍇ�ɂ���Ă͉��z)�w�W�ƒ�`�����,
(3.4)���
\begin{equation}
\tag{7.5} \textrm{ch}(\chi^\lambda)=s_\lambda
\end{equation}
�𓾂�.
\textrm{ch}�͓����ϊ�������,
(4.8)����C�ӂ�2�̕���$\lambda , \mu$�ɑ΂���
$\langle \chi^\lambda,\chi^\mu \rangle=\delta_{\lambda\mu}$
�ł���,�]���ē���$\chi^\lambda$��,������������,
$S_n$�̊���w�W�ł��邱�Ƃ��킩��.
$S_n$�̋���ނ̌���$n$�̕����̐���
����������,�����̎w�W��$S_n$��
����w�W�S�Ăł���.
�]����$|\lambda|=n$��
�΂���$\chi^\lambda$��$R^n$�̊��𐬂�.�̂�
\textrm{ch}�͊e$n$�ɑ΂���
$R^n$����$\Lambda^n$�̏�ւ̓��^�ʑ�,
�����$R$����$\Lambda$�̏�ւ̓��^�ʑ��ł���.
\end{proof}
\noindent (7.6)\
(i)\
$S_n$�̊���w�W��(7.4)�ɂ���Ē�`���ꂽ$\chi^\lambda$
$(|\lambda|=n)$�ł���.\\
(ii)\
$\chi^\lambda$�̎����͘g$\lambda$�̕W���Ղ̑���
$K_{\lambda,(1^n)}$�ł���.
\begin{proof}
(7.3)�̏ؖ�����,
$\chi^\lambda$������w�W�ł��邱�Ƃ�
$-\chi^\lambda$
������w�W�łȂ����Ƃ������΂悢.
���̂��߂ɂ�
$\chi^\lambda(1) > 0$�������Ώ\���ł���.
(7.5)��(7.2)����
\[ s_\lambda = \textrm{ch}(\chi^\lambda)
=\sum_{\rho}z_\rho^{-1}\chi_\rho^\lambda p_\rho \]
�𓾂�.������$\chi_\rho^\lambda$�͏���u���^
$\rho$�̌��ɂ�����$\chi^\lambda$�̒l�ł���.�]����
(4.7)���
\begin{equation}
\tag{7.7} \chi_\rho^\lambda=\langle s_\lambda,p_\rho \rangle 
\end{equation}
�ƂȂ�,����
\[ \chi^\lambda(1)=\chi_{(1^n)}^\lambda=\langle s_\lambda,p_1^n \rangle\]
�ƂȂ�,�]����
\[ h_1^n = p_1^n =\sum_{|\lambda|=n}\chi^\lambda(1)s_\lambda \]
�𓾂�.�̂ɕ\1����
$\chi^\lambda(1)=M(h,s)_{(1^n),\lambda}=K_{\lambda,(1^n)}$
�𓾂�.
\end{proof}
\noindent(7.8)\
���ڍs��$M(p,s)$��$S_n$�̎w�W�\,����
\[ p_\rho=\sum_\lambda \chi_\rho^\lambda s_\lambda \]
�ł���.�]����$\chi_\rho^\lambda$��
$a_\delta p_\rho$�ɂ�����$x^{\lambda+\delta}$��
�W���ɓ�����.\\
�����(7.7)�̌��������ł���.
\\

\noindent \textbf{��.}
$\S 6$�̕\1����
\begin{align*}
h_\lambda    &=s_\lambda + \sum_{\mu > \lambda}K_{\mu\lambda}s_\mu, \\
e_{\lambda'} &=s_\lambda + \sum_{\mu < \lambda}K_{\mu'\lambda'}s_\mu
\end{align*}
�𓾂�.�]����
\begin{align*}
       \eta_\lambda &=\chi^\lambda + \sum_{\mu > \lambda}K_{\mu\lambda}\chi^\mu, \\
\varepsilon_{\lambda'} &=\chi^\lambda + \sum_{\mu < \lambda}K_{\mu'\lambda'}\chi^\mu
\end{align*}
�𓾂�.�����̊֌W�͗U�����Q
$H_\lambda=\textrm{ind}_{S_\lambda}^{S_n}(1)$��
$E_{\lambda'}=\textrm{ind}_{S_{\lambda'}}^{S_n}(\varepsilon)$
�̕��������ꂼ��^����.
$H_\lambda$��$E_{\lambda'}$�͋��ʂȊ��񐬕�,
�����w�W$\chi^\lambda$�ɑΉ�����
����$S_n$-���Q������1�����Ƃ�������.���̌��ʂ�
����$S_n$-���Q�̊ȒP�ȍ\���𓱂�.��̗�15������.
\\

$\lambda,\mu,\nu$��$n$�̕����Ƃ�,
\[\gamma_{\mu\nu}^\lambda
=\langle \chi^\lambda,\chi^\mu \chi^\nu \rangle _{S_n}
=\frac{1}{n!}\sum_{w \in S_n}\chi^\lambda(w)\chi^\mu(w)\chi^\nu(w)\]
�ƒu��.�����$\lambda,\mu,\nu$�Ɋւ��đΏ̂ł���.
���̂Ƃ�2�̕ϐ��̏W��$x=(x_1,x_2,\ldots)$��
$y=(y_1,y_2,\ldots)$�ɑ΂���,
\begin{equation}
\tag{7.9}
 s_\lambda(xy)=\sum_{\mu,\nu}\gamma_{\mu\nu}^\lambda s_\mu(x)s_\nu(y)
\end{equation}
�𓾂�.������$(xy)$�͕ϐ�$x_iy_j$�̏W���ł���.
((5.9)�Ɣ�r����.)
\begin{proof}
�C�ӂ̕���$\rho$�ɑ΂���$p_\rho(xy)=p_\rho(x)p_\rho(y)$
�𓾂�.�]����(7.8)����
\[ \sum_\lambda \chi^\lambda s_\lambda(xy)
=\sum_{\mu,\nu}\chi^\mu \chi^\nu s_\mu(x)s_\nu(y)\]
�������,�����$s_\lambda(xy)$�͉E�ӂ�
$\chi^\lambda$�̌W���ł���.
\end{proof}
$f,g \in \Lambda^n$�Ƃ����,
$f=\textrm{ch}(u),g=\textrm{ch}(v)$�Ə�����.
������$u,v$��$S_n$�ɂ�����ފ֐��ł���.
$f$��$g$��\textbf{������}��
\[ f * g = \textrm{ch}(uv)\]
�ƒ�`���悤.�A��$uv$��$S_n$��̊֐�
$w \mapsto u(w)v(w)$�ł���.���̐ςɊւ���,
$\Lambda^n$�͉������ƂȂ�,�P�ʌ���
$h_n$�ł���.

���^���ɂ��S�Ă�$\Lambda$��
���̐ς��g������Ɩ��ɗ���.���ۂ�
���̊�����$\hat{\Lambda}$($\S 2$)�ɂ܂Ŋg�������.
$f^{(n)},g^{(n)}\in \Lambda^n$��p����
\[ f = \sum_{n \ge 0}f^{(n)},\qquad g=\sum_{n \ge 0}g^{(n)}\]
�ƕ\�����Ƃ�,
\[ f * g = \sum_{n \ge 0}f^{(n)} * g^{(n)}\]
�ƒ�`����.���̐ςɑ΂���,
$\hat{\Lambda}$��,�P�ʌ���$\hat{1}=\sum h_n$
�ł�����ł���,
$\Lambda$�͕����ł���(���������̒P�ʌ����܂܂Ȃ�).

$\lambda,\mu,\nu$��$n$�̕����Ƃ���Ƃ�,
\begin{equation}
\tag{7.10} s_{\lambda}*s_{\mu}=\sum_{\nu}\gamma_{\lambda\mu}^\nu s_\nu
\end{equation}
�𓾂�.�]����(7.9)�ƌW��$\gamma_{\lambda\mu}^\nu$��
�Ώ̐����
\begin{equation}
\tag{7.11} s_\lambda(xy)=\sum_\mu s_\mu(x)(s_\lambda * s_\mu)(y)
\end{equation}
�𓾂�.�܂�
\begin{equation}
\tag{7.12} p_\lambda * p_\mu = \delta_{\lambda\mu}z_\lambda p_\lambda
\end{equation}
�������,�]����
$z_\lambda^{-1}p_\lambda \in \Lambda_{\mathbb{Q}}^n$��
�݂��ɒ����șp�����𐬂�,
$n$�̕���$\lambda$�S�Ăɂ킽�邻���̘a��
(2.14)���$\Lambda^n$�̒P�ʌ�$h_n$�ł���.

����,�S�Ă�$f,g \in \Lambda$�ɑ΂���,
\begin{equation}
\tag{7.13} \langle f,g \rangle=(f * g)(1)
\end{equation}
�𓾂�.�A��$(f * g)(1)$��$f * g$��
$(x_1,x_2,\ldots)=(1,0,0,\ldots)$�̒l���Ӗ�����.
(���^���ɂ��$f = p_\lambda,g=p_\mu$�̂Ƃ��ɂ�����
(7.13)���ؖ�����Ώ\����,���̏ꍇ��,
�S�Ă̕���$\lambda$�ɑ΂���$p_\lambda(1)=1$�ł��邩��,
(7.12)��(4.7)����]��.)

\subsection*{��}
\noindent1.\
$\chi^{(n)}=\eta_n$��$S_n$�̎����Ȏw�W�ł���,
$\chi^{(1^n)}=\varepsilon_n=\varepsilon$��
�����w�W�ł���.
((7.10)��$(2.14')$���r����.)
\\
2.\
$n$�̔C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���,
$\chi^{\lambda'}=\varepsilon_n \chi^\lambda$�ł���.�Ȃ��Ȃ�
$\omega(s_{\lambda'})=s_\lambda$��
$\omega(p_\rho)=\varepsilon_\rho p_\rho$����
\[ \chi_\rho^{\lambda'}=\langle s_{\lambda'},p_\rho \rangle
= \langle s_\lambda,\varepsilon_\rho p_\rho \rangle 
= \varepsilon_\rho \chi_\rho^\lambda \]
�ƂȂ邩��ł���.�]����$\Lambda$���
�΍�$\omega$��$R^n$��$\varepsilon_n$�ɂ��
��@�Ɉ�v����.�S�Ă�$f \in \Lambda^n$
�ɑ΂���$e_n * f = \omega(f)$�ł��邱�Ƃɓ��l�ł���.
\\
3.\
$\textrm{ch}(\chi^{\lambda/\mu})=s_{\lambda/\mu}$
�ɂ���`���ꂽ$S_n$�̎w�W$\chi^{\lambda/\mu}$��������,
����̓E�F�C�g$n$�̘cYoung�}�`$\lambda - \mu$
�ɑΉ�����.
$|\mu|=m$�Ȃ��(5.1)��(7.3)����
Frobenius�̑��݊֌W�ɂ��
\begin{align*}
\langle \chi^{\lambda/\mu},\chi^\nu \rangle_{S_n} &= 
\langle \chi^\lambda,\chi^\mu .\, \chi^\nu \rangle_{S_{m+n}} \\
 &= \langle \textrm{res}_{S_{m+n}}^{S_m \times S_n}\chi^\lambda,
 \chi^\mu \times \chi^\nu \rangle_{S_m \times S_n}
\end{align*}
�𓾂�.�̂�$\chi^\lambda$��
$S_m \times S_n$�ւ̐�����
$\sum_{|\mu|=m}\chi^\mu \times \chi^{\lambda/\mu}$
�ł���.

$\chi^{\lambda/\mu}$��\textbf{����}��
$\langle s_{\lambda/\mu},e_1^n \rangle=K_{\lambda/\mu,(1^n)}$,
�����g$\lambda - \mu$�̕W���Ղ̑����ɓ�����.
\\
4.\
$G$��$S_n$�̕����Q�Ƃ�,
$c(G)$��$G$�̏���w���Ƃ���
(\S2 ��9).���̂Ƃ�$c(G)=\textrm{ch}(\chi_G)$�ł���.�A��,
$\chi_G$��$G$�̎����Ȏw�W$1_G$��
����ėU�����ꂽ$S_n$�̎w�W�ł���.�Ȃ��Ȃ�
$\textrm{ch}(\chi_G)=\langle \chi_G,\psi \rangle_{S_n}
= \langle 1_G,\psi|G \rangle_G$
(Frobenius�̑��݊֌W�ɂ��)
$= c(G)$�ł��邩��ł���.

$G,H$��$S_n$�̕����Q�̂Ƃ�,
$\langle c(G),c(H) \rangle$��
$S_n$��$(G,H)$������]�ނ̐��ł���.
\\
5.\
$\S3$�̗�11��(7.8)����$\chi_\rho^\lambda$��
���߂鎟�̑g�ݍ��킹�_�I���@�𓾂�:
\[ \chi_\rho^\lambda = \sum_S (-1)^{\textrm{ht}(S)}.\]
������$m=l(p)$,
$0=\lambda^{(0)} \subset \lambda^{(1)} \subset \ldots \subset \lambda^{(m)}=\lambda$
�ł���,
$\lambda^{(i)}-\lambda^{(i-1)}$������$\rho_i$��
���E��($\S3$�̗�11)�ł���悤�ȕ����̗�
$S = (\lambda^{(0)},\lambda^{(1)},\ldots,\lambda^{(m)})$
��S�Ăɘa���킽��.�܂�,
$\textrm{ht}(S)=\sum_i \textrm{ht}(\lambda^{(i)}-\lambda^{(i-1)})$
�ł���.
\\
6.\
$\chi^\lambda$�̎���$f^\lambda=\chi^\lambda(1)$��
���̂悤�ɋ��܂�.
(7.8)���,�����
$(\sum x_i)^n $$\sum_{w \in S_n}$$\varepsilon(w)x^{w\delta}$
�ɂ�����$x^{\lambda+\delta}$�̌W���ł���.
$\mu = \lambda + \delta$
(����$\mu_i=\lambda_i+n-i,1\le i\le n$)�Ƃ�����,
���̌W����
\[ \sum_{w \in S_n}\varepsilon(w)n!\biggl{/}\prod_{i=1}^n(\,\mu_i-n+w(i))! \]
�ł���,����͍s��
$n!\det(1/(\mu_i-n+j)!)$�ł���.�̂�,
\[ \frac{n!}{\mu!}\det(\mu_i(\mu_i-1)\ldots(\mu_i-n+j+1))\]
\[= \frac{n!}{\mu!}\det(\mu_i^{n-j}) 
= \frac{n!}{\mu!}\Delta (\mu_1,\ldots,\mu_n)\]
�ł���.������$\mu ! =\prod_i \mu_i !$�ł���
$\Delta(\mu_1,\ldots,\mu_n) = \prod_{i<j}(\mu_i-\mu_j)$
�ł���.
\\
7.\
$\rho=(r,1^{n-r})$�Ƃ�����,
$\chi_\rho^\lambda$��$r$-����u��
$(1 \le r \le n)$�ɂ�����$S_n$��
�w�W$\chi^\lambda$�̒l�ł���.
(7.8)���,
$\chi_\rho^\lambda$��
$(\sum x_i^r)(\sum x_i)^{n-r}\sum_{w\in S_n}\varepsilon(w)x^{w\delta}$
�ɂ�����$x^\mu=x^{\lambda+\delta}$�̌W���ł���.��6��
���ʂ���,���̌W����
\[ \sum_i\frac{(n-r)!\Delta(\mu_1,\ldots,\mu_i-r,\ldots,\mu_n)}
{\mu_1 ! \ldots(\mu_i-r)!\ldots \mu_n!}\]
�ł���,�̂�
\[\chi_\rho^\lambda/f^\lambda=\frac{(n-r)!}{n!}
\sum_{i=1}^n\frac{\mu_i!}{(\mu_i-r)!}
\prod_{j \neq 1}\frac{\mu_i-\mu_j-r}{\mu_i-\mu_j}\]
�ł���.
$\varphi(x)=\prod(x-\mu_i)$,
$h_\rho=n!/z_\rho=n!/(n-r)!r$�Ƃ�����,
���̎���
\[-r^2h_\rho\chi_\rho^\lambda/f^\lambda
=\sum_{i=1}^n\mu_i(\mu_i-1)\ldots(\mu_i-r+1)\varphi(\mu_i-r)/\varphi'(\mu_i)\]
�ƂȂ�,
$x$�̊֐�
\[x(x-1)\ldots(x-r+1)\varphi(x-r)/\varphi(x)\]
�̗����ɓ�����.

����,
$r=2$�̂Ƃ�
\[ h_\rho\chi_\rho^\lambda/f^\lambda=n(\lambda')-n(\lambda) \]
�𓾂�.
\\
8.\
$\lambda$��$n$�̕����̂Ƃ�,
\[f_\lambda(q)=q^{n(\lambda)}\varphi_n(q) \biggl/
\prod_{x\in \lambda}(1-q^{h(x)})\]
�Ƃ���.
$w \in S_n$��$n$-����u���Ƃ�, $\zeta$��1��
���n$n$�捪�Ƃ���.���̂Ƃ��S�Ă�$r \ge 0$�ɑ΂���,
\begin{equation*}
\tag{1} \chi^\lambda(w^r)=f_\lambda(\zeta^r)
\end{equation*}
�𓾂�.
(�Ȃ��Ȃ�$f_\lambda(q)=\varphi_n(q)s_\lambda(1,q,q^2,\ldots)$�ł��邩��
(\S3,��2)
\[ \sum_{|\lambda|=n}f_\lambda(q)s_\lambda(x)\]
��$\varphi_n(q)\prod_{i,j}(1-x_iq^{j-1}t)^{-1}$
�ɂ�����$t^n$�̌W���ɓ�����,�]����$q$-�񍀒藝
(\S2,��4)���
\[ \sum_{|\alpha|=n}g_\alpha(q)x^\alpha\]
�ɓ��������Ƃ�������.������,
$g_\alpha(q)=\varphi_n(q)/\prod_{i \ge 1}\varphi_{\alpha_i}(q)$
�ł���,�a��$|\alpha|=\sum\alpha_i=n$�Ȃ�񕉐�����
$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)$�S�Ăɂ킽��.
$\zeta^r$��1�̌��n$s$�捪�ł���.�A��$n/s$��
$r$��$n$�̍ő���񐔂ł���.�e$\alpha_i$��$s$�Ŋ���؂�Ȃ�����
$g_\alpha(\zeta^r)=0$�ł��邱�Ƃ�,
$\alpha=s\beta$�Ȃ��$g_\alpha(\zeta^r)$��
$(n/s)!/\prod\beta_i!$�ɓ��������Ƃ�����.
\begin{equation*}
\tag{2} \sum_{|\lambda|=n}f_\lambda(\zeta^r)s_\lambda(x)=
(\sum x_i^s)^{n/s}=p_s^{n/s}
\end{equation*}
�𓱂�.���(7.8)���,
\begin{equation*}
\tag{3} \sum_{|\lambda|=n}\chi^\lambda(w^r)s_\lambda(x)=p_s^{n/s}
\end{equation*}
�������,
(1)��(2)��(3)���r����Ƃ킩��.
\\
9.\
(a)
$\Lambda_+^n \subset \Lambda^n$��Schur�֐�
$s_\lambda,|\lambda|=n$�̔񕉐����̐��^��������
�Ȃ锼�Q�ƒ�`��,
$\Lambda_+=\oplus_{n \ge 0}\Lambda_+^n$�ƒ�`����.
$f \in \Lambda$�̂Ƃ�,�S�Ă�$g\in\Lambda_+$�ɑ΂���
$\langle f,g \rangle \ge 0$�ł���ꍇ�y�т��̏ꍇ�Ɍ���,
$f \in \Lambda_+$�����藧��.

(7.5)��(7.6)���,
$\Lambda_+^n$��$S_n$�̒ʏ�̎w�W
(���z�w�W�ł͂Ȃ�)�̓����ނ��琬��.
(7.3)����S�Ă�$m,n \ge0$�ɑ΂���
$\Lambda_+^m . \Lambda_+^n \subset \Lambda_+^{n+m}$
�ł���,
$\Lambda_+$�͘a�Ɠ��l�ɏ�@�Ɋւ��Ă����Ă��邱�Ƃ�������.
(�W��$c_{\mu\nu}^\lambda=\langle s_\lambda,s_\mu s_\nu \rangle$
���񕉐����ł��邱�ƂƓ��l�ł���.)
����,�S�Ă̕���$\lambda$�ɑ΂���$h_\lambda$��$e_\lambda$��
$\Lambda_+$�Ɋ܂܂�Ă���.��2�Ɨ�3����$\Lambda_+$��
�΍�$\omega$�Ɋւ��ĕs�ςł���,
�S�Ă̕���$\lambda,\mu$�ɑ΂���$s_{\lambda/\mu}\in \Lambda_+$
�ł��邱�Ƃ�������.
\\
(b)\
$\Lambda$�ɔ�������$f \ge g \Leftrightarrow f-g \in \Lambda_+$
�ɂ���`����.
$n$�̕���$\lambda,\mu$�ɂ����Ď��̏��������l�ł��邱�Ƃ�����:
\[\textrm{(a)}\, h_\lambda \le h_\mu;
\textrm{(a$'$)}\, e_\lambda \le e_\mu;
\textrm{(b)}\, s_\lambda \le h_\mu;
\textrm{(b$'$)}\, s_{\lambda'}\le e_\mu;
\textrm{(c)}\, M(e,m)_{\lambda'\mu}>0;
\textrm{(d)}\, \lambda \ge \mu.\]

($\Lambda_+$��$\omega$�Ɋւ��ĕs�ςł��邱�Ƃ���,
$\textrm{(a)} \Leftrightarrow \textrm{(a$'$)}$��
$\textrm{(b)} \Leftrightarrow \textrm{(b$'$)}$
��������.����,�֌W$h_\lambda =\sum K_{\mu\lambda}s_\mu$
(6.7)��$s_\lambda \le h_\lambda$,�]����
$\textrm{(a)} \Rightarrow \textrm{(b)}$������.
$e_{\lambda'} \ge s_\lambda$����
$M(e,m)_{\lambda'\mu}=\langle e_{\lambda'},h_\mu \rangle
\ge \langle s_\lambda,h_\mu \rangle$��,
�̂�$\textrm{(b)} \Rightarrow \textrm{(c)}$�𓾂�.�����
$\textrm{(c)} \Rightarrow \textrm{(d)}$��(6.6)
(i)����]��.�Ō��$\textrm{(d)} \Rightarrow \textrm{(a)}$
�������ɂ�,
(1.16)���$\lambda=R_{ij}\mu$�Ƃ��Ă悭,
���̂Ƃ�
\[ h_\mu - h_\lambda=h_\nu(h_{\mu_i}h_{\mu_j}-h_{\mu_i+1}h_{\mu_j-1})
=h_\nu s_{(\mu_i,\mu_j)} \ge 0\]
�𓾂�.�A��$\nu$��$\mu$����$\mu_i$��$\mu_j$
����菜�����Ƃɂ�蓾���镪���ł���.)

$\textrm{(c)} \Leftrightarrow \textrm{(d)}$��
Gale-Ryser�̒藝�Ƃ��Ēm���Ă���:
$\lambda' \ge \mu$�̏ꍇ�y�т��̏ꍇ�Ɍ���,
�s�̘a��$\lambda_i$�ł���,��̘a��$\mu_j$�ł���,
������0��1����Ȃ�s�񂪑��݂���((6.6)��p����).

���̂悤�ȑg�ݍ��킹�_�I�n������1����:
$\lambda \ge \mu$�Ȃ��,�C�ӂ̘cYoung�}�`$\theta$�ɑ΂���
$K_{\theta\lambda}\le K_{\theta\mu}$�����藧��.
((a)�̗��ӂ�$s_\theta$�Ƃ̓��ς��Ƃ�,
(5.13)��p����.)����,
$\lambda \ge \mu$�̂Ƃ��͂��ł�$K_{\lambda\mu}>0$
�𓾂�(�Ȃ��Ȃ�$K_{\lambda\lambda}=1$�ł��邩��).
\\
10.
(a)
\[\sum_{\lambda}s_\lambda * s_\lambda=\prod_{k\ge 1}(1-p_k)^{-1} \]
�����藧��.�����ō��ӂ̘a�͑S�Ă̕���$\lambda$�ɂ킽��.�w�W�̒��𐫂ɂ��
\[ s_\lambda * s_\lambda=\sum_\rho z_\rho^{-1}(\chi_\rho^\lambda)^2p_\rho\]
��
\[\sum_\lambda(\chi_\rho^\lambda)^2 =z_\rho \]
�����藧����,�]����
\[ \sum_{|\lambda|=n}s_\lambda* s_\lambda=\sum_{|\rho|=n}p_\rho\]
��������,����͋��߂������ʂƓ�����.
\\
(b)
\begin{align*}
\prod_{i,j,k}(1-x_iy_jz_k)^{-1} &=\sum_{\lambda,\mu}s_\lambda(x)s_\mu(y)
(s_\lambda * s_\mu)(z), \\
\prod_{i,j,k}(1+x_iy_jz_k) &=\sum_{\lambda,\mu}s_\lambda(x)s_{\mu'}(y)
(s_\lambda * s_\mu)(z)
\end{align*}
�𓾂�.
\\
11.\
$\varphi=\sum_{|\lambda|=n}\chi^\lambda$�Ƃ���.
$w\in S_n$�̏���u���^��$\rho$�Ȃ��,
\[ \varphi(w)=\sum_\lambda\chi_\rho^\lambda=
\sum_\lambda\langle s_\lambda,p_\rho \rangle
=\langle s,p_\rho \rangle \]
�ƂȂ�.�A��,
\[s= \prod_i(1-x_i)^{-1}\prod_{i<j}(1-x_ix_j)^{-1}\]
�ł���(\S5,��4).
$\log s$���v�Z���邱�Ƃɂ��,
\[ s=\prod_{n �}\exp\biggl(\frac{p_n}{n}+\frac{p_n^2}{2n} \biggl)
\prod_{n ����}\exp\frac{p_n^2}{2n}\]
�ł��邱�Ƃ�����,�]����$\varphi(w)=\prod_{i \ge 1}a_i^{(m_i(\rho))}$
�ł��邱�Ƃ�����.������$a_i^{(m)}$��$i$����̂Ƃ���
$\exp(t+\frac{1}{2}it^2)$�ɂ�����$t^m$�̌W��,
�����̂Ƃ���$\exp(\frac{1}{2}it^2)$�ɂ�����
$t^m$�̌W���ł���.����,
�C�ӂ�$r \ge 1$�ɑ΂���$w$��
���$2r$-����u�����܂ނȂ��, $\varphi(w)=0$�ł���.
\\
12.\
$C_n$��$n$-����u���ɂ�萶�������
$S_n$�̏��񕔕��Q�Ƃ�,
$\theta$��$C_n$�̒����w�W�Ƃ���.����w�W
$\varphi_n=\textrm{ind}_{C_n}^{S_n}(\theta)$��
$\theta$�̎����ɂ��Ȃ����Ƃ�,
$\mu$��M$\ddot{\textrm{o}}$bius�֐��Ƃ����Ƃ�
\[\textrm{ch}(\varphi_n)=\frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(d) p_d^{n/d}\]
�ł��邱�Ƃ�����.

($V$�������0�̑̏�̗L�������x�N�g����ԂƂ�,
$L(V)=\oplus_{n \ge 0}L^n(V)$��$V$�ɂ�萶�������
���RLie�㐔�Ƃ���.���̂Ƃ��e$n \ge 0$�ɑ΂���,
$L^n$�͎���$n$�̓����������֎�ł���,�⑫A,(5.4)��
�L�q�̉���$\alpha(L_n)=\varphi_n$�ł���.)
\\
13.
�e�u��$w$�Ɗe����$r \ge 1$�ɑ΂���,
$a_r(w)$��$w$�̏���u�������ɂ����钷��$r$��
����u���̌��ƒ�`����.
$a_r$�͒u���Q$S_n$�̒��a��̊֐��ł���.������
$\mathbb{Q}$��ő㐔�I�Ɨ��ł���.�Ȃ��Ȃ�
$f$���S�Ă̒u��$w$�ɑ΂���$f(a_1(w),\ldots,a_r(w))=0$
�ł���悤��$r$�ϐ��̑������Ȃ��,�S�Ă�
�񕉐���$m_i$�ɑ΂���$f(m_1,\ldots,m_r)=0$�ł���,
�]����$f$���둽�����ł��邩��ł���.�̂�
\[ A=\mathbb{Q}[a_1,a_2,\ldots]\]
�͑������ƂȂ�.
($A$�ɂ������@�͊e�_���Ƃ̒l�̐ςŒ�`����:
$(fg)(w)=f(w)g(w)$�ł���,���̖{�Œ�`����Ă���
�U���ςł͂Ȃ�.)
\\
(a)\
�e����$\rho=(1^{m_1}2^{m_2}\ldots)$�ɑ΂���
\[\binom{a}{\rho}=\prod_{r\ge 1}\binom{a_r}{m_r}
=\prod_{r\ge 1}\frac{a_r^{(m_r)}}{m_r!} \]
�Ƃ���.������$a_r$�́u���~�K��v
\[ a_r^{(m_r)}=a_r(a_r-1)\ldots(a_r-m_r+1)\]
�ł���.
$a_r$���㐔�I�Ɨ��ł��邩��,
�P����$a_1^{m_1}a_2^{m_2}\ldots$��
$A$��$\mathbb{Q}$-���𐬂�,�]���đ�����
$\dbinom{a}{\rho}$�͂������$\mathbb{Q}$-���𐬂�.

���^�ʑ�$\theta:A \rightarrow \hat{\Lambda}_{\mathbb{Q}}$
��$f \in A$�ɑ΂���
\[ \theta(f)=\sum_{n \ge 0}\textrm{ch}(f|S_n)\]
�ɂ���Ē�`����.
$f = \dbinom{a}{\rho}$�Ȃ��,
\[\textrm{ch}(f|S_n)=\frac{1}{n!}\sum_{w\in S_n}\binom{a}{\rho}(w)\psi(w) \]
�ƂȂ�.
$w$�̏���u���^��$\tau=(1^{n_1}2^{n_2}\ldots)$�Ȃ��,
$a_r(w)=n_r$�������,�]����$\dbinom{a}{\rho}(w)=\prod_{i\ge 1}\dbinom{n_r}{m_r}$
�𓾂�.�����,���镪��$\sigma$�ɑ΂���
$\tau=\rho \cup \sigma$
(����$\rho$��$\tau$�̕�����)�Ȃ��$z_\tau/z_\rho z_\sigma$�ɓ�����,
����ȊO�̏ꍇ��0�ɓ�����.
\[H= \sum_{\sigma}z_\sigma^{-1}p_{\sigma}=\sum_{n\ge 0}h_n\]
�Ƃ�����,
\begin{align*}
\theta\binom{a}{\rho} &=\sum_{\sigma}z_\rho^{-1}z_\sigma^{-1}p_\rho p_\sigma \\
 &= z_\rho^{-1}p_\rho H
\end{align*}
�ƂȂ邱�Ƃ�������.
\\
(b)
���^�ʑ�$\varphi:\Lambda_{\mathbb{Q}} \rightarrow A$��
�e����$\rho=(1^{m_1}2^{m_2}\ldots)$�ɑ΂���
\[ \varphi(p_\rho)=z_\rho \binom{a}{\rho}=
\prod_{r\ge 1}r^{m_r}a_r^{(m_r)}\]
�ƒ�`����.���(a)����
$\theta\varphi:\Lambda_{\mathbb{Q}} \rightarrow \hat{\Lambda}_{\mathbb{Q}}$
��$H$�ɂ���@�ł��邱�Ƃ�������.�ʑ�$\varphi$��
�S�P�˂ł���,�]����$A$��̐V������@$f*g$��
\[ f*g = \varphi(\varphi^{-1}(f)\varphi^{-1}(g))\]
�ƒ�`����.
\[\binom{a}{\rho}*\binom{a}{\sigma}=\frac{z_{\rho \cup \sigma}}{z_\rho z_\sigma}
\binom{a}{\rho \cup \sigma} \]
�܂���,�C�ӂ�2�̔񕉐����̗L���x�N�g��
$m=(m_1,m_2,\ldots),n=(n_1,n_2,\ldots)$�ɑ΂���,
$a^{(m)}=a_1^{(m_1)}a_2^{(m_2)}\ldots$,�y��
$a^{(n)}$�����l�ɂ�����,
���l�ȏ���
\[ a^{(m)}*a^{(n)}=a^{(m+n)}\]
�𓾂�.
\\
(c)
\[ P=\prod_{r\ge 1}(1+p_r)^{a_r}\]
�Ƃ���.���̂Ƃ��S�Ă�$f \in \Lambda$�ɑ΂���
$\varphi(f)=\langle P,f \rangle$�ƂȂ�.

(�ϐ�$x=(x_1,x_2,\ldots)$�𓱓������,
\begin{align*}
\tag{1} P(x)&=\prod_{r \ge 1}(1+p_r(x))^{a_r} \\
 &=\prod_{r\ge 1}\sum_{m_r\ge 0}\binom{a_r}{m_r}p_r(x)^{m_r} \\
 &=\sum_{\rho}\binom{a}{\rho}p_{\rho}(x)  
 \end{align*}
�𓾂�.
$\S9,��4$�̂悤��
$C(x,y)=\prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_\rho z_\rho^{-1}p_\rho(x)p_\rho(y)$
�Ƃ���.���̂Ƃ�(1)��$\varphi$�̒�`����
$P(x)=\varphi_yC(x,y)$���]��.������
$\varphi_y$�͕ϐ�$y$�̑Ώ̊֐��ւ̍�p�ł���.�]����
(��L���p����)
\[\langle P,f \rangle=\varphi_y\langle C(x,y),f(x) \rangle
=\varphi_y f(y)=\varphi(f)\]
�𓾂�.
)
\\
14.\
$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$��
$n$�̕����Ƃ�,�C�ӂ�$N\ge \lambda_1$�ɑ΂���
$(N,\lambda)=(N)\cup \lambda=(N,\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$
�Ƃ���.
�e$w \in S_{N+n}$�ɑ΂���,
��13�̂悤��$a_r(w)$��$w$�̏���u�������ɂ�����
$r$-����u���̌��Ƃ�����,
(7.8)����
$\chi^{(N,\lambda)}(w)$����
\begin{equation*}
\tag{1} a_\delta(x_0,x_1,\ldots,x_n)\prod_{r\ge 1}
p_r(x_0,x_1,\ldots,x_n)^{a_r(w)}
\end{equation*}
�ɂ�����$x_0^{N+n}x_1^{\lambda_1+n-1}\ldots x_n^{\lambda_n}$
�̌W���ł��邱�Ƃ�������.
������(1)��$x_0,x_1,\ldots,x_n$�̓�����������,
$x_0=1$�Ƃ��Ă���ʐ�������Ȃ�.�����
$\chi^{(N,\lambda)}(w)$��
\[ a_\delta(x_1,\ldots,x_n)\prod_{i=1}^n(1-x_i)
\prod_{r\ge 1}(1+p_r(x_1,\ldots,x_n))^{a_r(w)}\]
�ɂ�����$x_1^{\lambda_1+n-1}\ldots x_n^{\lambda_n}$
�̌W���Ɠ�����,�]����
\[\prod_{i\ge 1}(1-x_i)\prod_{r\ge 1}(1+p_r)^{a_r(w)}\]
�ɂ�����$s_\lambda$�̌W���Ɠ��������Ƃ������Ă���.
($S_{N+n}$��̊֐��Ƃ���)
\begin{equation*}
\tag{2} \chi^{(N,\lambda)}=\langle EP,s_\lambda \rangle
\end{equation*}
�𓾂�.������
\[ E=\prod_{i \ge 1}(1-x_i)=\sum_{r\ge 0}(-1)^re_r\]
�ł���,��13�̂悤��
\begin{equation*}
\tag{3} P=\prod_{r\ge 1}(1+p_r)^{a_r}=\sum_\rho\binom{a}{\rho}p_\rho
\end{equation*}
�Ƃ�����.

(2)�̉E�ӂɂ��������$\langle EP,s_\lambda \rangle$��
����$\lambda$�ɑΉ�����\textbf{�w�W������}�ƌĂ΂��
������$X^\lambda\in A=\mathbb{Q}[a_1,a_2,\ldots]$
�ł���.�S�Ă�$N\ge \lambda_1$�ɑ΂���$X^\lambda|S_{N+n}=\chi^{(N,\lambda)}$
�ƌ�������������.

������$X^\lambda$�ɑ΂��ėl�X�Ȗ�������������:
\\
(a)
(2.14)���
\[ E=\sum_\sigma (-1)^{l(\sigma)}z_\sigma^{-1}p_\sigma\]
�ł���̂�,
(3)����
\begin{equation*}
\tag{4} X^\lambda=\sum_{\rho,\sigma}(-1)^{l(\sigma)}z_\sigma^{-1}
\chi_{\rho \cup \sigma}^\lambda \binom{a}{\rho}
\end{equation*}
�ł��邱�Ƃ�������.�A���a��
$|\rho|+|\sigma|=|\lambda|$�ƂȂ�悤��
����$\rho,\sigma$�S�Ăɂ킽��.
\\
(b)
������̕\�����Ƃ���,
\begin{align*}
X^\lambda &=\sum_{r\ge 0}(-1)^r\langle e_rP,s_\lambda \rangle \\
 &=\sum_{r\ge 0}(-1)^r\langle P,s_{\lambda/(1^r)} \rangle \\
 &=\sum_\mu (-1)^{|\lambda-\mu|}\langle P,s_\mu \rangle
\end{align*}
�𓾂�.���̂Ƃ��a��$\lambda-\mu$��������
�ł���悤�ȕ���$\mu \subset \lambda$�ɂ킽��.�]����
\begin{equation*}
\tag{5} X^\lambda=\sum_\mu (-1)^{|\lambda-\mu|}
\sum_{\rho}\chi_\rho^\mu\binom{a}{\rho}
\end{equation*}
�ƂȂ�.�����Řa��$\mu$�ɂ��Ă͏�Ɠ��l�Ƃ�,
$|\rho|=|\mu|$�Ȃ�$\rho$�ɂ킽��.
\\
(c)
$u_\lambda=E^\bot s_\lambda=\sum_{r\ge0}(-1)^rs_{\lambda/(1^r)}$�Ƃ���.
(5.4)����
\begin{align*}
\tag{6}
u_\lambda =
\begin{vmatrix}
 1&  1&  \ldots& 1 \\
 h_{\lambda_1-1}&  h_{\lambda_1}&  \ldots& h_{\lambda_1+n-1} \\
 h_{\lambda_2-2}&   h_{\lambda_2-1}&  \ldots&  h_{\lambda_2+n-2} \\
 \vdots& \vdots& �@& \vdots\\
  h_{\lambda_n-n}&   h_{\lambda_n-n+1}&  \ldots&  h_{\lambda_n} 
\end{vmatrix}
\end{align*}
���]��.$\varphi:\Lambda_\mathbb{Q}\rightarrow A$
���13(b)�ɂ����Ē�`�����ʑ��Ƃ����,��13(c)����
\[X^\lambda=\langle EP,s_\lambda \rangle
=\langle P,u_\lambda \rangle=\varphi(u_\lambda)\]
�𓾂�.�]���đS�Ă�$r$�ɑ΂���
\[ \pi_r=\varphi(h_r)=\sum_{|\rho|=r}\binom{a}{\rho}\in A\]
�ƒ�`�����(�]����$r<0$�̂Ƃ�$\pi_r=0$),
(6)����
\begin{align*}
\tag{7}
X^\lambda =
\begin{vmatrix}
 1&  1&  \ldots& 1 \\
 \pi_{\lambda_1-1}&  \pi_{\lambda_1}&  \ldots& \pi_{\lambda_1+n-1} \\
 \pi_{\lambda_2-2}&   \pi_{\lambda_2-1}&  \ldots&  \pi_{\lambda_2+n-2} \\
 \vdots& \vdots& �@& \vdots\\
  \pi_{\lambda_n-n}&   \pi_{\lambda_n-n+1}&  \ldots&  \pi_{\lambda_n} 
\end{vmatrix}^*
\end{align*}
���]��.�A���A�X�^���X�N�͗�13(b)�Œ�`���ꂽ
$A$�ɂ������@�ł���.
\\
(d)
�s��(7)�ɂ����ė񂩂����������Ƃɂ��,
\begin{equation*}
\tag{8} X^\lambda=\textrm{det}^*(\pi'_{\lambda_i-i+j})_{1\le i,j\le n}
\end{equation*}
�𓾂�.������$\pi'_r=\pi_r-\pi_{r-1}$�ł���,
�܂��A�X�^���X�N�͍s�񎮂�$*$�ς�p����
�W�J���邱�Ƃ�\���Ă���.
\\
15.
��ʂ�$A$����$x,y\in A$�Ȃ��,
$Axy$��$Ay$�̕������Q�ł��菀���^�ʑ�
$a\mapsto ay\ (a\in A)$��$Ax$�̑��ł���.�]����
$Ax$�̏��ɓ��^�ł���.
\\
(a)
$\lambda$��$n$�̕����Ƃ�, $T$��$\lambda$��
Young�}�`�ɔC�ӂ�$1,2,\ldots,n$��
�������ꂽ���̂Ƃ���.
$R$
(�܂���$C$)��$T$�̊e�s(�܂��͊e��)���Œ肷��
$S_n$�̕����Q�Ƃ���.�]����$R \cong S_\lambda,C\cong S_{\lambda'}$
�ƂȂ�.
$A =\mathbb{Q}[S_n]$��$S_n$�̌Q�Ƃ�
\[a=\sum_{u\in C}\varepsilon(u)u,\quad s=\sum_{v\in R}v\]
�Ƃ���.���̂Ƃ�$As$�͗U�����ꂽ���Q$\textrm{ind}_R^{S_n}(1)$
�ł���,
$H_\lambda$�ɓ��^�ł���,���l��$Aa \cong E_{\lambda'}$�ł���.

$e =as\in A$�Ƃ���.
$R \cap C=\{1\}$�ł��邩��,��$uv\: (u\in C,v\in R)$��
�S�ĈقȂ�,�]����
\begin{equation*}
\tag{1} e=1+\ldots \neq 0
\end{equation*}
�ƂȂ�.��̍l�@����,
$M_\lambda=Ae$��$As$�̕������Q�ł���$Aa$�̏��ɓ��^�ł���.
(7.8)�̉��̒��ӂ���$M_\lambda$�͎w�W$\chi^\lambda$�ɂ���
����$A$���Q(�܂���$S_n$)���Q�ł���.
\\
(b)
$e$���E����|����ʑ���$\varphi:A \rightarrow A$�Ƃ���.���̂Ƃ�
$\varphi(M_\lambda)=M_\lambda e=Ae^2\subset Ae=M_\lambda$�ł���.
$M_\lambda$�͊���ł��邩��,
Schur�̕�肩��$\varphi|M_\lambda$�͒萔$c\in\mathbb{Q}$�ł���,
�]����$e^2=\varphi(e)=ce$�ł��邱�Ƃ�������.�̂�
$\varphi^2=c\varphi$��,
$\varphi$�̌ŗL�l��0��$c$�����ł���,
�ŗL�l$c$�̑��d�x��$M_\lambda$�̎����ɓ�����.�����(7.6)��
$\S5$�̗�2���
\begin{equation*}
\tag{2}�@\textrm{trace}\ \varphi=c\dim M_\lambda=cn!/h(\lambda)
\end{equation*}
�𓾂�.���,���(1)����e$w\in S_n$�ɑ΂���
$\varphi(w)=we$�ɂ�����$w$�̌W����1�ɓ�����.
�]����$A$�̊��$S_n$�Ɋւ���$\varphi$�̍s��͑Ίp��͑S��
1�ɂȂ�,�����
\begin{equation*}
\tag{3} \textrm{trace}\ \varphi=n!
\end{equation*}
�ƂȂ�.
(2)��(3)����$c=h(\lambda)$�ł���,�̂�$\hat{e}=h(\lambda)^{-1}as$
��$A$�̌��n�p�����ł���,�w�W$\chi^\lambda$��^���Ă���.
\\
(c)
���(a)�̋L����p����.
$T$�̑�$r$�s��$i$������Ƃ�$d(i)=r-1$�Ƃ���.
$m_T \in \mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$��
�P����$x_1^{d(1)}\ldots x_n^{d(n)}$�ƒ�`��,
$f_T$��$j$��$T$�ɂ�����$i$�Ɠ������$i$���
��̍s�Ɉʒu����S�Ă̑g$(i,j)$�ɂ킽��
��$\prod(x_i-x_j)$�ƒ�`����.
$f_T$��$T$�̗�ɑΉ�����Vandermonde�s�񎮂̐ςł���,
$m_T$�͂��̎�v���ł���.�]����$f_T=am_T$�ƂȂ�.

$\theta:A \rightarrow \mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$��
�ʑ�$u \mapsto um_T$�Ƃ���.
$T$�̓����s��$i,j$������Ƃ��y�т��̂Ƃ��Ɍ���$d(i)=d(j)$�ł��邩��,
$m_T$�̌Œ�Q�͍s�s�ϕ����Q$R$�ł���,�]����
$\theta(A)\cong As$�ł��邱�Ƃ�������.���炩��
$\theta|M_\lambda$�͓��^�ʑ��ł���,����̂�
$M_\lambda$�����̑�$\theta(M_\lambda)=Aasm_T=Aam_T=Af_T$
�Ɠ��ꎋ���Ă悢.���̒i�K��$M_\lambda$��$\lambda$�ɑΉ�����
\textbf{Specht���Q}�ł���.�����$\lambda$��
Young�}�`�ɑ΂���$T$�Œ�܂�$n!$�̑�����$f_T$�ɂ��
����ꂽ$\mathbb{Q}$-�x�N�g����Ԃł���,�Ώ̌Q��
$x$�̒u���ɂ���p���Ă���.
\\
(d)
$M_\lambda$�̎�����(7.6)�ɂ��g$\lambda$��
�W���Ղ̑����ɓ�����.����$T$��W���ՂƂ����,
������$f_T$�͔C�ӂ̑̏�ňꎟ�Ɨ��ł���,�]����
$M_\lambda$�̊����Ȃ�.

(�P����$x^\alpha,\alpha\in\mathbb{N}^n$�Ɏ��̂悤�ȏ���������.
$\mathbb{N}^n$�̎����������Ɋւ���$\alpha$��$\beta$����Ɍ����Ƃ�
�y�т��̂Ƃ��Ɍ���$x^\alpha<x^\beta$�Ə���.
\\
(i)
$T$�ɂ�����$i<j$, $d(i)<d(j)$�Ɖ��肵,
$w$���݊�$(ij)$�Ƃ���.���̂Ƃ�$m_T<m_{wT}$�ł���.
\\
(ii)
(i)����$T$���W���ՂȂ��$f_T=m_T +$ (����ȉ��̒P����)�ł��邱�Ƃ𓱂�.
\\
(iii)
$T_1,\ldots,T_r$��g��$\lambda$�̕W���ՂƂ���.�P����
$m_{T_1},\ldots,m_{T_r}$�͑S�ĈقȂ�,
$m_{T_1}< \ldots < m_{T_r}$�Ƃ��Ă悢.
(ii)��p����$f_{T_i}$���ꎟ�Ɨ��ł��邱�Ƃ�����.
$\sum c_i f_{T_i}=0$�̂Ƃ�,���ӂ�$m_{T_1}$�̌W����
$c_1$�ɓ�����,�]����$c_1=0$�ł���.���̋c�_���J��Ԃ���
$c_2=0$���𓾂�.)
\\
(e)
(d)����e$f_T$��$f_{T_i}$�̐��^�����ł���,
$f_T=\sum c_i f_{T_i},c_i\in\mathbb{Q}$�Ə�����.�e
$c_i$�������ł��邱�Ƃ�����.
($m$��L����$c_i$�̋��ʕ���Ƃ�,
����$m_i$��p����$c_i=m_i/m$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\begin{equation*}
\tag{4} mf_T=\sum m_i f_{T_i}
\end{equation*}
�𓾂�.
$m>1$�̂Ƃ�,
$p$��$m$������f���Ƃ�,
(4)$\pmod{p}$���l����.�S�Ă�$m_i$��$p$�Ŋ���؂��킯�ł͂Ȃ��̂�,
$f_T$�͈ʐ�$p$�̑̏�ňꎟ�]���ƂȂ�,
(d)�ɖ�������.)

�]���Ċe�u��$w\in S_n$�ɑ΂���,
$M_\lambda$�̊��$(f_{T_i})$�Ɋւ���$w$�̕\���s��̐�����
�S�Đ����ł���.
\\
16.
$n$�̕���$\lambda$���ꂼ��ɑ΂���,
$R_\lambda$���e$w\in S_n$�ɑ΂���$R_\lambda(w)$��
���������̍s��ł���w�W$\chi^\lambda$��$S_n$��
����\���s��Ƃ���(��15(c)�����^����).
$n$�̕���$\rho$���ꂼ��ɑ΂���,
$\tilde{c}_\rho$��$S_n$�̏���u���^$\rho$�̑S�Ă�
����(�Q��$\mathbb{Z}[S_n]$�ɂ�����)�a�ƒ�`����.���̂Ƃ�
$\tilde{c}_\rho$�͊e$w \in S_n$�Ɖ��ł���,�]����
Schur�̕����$R_\lambda(\tilde{c}_\rho)$�͒P�ʍs���
�萔�{�ł���,
\begin{equation*}
\tag{1} R_\lambda(\tilde{c}_\rho)=\omega_\rho^\lambda 1_d
\end{equation*}
�Ə�����.�A��$\omega_\rho^\lambda$�͐����ł���
$d=n!/h(\lambda)$��$\chi^\lambda$�̎����ł���.
(1)�̃g���[�X����邱�Ƃɂ��
\begin{equation*}
\frac{n!}{z_\rho}\chi_\rho^\lambda=\frac{n!}{h(\lambda)}\omega_\rho^\lambda
\end{equation*}
�������,�]����
\begin{equation*}
\tag{2} \omega_\rho^\lambda=\frac{h(\lambda)}{z_\rho}\chi_\rho^\lambda
\end{equation*}
�͑S�Ă�$\lambda,\rho$�ɑ΂���\textbf{����}�ƂȂ�.

$C_n$���Q��$\mathbb{Z}[S_n]$�̒��S�Ƃ���.����
$(\tilde{c}_\rho)_{|\rho|=n}$��
$\mathbb{Z}$-���Ƃ�����Ƃ���.
$n$�̕���$\lambda$�e�X�ɑ΂���,
$\omega^\lambda(\tilde{c}_\rho)=\omega_\rho^\lambda$�ɂ���`���ꂽ
���^�ʑ�$\omega^\lambda:C_n \rightarrow \mathbb{Z}$��
�����^�ł���.�Ȃ��Ȃ�
$R_\lambda(\tilde{c}_\rho\tilde{c}_\sigma)=
R_\lambda(\tilde{c}_\rho)R_\lambda(\tilde{c}_\sigma)$
�ƂȂ邩��ł���.�X��$\omega^\lambda,|\lambda|=n$��
$\textrm{Hom}(C_n,\mathbb{Z})$��$\mathbb{Z}$-���ł���.
\\
17.
(a)
�e����$\lambda$�ɑ΂���,�u�g�傳�ꂽSchur�֐��v
$\tilde{s}_\lambda$�͗�16�̋L�q��p����
\begin{equation*}
\tilde{s}_\lambda=h(\lambda)s_\lambda=\sum_\rho\frac{h(\lambda)}{z_\rho}\chi_\rho^\lambda p_\rho
=\sum_\rho \omega_\rho^\lambda p_\rho
\end{equation*}
�ɂ���`�����.����$\tilde{s}_\lambda$�͐����W����
�p�a�Ώ̊֐�$p_r$�̘a�ł���.����$\Psi=\mathbb{Z}[p_1,p_2,\ldots]$��
�p�a�Ώ̊֐��ɂ���Đ������ꂽ$\Lambda$�̕����Ƃ���, $\tilde{s} \in \Psi$�ł���.�X��,
$\tilde{s}_\lambda$��$\Psi$�Ɋ܂܂��$s_\lambda$�̐����{�̓��ŏ��̂��̂ł���.
�Ȃ��Ȃ��$\tilde{s}_\lambda$�ɂ�����
$p_1^n$�̌W����1�ł��邩��ł���.
\\
(b)
$l$��f��($p$�͑��̂��̂Ɏg���Ă���)�Ƃ�,
$\Psi'_l$��$p_r$�ɂ���Đ������ꂽ$\Psi$�̕����Ƃ���.
������$r$��$l$�ƌ݂��ɑf�Ȑ��ł���.
$\lambda$��$l$-�j(\S1,��8)�ł���Ƃ��y�т��̂Ƃ��Ɍ���
$\tilde{s}_\lambda \in \Psi'_l$�ł��邱�Ƃ�����.

($\lambda$��$l$-�j�ł���Ƃ�,
$\lambda$���꒷�S�Ă�$l$�ƌ݂��ɑf�ł���,�]����
$\lambda$�̑S�Ă̋��E�т�$l$�Ƒf�Ȓ���������.���̂��Ƃ�
��5����, $\rho$��$l$�Ŋ���؂�镔�������Ȃ��,
$\chi_\rho^\lambda=0$�ł���,�]����$\tilde{s}_\lambda \in \Psi'_l$
�ł��邱�Ƃ�������.�t��
$\lambda$��$l$-�j�łȂ��Ƃ�,
$\tilde{\lambda}$��$\lambda^*$��$\lambda$��
$l$-�j��$l$-���ƒ�`����(\S1,��8).
$|\lambda^*|=b \ge 1,|\tilde{\lambda}|=a$�Ƃ���.���̂Ƃ�
����$\rho=(l^b 1^a)$�ɑ΂���$\chi_\rho^\lambda
=\pm a!b!/h(\tilde{\lambda})h(\lambda^*)\neq 0$�ł���,�]����
$\tilde{s}_\lambda \notin \Psi'_l$�𓾂�.)
\\
(c)
$X$��s�茳�Ƃ�, $\varepsilon_X:\Psi \rightarrow \mathbb{Z}[X]$��
�S�Ă�$r\ge 1$�ɑ΂���$\varepsilon_X(p_r)=X$�ɂ���Ē�`���ꂽ
�����^�Ƃ���.���̂Ƃ�$c_\lambda(X)$��$\lambda$��
���e������(\S1 ��11)�Ƃ����,
\begin{equation*}
\varepsilon_X(\tilde{s}_\lambda)=c_\lambda(X)
\end{equation*}
�𓾂�.
\\
18.
$\lambda$��$n$�̕���,
$l$��f���Ƃ�,
$\kappa$��$\lambda$��$l$-�j�Ƃ���.���̂Ƃ�$\Psi =\mathbb{Z}[p_1,p_2,\ldots]$�ɂ�����
\begin{equation*}
\tag{1} \tilde{s}_\lambda \equiv \tilde{s}_\kappa(p_1^l-p_l)^r \pmod{l}
\end{equation*}
�����藧��.������$r=(n-|\kappa|)/l$�ł���$\tilde{s}_\lambda$��
��17�Œ�`����Ă���.

(1)�̏ؖ��̓��W�����[�\���̗��_��p����.��X��[P4]���Q�Ƃ���.����
�u���b�N(�������͒��S�w�W)�̕s���Q��Brauer�����^��p����.

$F$���ʐ�$l$�̑̂Ƃ���.�C�ӂ̗L���Q$G$�ɑ΂���,
$C(G)$���Q��$F[G]$�̒��S�ƒ�`����.
$n$�̕���$\lambda$�ɑ΂��Ė@$l$�ł̏�]���l���邱�Ƃɂ��,
$\omega_\lambda$(��16)���瓾����$F$-�㐔$C(S_n)$��
�w�W$\overline{\omega}^\lambda:C(S_n) \rightarrow F$�𓾂�.
$\overline{\omega}^\lambda$�̕s���Q���ꂼ���$S_{lm} \subset S_n$�ɂ�����
����u���^$(l^m)$�̌��̒��S���Q��Sylow
$l$-�����Q�ł���([J9],6.2.39).������$0 \le m \le n/l$�ł���.
$D^\lambda\neq \{ 1 \}$�̂Ƃ�,
$D^\lambda$��$l$-����u���ɂ�萶�����ꂽ�ʐ�$l$��
�����Q$Q$���܂�.���,
$D^\lambda=\{ 1 \}$�̂Ƃ�,
$z_\rho$��$\omega_\rho^\lambda$�̗�����$l$�Ƒf�ƂȂ�$n$�̕���
$\rho$�����݂�,�]����(��16) $h(\lambda)\chi_\rho^\lambda=z_\rho\omega_\rho^\lambda$
��$l$�Ƒf�ł���.�]����$h(\lambda)$��$l$�Ƒf�ł���, ($\S1$,��10���)
$\lambda$��$l$-�j�ł���.

$\lambda$��$l$-�j�łȂ��Ƃ�,��̂悤��$D^\lambda$��$Q$���܂ނƉ��肷��.
$H=Q \times S_{n-l}$��$S_n$�ɂ�����$Q$�̐��K���Q�Ƃ���.���̂Ƃ�
$H$�ւ̐����ɂ���`���ꂽ�ʑ�$\varphi:C(S_n) \rightarrow C(H)=C(Q)\otimes_F C(S_{n-l})$��
$F$-�㐔�����^(Brauer�����^)�ł���,
$\overline{\omega}^\lambda$��$\overline{\omega}^\lambda
=(\varepsilon \otimes \overline{\omega}^\mu)\circ \varphi$
�ƕ��������.������$\mu$��$n-l$�̂��镪���ł���,
$\varepsilon$��$C(Q)$�̗B���(������)�w�W�ł���.

$\rho$��$n$�̕����̂Ƃ�,
$\rho$������$n-l$�̕���$\sigma$�ɑ΂���$(1^l)\cup\sigma$�܂���$(l)\cup\sigma$��
�Ȃ�Ƃ��Ɍ���$S_n$�̋����$\tilde{c}_\rho$��$H$�ƌ����.
$\rho=(1^l)\cup\sigma$�̂Ƃ�$\overline{\omega}^\lambda(\tilde{c}_\rho)
=\overline{\omega}^\mu(\tilde{c}_\sigma)$�������,
$\rho=(l)\cup\sigma$�̂Ƃ�$\overline{\omega}^\lambda(\tilde{c}_\rho)
=(l-1)\overline{\omega}^\mu(\tilde{c}_\sigma)
=-\overline{\omega}^\mu(\tilde{c}_\sigma)$��������.
$\overline{\omega}^\lambda(\tilde{c}_\rho)$��
$\omega_\rho^\lambda$��$l$��@�Ƃ�����]�ł��邩��(��16),
$l$��@�Ƃ���$\rho=(1^l)\cup\sigma$�̂Ƃ�
$\omega_\rho^\lambda \equiv \omega_\sigma^\mu$�������,
$\rho=(l)\cup\sigma$�̂Ƃ�$\omega_\rho^\lambda \equiv -\omega_\sigma^\mu$�������,
���̑S�Ă�$\rho$�ɑ΂���$\omega_\rho^\lambda \equiv 0$��������.�]����
\begin{equation*}
\tilde{s}_\lambda=\sum_\rho \omega_\rho^\lambda p_\rho
\equiv \biggl(\sum_\sigma \omega_\sigma^\mu p_\sigma \biggl)
(p_1^l -p_l)
\end{equation*}
�ł���̂�
\begin{equation*}
\tilde{s}_\lambda \equiv \tilde{s}_\mu (p_1^l-p_l) \pmod{l}
\end{equation*}
�ƂȂ�. $\mu$��$l$-�j�łȂ��Ƃ����̋c�_���J��Ԃ��΂悢.���̕��@��
���鐮��$q\ge 1$�Ƃ���$l$-�j�ɑ΂���
\begin{equation*}
\tag{2} \tilde{s}_\lambda \equiv \tilde{s}_\nu (p_1^l-p_l)^q
\end{equation*}
�𓾂�.���ꉻ$\varepsilon_X:p_r \rightarrow X (r\ge 1)$
(��17(c))��K�p����.
$\pi=\nu+(lq)$��$l$-�j$\nu$�����Ƃ����,
\begin{align*}
c_\lambda(X) &\equiv c_\nu(X)(X^l-X)^q \quad \pmod{l} \\
 &\equiv c_\pi(X)
\end{align*}
�𓾂�. $\S1$,��11(c)���番��$\lambda$��$\pi$������$l$-�j������,
$\nu=\kappa$��$q=r$�ƂȂ�,�ؖ����I������.
\\
19.
$\lambda,\mu$��$n$�̕����Ƃ�,
$l$��f���Ƃ���.���̂Ƃ���17�̋L����p����,
$\lambda,\mu$������$l$-�j�����Ƃ��y�т��̂Ƃ��Ɍ���
$\tilde{s}_\lambda \equiv \tilde{s}_\mu \pmod{l}$�ƂȂ�(�u���R�̗\�z�v).
($\tilde{s}_\lambda \equiv \tilde{s}_\mu$�̂Ƃ�,��17(c)���
$c_\lambda(X) \equiv c_\mu(X)$�ƂȂ�,�]����
$\lambda,\mu$��$\S1$,��11(c)��蓯��$l$-�j������.�t��
$\lambda,\mu$������$l$-�j�����Ƃ����,
��18����$\tilde{s}_\lambda \equiv \tilde{s}_\mu$���]��.)
\\
20.
$\S5$,��25�̂悤�Ɋe$f \otimes g\in \Lambda \otimes \Lambda$��
$f(x)g(y)$�Ɠ��ꎋ����.������$(x),(y)$��
�Ɨ��ϐ���2�̏W���ł���.�]��
$\Delta^*:\Lambda \rightarrow \Lambda \otimes \Lambda$��
\begin{equation*}
\Delta^* f=f(xy)
\end{equation*}
�ƒ�`����.������$(xy)$�͑S�Ă̐�$x_iy_j$�̏W���ł���.
�܂��]�P��$\varepsilon^*:\Lambda \rightarrow \mathbb{Z}$��
�S�Ă�$f \in \Lambda$�ɑ΂���
\begin{equation*}
\varepsilon^*f=f(1,0,0,\ldots)
\end{equation*}
�ƒ�`����.

$\Delta^*,\varepsilon^*$�Ɋւ���,
$\Lambda$��$\mathbb{Z}$��̗]��Hopf�㐔�ł���.����
$\Delta^*$��$\varepsilon^*$�͊����^�ł���,
$(1\otimes \varepsilon^*)\circ \Delta^*$�͍P���ʑ��ł���.
\\
(a)
�S�Ă�$n\ge1$�ɑ΂��Ĉȉ�������.
\begin{align*}
\tag{1} \Delta^*h_n&=\sum_{|\lambda|=n}s_\lambda\otimes s_\lambda,\quad \varepsilon^* h_n=1 \\
\tag{2} \Delta^*e_n&=
\sum_{|\lambda|=n}s_\lambda\otimes s_{\lambda'},\quad \varepsilon^* e_n=\delta_{1n}\\
\tag{3} \Delta^* p_n&=p_n\otimes p_n,\qquad\quad\varepsilon^*p_n =1.
\end{align*}

�܂�(7.9)���Ăѓ���.
\begin{equation*}
\tag{4} \Delta^*s_\lambda=\sum_{\mu,\nu}\gamma_{\mu\nu}^\lambda s_\mu\otimes s_\nu .
\end{equation*}
(b)
$\S5$,��25�̂悤��,
$f_1,f_2,g_1,g_2 \in \Lambda$�ɑ΂���
$\Lambda \otimes \Lambda$��̓��ς�
\begin{equation*}
\langle f_1\otimes g_1,f_2\otimes g_2 \rangle
=\langle f_1,f_2 \rangle \langle g_1,g_2 \rangle
\end{equation*}
�ƒ�`����.���̓��ςɊւ���
$\Delta^*$�͐����ł���.����,�S�Ă�
$f,g,h\in \Lambda$�ɑ΂���
\begin{equation*}
\tag{5} \langle \Delta^*f,g\otimes h \rangle
=\langle f,g * h \rangle
\end{equation*}
�𓾂�.
(���^�����$f=s_\lambda,g=s_\mu,h=s_\nu$�Ƃ��Ă悭,���̂Ƃ�
(5)�̗��ӂ͏��(4)���$\gamma_{\mu\nu}^\lambda$�ɓ�����.)
\\
21.
�C�ӂ̉���$A$�ɑ΂���,
$\mathbb{G}(A)$��S�Ă̒P�ʓI�Ȋ����^
$\alpha:\Lambda \rightarrow A$�̏W���Ƃ���.���̂悤�Ȋ����^���ꂼ���
�萔��$\alpha(h_0)=1$��p���Č`���I�p����
\begin{equation*}
\alpha H(t)=\sum_{i\ge0}\alpha(h_i)t^i \in A[[t]]
\end{equation*}
�ɂ�茈�܂�,�]����$\mathbb{G}(A)$��
$A[[t]]$�̒萔����1�ł���`���I�p�����̏W���Ɠ��ꎋ�ł���.
\\
(a)
$\S5$,��25�Œ�`�����]��$\Delta:\Lambda \rightarrow \Lambda \otimes \Lambda$��
���̂悤��$\mathbb{G}(A)$��ɃA�[�x���Q�̍\���������N����.
$\alpha,\beta\in\mathbb{G}(A)$�̂Ƃ�,
\begin{equation*}
\alpha+\beta=m_A\circ (\alpha\otimes\beta)\circ \Delta
\end{equation*}
�ƒ�`����.�A��$m_A:A\otimes A\rightarrow A$��
$A$�̏�@�ł���.���̂Ƃ�(��L���p�������)
\begin{equation*}
(\alpha+\beta)h_k=\sum_{i+j=k}\alpha(h_i)\beta(h_j)
\end{equation*}
�������,�]����$A[[t]]$�̌`���I�p����$\alpha H(t)$��
$\beta H(t)$��\textbf{��}
\begin{equation*}
(\alpha+\beta)H(t)=(\alpha H(t))(\beta H(t))
\end{equation*}
�𓾂�.

$\overline{\omega}:\Lambda \rightarrow \Lambda$��
$\overline{\omega}(h_i)=(-1)^i e_i (i\ge 1)$�ɂ���`���ꂽ
�΍��Ƃ�,�]����$\Lambda^n$���$\overline{\omega}$��$(-1)^n \omega$�ƂȂ�.���̂Ƃ�
\begin{equation*}
-\alpha=\alpha\circ \overline{\omega}
\end{equation*}
�ƒ�`�����,
$(-\alpha)H(t)=\alpha(E(-t))=(\alpha H(t))^{-1}$��,�̂�
$(-\alpha)H(t)$�͌`���I�p����$\alpha H(t)$��$A[[t]]$�ɂ�����
\textbf{�t��}�ł���.

�Ō��, $\mathbb{G}(A)$�̗댳$\textrm{\boldmath $0$}$��
�]�P��$\varepsilon$�ɂ��U�������.����
$\textrm{\boldmath $0$}=e_A\circ \varepsilon$�ł���.
�A��$e_A:\mathbb{Z}\rightarrow A$��$\mathbb{Z}$����$A$�̒��ւ̗B���
�P�ʓI�����^�ł���.�e$i\ge 1$�ɑ΂���$\varepsilon(h_i)=0$�ł��邩��,
$\textrm{\boldmath $0$}H(t)=1$���]��.
\\
(b)
��20�̗]��$\Delta^*$�͋K��
\begin{equation*}
\alpha\beta=m_A\circ (\alpha\otimes\beta)\circ\Delta^*
\end{equation*}
�ɂ��$\mathbb{G}(A)$�̏�@�������N����.���̏�@�͎��̂悤��
�\���Ă��ǂ�.�p����$\alpha H(t)$��$\beta H(t)$��
�`���I�Ɉ�������,����
\begin{equation*}
\alpha H(t)=\prod(1+\xi_i t),\quad \beta H(t)=\prod(1+\eta_i t)
\end{equation*}
�ƕ\����,���̂Ƃ�
\begin{equation*}
(\alpha\beta)H(t)=\prod_{i,j}(1+\xi_i \eta_j t)
\end{equation*}
�ƂȂ�.��20�Œ�`���ꂽ�]�P��$\varepsilon^*$��p����
\begin{equation*}
\textrm{\boldmath $1$}=e_A \circ \varepsilon^*
\end{equation*}
�ƒ�`���ꂽ��$\textrm{\boldmath $1$}\in \mathbb{G}(A)$��
���̐ςɑ΂��ĒP�ʌ��ł���,
$\textrm{\boldmath $1$}(H(t))=(1-t)^{-1}$�ł���.
\\
(c)
(a)��(b)�Œ�`���ꂽ�a�ƐςɊւ���,
$\mathbb{G}(A)$��\textrm{\boldmath $0$}��댳, \textrm{\boldmath $1$}��P�ʌ��Ƃ���
���ł���. $\varphi:A \rightarrow B$��$A$�������$B$��
���ւ̏����^�Ȃ��, $\mathbb{G}(\varphi)\alpha=\varphi \circ \alpha$�ɂ��
��`���ꂽ$\mathbb{G}(\varphi):\mathbb{G}(A)\rightarrow\mathbb{G}(B)$��
�����^�ʑ��ł���.���̂悤��$\mathbb{G}$�͉��̌��ɂ�����
���ϊ�ł���.
\\
22.
$f_1,f_2,g_1,g_2 \in \Lambda$�ɑ΂���,
$\Lambda \otimes \Lambda$��̓����ς�
\begin{equation*}
(f_1 \otimes f_2)*(g_1 \otimes g_2)=(f_1 * g_1)\otimes (f_2 * g_2)
\end{equation*}
�ƒ�`����.�S�Ă�$f,g \in \Lambda$�ɑ΂���
$\Delta(f * g)=(\Delta f)*(\Delta g)$�ł��邪,��ʂɂ�
$\Delta^*(f * g) \neq (\Delta^* f)*(\Delta^* g)$�ł��邱�Ƃ�����.
\\
23.
(a)
$f,g,h \in \Lambda$�Ƃ���.���̂Ƃ�����$\langle f*g,h \rangle$
��$f,g,h$�Ɋւ��đΏ̂ł���.
\\
(b)
$(u_\lambda),(v_\lambda)$���݂��ɑo�΂�$\Lambda$�̊��Ƃ�,
$f \in \Lambda$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\begin{equation*}
\Delta^* f=\sum_\lambda (u_\lambda * f)\otimes v_\lambda
\end{equation*}
�����藧��.
(�Ȃ��Ȃ��,���(a)�Ɨ�20(b)���
$\langle \Delta^* f,g\otimes u_\lambda \rangle=\langle f,g*u_\lambda \rangle
=\langle u_\lambda*f,g \rangle$�ƂȂ邩��ł���.)
\\
(c)
$f,g,h \in \Lambda$�Ƃ�$\Delta h=\sum a_i \otimes b_i$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\begin{equation*}
(fg)*h=\sum(f*a_i)(g*b_i)
\end{equation*}
�ƂȂ�.����,
\begin{equation*}
(fg)*s_\lambda=\sum_\mu (f*s_{\lambda/\mu})(g*s_\mu)
\end{equation*}
����������.
\\
(d)
$\lambda,\mu$�𕪊��Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
h_\lambda * s_\mu=\sum\prod_{i\ge 1}s_{\mu^{(i)}/\mu^{(i-1)}}
\]
�ƂȂ�.�����Řa�͊e$i\ge 1$�ɑ΂���
$0=\mu^{(0)} \subset \mu^{(1)} \subset \ldots \subset \mu$����
$|\mu^{(i)}-\mu^{(i-1)}|=\lambda_i$�ƂȂ�
�����̗�$(\mu^{(0)},\mu^{(1)},\ldots)$�S�Ăɂ킽��.
((c)��p����.)
\\
(e)
$M=(m_{ij})$���񕉐����𐬕��Ƃ���s��̂Ƃ�,
$h_M=\prod_{i,j}h_{m_{ij}}$�Ƃ���.
$\lambda$��$\mu$�������̂Ƃ�,
\[
h_\lambda * h_\mu =\sum h_M
\]
�ƂȂ邱�Ƃ�����.�A��,�a�͍s�̘a��$\lambda_i$,��̘a��
$\mu_j$�Ȃ�$l(\lambda)$�s$l(\mu)$���
�������񕉐����ł���s��$M$�S�Ăɂ킽��.
\\
24.
�Ώ̌Q$S_n$��$n+1$���Œ肷�镔���Q�Ƃ��Ď��R��
$S_{n+1}$�ɖ��ߍ��߂���.�a�W��
\[
S_\infty = \cup _{n \ge 0} S_n
\]
�͗L���W���������ČŒ肷�鐳�����̏W���̒u���Q�ł���.
$w \in S_n$������u���^$\rho$,������$\rho=(\rho_1,\ldots \rho_r)$��
����$r$�̕���,�����Ȃ��,
$S_{n+k}$�̌��Ƃ��Č��Ȃ����Ƃ�,�u��$w$�͏���u���^
$(\rho_1,\ldots,\rho_r,1,\ldots,1)=\rho \cup (1^k)$������.�]����
$w$��\textbf{�ό`����u���^}�𕪊�$(\rho_1-1,\ldots,\rho_r-1)$
�ƒ�`����.���̕ό`����u���^��$S_{n+k}$�ւ�$S_n$�̖��ߍ��݂̉���
���肵�Ă���.

�e����$\lambda$�ɑ΂���,
$C_\lambda$��ό`����u���^��$\lambda$�ł���$w \in S_\infty$
�S�Ă̏W���Ƃ���.
$\lambda$���S�Ă̕����ɂ킽��Ƃ�,
$C_\lambda$��$S_\infty$�̋���ނł���.�Ⴆ��,
$C_{(1)}$�͌݊����ł���,
$C_0$�͍P���u�����琬��.

�e$n \ge 0$�ɑ΂���,
$Z_n$���Q��$\mathbb{Z}[S_n]$�̒��S�Ƃ�,�e����$\lambda$�ɑ΂���
$c_\lambda(n) \in Z_n$��ό`����u���^��$\lambda$��$w \in S_n$�S�Ă̘a,
����$w \in S_n \cap C_\lambda$�S�Ă̘a�Ƃ���.
$|\lambda|+l(\lambda) \le n$�̂Ƃ��y�т��̂Ƃ��Ɍ���$c_\lambda \neq 0$�𓾂�.

$\lambda,\mu$�𕪊��Ƃ���.
$Z_n$�̐�$c_\lambda(n)c_\mu(n)$��$c_\nu(n)$�̐��^����,����
\begin{equation*}
\tag{1} c_\lambda(n)c_\mu(n) =\sum_\nu a_{\lambda\mu}^\nu(n)c_\nu(n)
\end{equation*}
�ƂȂ�.�����ŌW��$a_{\lambda\mu}^\nu(n)$��$a_{\lambda\mu}^\nu(n) \in \mathbb{N}$�ł���,
$|\nu|\le |\lambda| + |\mu|$�łȂ�����0�ł���.�Ⴆ��,
$\lambda=\mu=(1)$�̂Ƃ�,
$c_{(1)}(n)^2$��$S_n$��2�̌݊��̐�$(ij)(kl)$�S�Ă̘a�ł���,
�ȒP�Ȍv�Z�ɂ��
\begin{equation*}
\tag{2} c_{(1)}(n)^2=3c_{(2)}(n)+2c_{(11)}(n)+\frac{1}{2}n(n-1)c_0(n)
\end{equation*}
�𓾂�.��ʂɂ�([F2]������)�W��$a_{\lambda\mu}^\nu(n)$��$n$�̑������֐��ł���,
$|\nu|=|\lambda|+|\mu|$�̂Ƃ��y�т��̂Ƃ��Ɍ���$n$�Ɉˑ����Ȃ�.�]����[F2]���,
���̂悤�Ɋ��\���ł���.
$R$�𑽍�����$\mathbb{Q}[t]$�̕����ł���,
�S�Ă̐����ɂ����Đ����l���Ƃ鑽��������Ȃ�Ƃ���(�񍀌W��$\dbinom{t}{n},n\ge 0$��
$R$��$\mathbb{Z}$-���𐬂�).
$F$�𕪊�$\lambda$�ɂ��Y�����t����ꂽ$R$-���$(c_\lambda)$������,�ς�
\begin{equation*}
\tag{3} c_\lambda c_\mu =\sum_\nu a_{\lambda\mu}^\nu c_\nu
\end{equation*}
�ɂ���`���ꂽ��$R$-�㐔�Ƃ���.
������$a_{\lambda\mu}^\nu \in R$�͐���$n$�ɂ����Ēl$a_{\lambda\mu}^\nu(n)$�����,
�a��$|\nu| \le |\lambda| + |\mu|$�ł���悤�ȕ���$\nu$�ɂ킽��.�e$c_\lambda$��
����$|\lambda|$�����蓖�Ă�Ƃ�,
$F$��\textbf{�����t��}�ł͂Ȃ�.�Ȃ��Ȃ��(3)�̉E�ӂ͓������ł͂Ȃ�����ł���.������
\textbf{�t�B���^�[}�ł͂���.����,
$F^r$��$|\lambda| \le r$�ł���悤��$c_\lambda$�ɂ��
������$F$�̕�����Ԃł���Ȃ��,
$F^r.F^s \subset F^{r+s}$�ƂȂ�.�]���ĕt�����鎟���t����
$G_R=Gr(F)$���\���ł���.�܂�,
$G_R$�͒��a$\oplus_{r \ge 0}G_R^r,G_R^r=F^r/F^{r-1}$�ł���,
$G_R$�ɂ�����ς�$F$�ɂ�����ς�������N�������.
$F$����$G_R$�Ɉڍs�����(3)�ɂ�����᎟�̍���������.
$G_R$�ɂ����Đς�
\begin{equation*}
\tag{4} c_\lambda c_\mu=\sum_{|\nu|=|\lambda|+|\mu|}a_{\lambda\mu}^\nu c_\nu
\end{equation*}
�ɂ���`����, (��̒��ӂƓ��l��)$|\nu|=|\lambda|+|\mu|$�ł���悤�ȍ\���萔
$a_{\lambda\mu}^\nu$�͔�\textbf{����}�ł���.
(�Ⴆ��, $G_R$�ɂ����ď��(2)����$c_{(1)}^2=3c_{(2)}+2c_{(11)}$�𓾂�.)
�����$G_R=R \otimes_{\mathbb{Z}} G$���]��.������$G$��
$(c_\lambda)$�����Ɏ���, (4)�ɂ��^����ꂽ�ύ\���������R$\mathbb{Z}$-���Q�ł���.

$c_{(r)},r\ge 1$��$c_r$�Ə������ƂƂ���($c_0=1$��$F$��$G$�̒P�ʌ��ł���).���̂Ƃ�
��������.
\\
(a) $|\lambda|+r=m$�̂Ƃ�,
\begin{equation*}
\tag{5} a_{\lambda (r)}^{(m)} = \left\{
\begin{array}{ll}
 (m+1)r! \biggl/ \displaystyle \prod_{i \ge 0}m_i(\lambda)! &\quad l(\lambda) \le r+1, \\
 0 &\quad ����ȊO�̂Ƃ�
\end{array}
\right.
\end{equation*}
�ƂȂ�.�A��, $m_0(\lambda)=r+1-l(\lambda)$�ł���.
\\
(b) $|\lambda|+r=|\nu|$�̂Ƃ�,
\begin{equation*}
\tag{6} a_{\lambda(r)}^\nu=\sum a_{\mu (r)}^{(\nu_i)}
\end{equation*}
�ƂȂ�.�a��$\mu \cup \nu =\lambda \cup (\nu_i)$�ƂȂ�悤��
�g$(i,\mu)$�ɂ킽��.
$\nu \ge \lambda \cup (r)$�łȂ�����$a_{\lambda(r)}^\nu =0$�ł���,
$a_{\lambda(r)}^{\lambda \cup (r)}>0$�ł��邱�Ƃ𓱂�.

(b)����e����$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$�ɑ΂���,
$c_{\lambda_1}c_{\lambda_2}\ldots$��
\[
c_{\lambda_1}c_{\lambda_2}\ldots =\sum_{\mu \ge \lambda}d_{\lambda\mu}c_\mu
\]
�ƕ\����, $d_{\lambda\lambda}>0$�ł��邱�Ƃ�������.�]����$c_1,c_2,\ldots$��
�㐔�I�Ɨ���$G$�̌��ł���, $\mathbb{Q}$��$G$�𐶐�����.����
$G \otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[c_1,c_2,\ldots]$�ƂȂ�.�����
$G$�̐ύ\����(a)��(b)����ӓI�Ɍ��܂�.

\noindent
25.
$\psi$��$\S2$,��24�Œ�`����$\Lambda$��̑΍��Ƃ���.��̋L����p����,
$h_{\lambda}^*=\psi(h_\lambda)$��$\Lambda$��$\mathbb{Z}$-���𐬂�.
$(g_\lambda)$��o�Ί��Ƃ����, $\langle g_\lambda,h_\mu^* \rangle=\delta_{\lambda\mu}$
�ƂȂ�.���ςɊւ���$\psi$�̐�����$\psi^\bot$�Ƃ����,���l�ȏ���
$g_\lambda=\psi^\bot(m_\lambda)$��������.��̗�24�̕\�L�ɂ�����,
�S�Ă̕���$\lambda$�ɑ΂���$\varphi(g_\lambda)=c_\lambda$�ɂ���`�����
���^�ʑ�$\varphi:\Lambda \rightarrow G$�����^�ʑ��ł��邱�Ƃ�������.
\\
(a) $\S2$,��24����K���Ȑ���$u_{(n)\mu}$�ɑ΂���
\begin{equation*}
h_n^*=-h_n+\sum_{\mu <(n)}u_{(n)\mu}h_\mu
\end{equation*}
�������,�]����$h_\lambda^*$��
\[
h_\lambda^*=(-1)^{l(\lambda)}h_\lambda+\sum_{\mu < \lambda}u_{\lambda\mu}h_\mu
\]
�̌`�ŕ\�����.����͑J�ڍs��$M(h^*,h)\; (=M(h,h^*))$��
�Ίp������$(-1)^{l(\lambda)}$�ł��鋷�`��O�p�s��ł��邱�Ƃ������Ă���.
(6.3) (3)���$M(g,m)=M(h,h^*)'$�������,�]����
\[
g_\lambda =(-1)^{l(\lambda)}m_\lambda+\sum_{\mu > \lambda}u_{\mu\lambda}m_\mu
\]
�𓾂�.����$g_{(n)}=-m_{(n)}=-p_n$�ƂȂ�.
\\
(b) $b_{\lambda\mu}^\nu=\langle g_\lambda g_\mu,h_\nu^* \rangle$��
$g_\lambda g_\mu$�ɂ�����$g_\nu$�̌W���Ƃ���.
$g_{(n)}=-p_n$��$\Lambda_{\mathbb{Q}}$�𐶐����邩��,
��Œ�`����$\varphi$�����^�ʑ��ł��邱�Ƃ��ؖ����邽�߂ɂ�
$\mu$��1�̕����ł��镪��$(r)$�̂Ƃ��Ȃ炢�ł�
$b_{\lambda\mu}^\nu=a_{\lambda\mu}^\nu$�ł��邱�Ƃ������Ώ\���ł���,
���̖ړI�̂��߂ɂ�$b$����24��2�̊֌W$(5),(6)$�𖞂������Ƃ�������
�\���ł���.

�܂�$\S5$,��3�̕\�L�ɂ�����
\begin{equation*}
\tag{1} b_{\lambda(r)}^{(m)}=-\langle g_\lambda p_r,h_m^* \rangle
=-\langle g_\lambda,p_r^\bot h_m^*  \rangle
\end{equation*}
���l����. $\S2$,��24����, $h_m^*$��
\begin{equation*}
\frac{1}{m+1}H(t)^{-m-1}=\frac{1}{m+1}
\exp{\biggl(-(m+1)\sum_{r\ge1}\frac{p_r t^r}{r} \biggl)}
\end{equation*}
�ɂ�����$t^m$�̌W���ł���.�]����$-p_r^\bot h_m^*=-r \partial h_m^* /\partial p_r$��
$t^r H(t)^{-m-1}$�ɂ�����$t^m$�̌W���ɓ�����.���������`��
\begin{equation*}
\tag{2} t^r \textrm{d}t/(tH(t))^{m+1}=\frac{1}{r+1} \textrm{d}(t^{r+1})/u^{m+1}
\end{equation*}
�̗����ł���.������$\S2$,��24�̂悤��$u=tH(t)$�Ƃ���.��
\begin{align*}
t^{r+1} &= u^{r+1}\Big(\sum h_n^* u^n \Big)^{r+1} \\
        &= \sum \frac{(r+1)!}
        {\displaystyle \prod_{i \ge 0}m_i(\lambda)!}h_\lambda^* u^{|\lambda|+r+1}
\end{align*}
�����藧��.�A���a�͒���$l(\lambda)\le r+1$�̕���$\lambda$�ɂ킽��,
$m_0(\lambda)=r+1-l(\lambda)$�ł���.�]����(2)����
\[
-p_r^\bot h_m^* =\sum \frac{r!(m+1)}{\displaystyle \prod_{i \ge 0}m_i(\lambda)!}h_\lambda^*
\]
�𓾂�.�����Řa��$l(\lambda)\le r+1$�ł���$|\lambda|=m-r$�ł���悤�ȕ���$\lambda$�ɂ킽��.
(1)�����24�̊֌W(5)�Ɣ�r���邱�Ƃɂ��$|\lambda|+r=m$�̂Ƃ��͂��ł�
$b_{\lambda(r)}^{(m)}=a_{\lambda(r)}^{(m)}$���]��.
\\
(c) �Ō��
\[
b_{\lambda(r)}^\nu =- \langle g_\lambda p_r,h_\nu^* \rangle
=-\langle g_\lambda,p_r^\bot h_\nu^* \rangle
\]
���l����. $p_r^\bot =r\partial/\partial p_r$�͔���($\S5$,��3)�ł��邩��
\[
p_r^\bot h_\nu^*=\sum h_{\nu^{(i)}}^* p_r^\bot h_{\nu_i}^*
\]
�𓾂�.�A��, $\nu^{(i)}=(\nu_1,\dots,\hat{\nu_i},\dots)$�ł���,
�a��$\nu_i \le r$�ƂȂ�$i \ge 1$�ɂ킽��.�]����
\begin{equation*}
\tag{3} b_{\lambda(r)}^\nu = -\sum\langle g_\lambda,h_{\nu^{(i)}}^* p_r^\bot h_{\nu_i}^* \rangle
\end{equation*}
�ƂȂ�,�E�ӂ̓��ς�$h_{\nu^{(i)}}^* p_r^\bot h_{\nu_i}^*$�ɂ�����
$h_\lambda^*$�̌W���ł���,�]���Ă��镪��$\mu$�ɑ΂���
$\lambda=\nu^{(i)}\cup \mu$����$\mu \cup \nu=\lambda \cup (\nu_i)$�łȂ�����0�ł���.
�܂����̂Ƃ�$p_r^\bot h_{\nu_i}^*$�ɂ�����$h_\mu^*$�̌W���ɓ�����,�����
(1)���$\langle g_\mu,p_r^\bot h_{\nu_i}^* \rangle=-b_{\mu(r)}^{(\nu_i)}$�ƂȂ�.�]����
(3)��
\[
b_{\lambda(r)}^\nu=\sum b_{\mu(r)}^{(\nu_i)}
\]
�ƂȂ�.�����Řa��$\lambda \cup \nu =\lambda \cup (\nu_i)$�Ȃ�g$(i,\mu)$�ɂ킽��.
����ė�24�̊֌W(6)�̑΋���m�؂�,�ؖ�����������.
\\
26.
$\delta:R \rightarrow R \otimes R$������ʑ��̉���
$\Delta:\Lambda \rightarrow \Lambda \otimes \Lambda$($\S5$,��25)�ɑΉ�����
$R$��̗]�ςƂ���(�]����$((\textrm{ch} \otimes \textrm{ch})\circ \delta =\Delta\circ \textrm{ch}$).
$f \in R_n$�̂Ƃ�,
\[
\delta f=\bigoplus_{p+q=n}f|S_p\times S_q
\]
�ł��邱�Ƃ�����.

\subsection*{���Ӌy�юQ�l����}
\noindent
�L���Q�̕\���_��19���I�̖����ɏo�ł��ꂽ�_���W�ɂ�����Frobenius�ɂ��m������,
�ނ̑S�W�̑�3���ɂ����čČ����ꂽ.����,�ނ�1900�N�ɑΏ̌Q�̊���w�W�𓾂�[F10].
��X�̉��߂͑�؂͓����ł���.

������$f * g$��(���҂̒m�����)�܂�1927�N��Redfield�̘_��[R1]�Ɍ���,���[L11]�Ɍ����.
(Littlewood�͂������ςƌĂ�.��X�͂��̗p��������.�Ȃ��Ȃ�Γ��ς�
���̖{�ł͕ʂ̈Ӗ��Ƃ��Ă��邩��ł���.)

��5��Littlewood��Richardson [L13]�ɂ�邪,
Murnaghan-Nakayama�K��([M18],[N1])�Ƃ��Ĉ�ʓI�ɒm���Ă���.��6��7��
Frobenius (��L���p����)�ɂ��.��9��A.Zelevinsky�Ɋ�^����.

��13�y��14.
�w�W�������͊���Frobenius��1904�N�̘_��[F11]�Ɍ����.��
(7)��(8)��Specht [S19]�ɂ��.

��24�y��25.
��24��(a),(b)�̏ؖ���[F2]������.
��25�̌��ʂ̂��悢�ؖ���[G9]�ɂ�蕪����ł��낤.

\end{document}