\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts,amssymb,mathrsfs}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\textwidth 40zw
\begin{document}
\setcounter{chapter}{1}
\setcounter{section}{5}

\section{�J�ڍs��}

\noindent
���̐߂ł͍s�Ɨ񂪐�����$n$�̕����œY�����t����ꂽ�s�������.
$n$�̕������t����������(\S 1)�ŕ��ׂ�.�����$(n)$���ŏ���,
$(1^n)$���Ō�ɗ���.
(1.10)���$\lambda \ge \mu$�Ȃ��$\lambda$��$\mu$�̑O�ɗ���.
$n$�̕����œY�����t����ꂽ�s��$(M_{\lambda \mu})$�ɑ΂�,
$\lambda \ge \mu$�łȂ�����$(M_{\lambda \mu})=0$�̂Ƃ�\textbf{���`��O�p}�ł���Ƃ���.
����ɑS�Ă�$\lambda$�ɑ΂���$(M_{\lambda \lambda})=1$�̂Ƃ�\textbf{���`�P�ʏ�O�p}�ł���Ƃ���.
���l�ɂ���\textbf{���`���O�p}��\textbf{���`�P�ʉ��O�p}���`����.

$U_n (U'_n)$��$n$�̕����œY�����Â����,�����������ł��鋷�`�P�ʏ�(��)�O�p�s��̏W���Ƃ���.
\noindent
\\
\\
(6.1)
$U_n$, $U'_n$�͍s��̐ςɊւ��ČQ���Ȃ�.
\begin{proof}
$M,N \in U_n$�Ƃ���.
$\lambda \ge \nu \ge \mu$�Ȃ镪��$\nu$�����݂��Ȃ�����,����$\lambda \ge \mu$�łȂ�����
$(MN)_{\lambda \mu}=\sum_\nu M_{\lambda \nu}N_{\nu \mu}$�͗�ƂȂ�.
�������R��$(MN)_{\lambda \lambda}=M_{\lambda \lambda}N_{\lambda \lambda}=1$�ƂȂ�.�����$MN \in U_n$.

$M \in U_n$�Ƃ���.
\[
\tag{1} \sum_{\mu} M_{\lambda \mu} x_\mu = y_\lambda
\]
��
\[
\tag{2} \sum (M^{-1})_{\lambda \mu}y_\mu = x_\lambda
\]
�Ɠ��l�ł���.
�Œ肵��$\lambda$�ɑ΂���, $y_\nu$ ($\nu \le \lambda$) ��
����$(1)$�ɂ�$\mu \le \nu$,���� $\mu \le \lambda$�ɑ΂���$x_\mu$�̂݌����.
�]���ē��l�̂��Ƃ�����$(2)$�ɂ��Ă�����, $\mu \le \lambda$�łȂ�����$(M^{-1})_{\lambda \mu}=0$�ł���.
������$M^{-1} \in U_n$���]��.
\end{proof}


�]�ڍs��$J$�����Œ�߂�.
\begin{eqnarray*}
J_{\lambda \mu} =\left\{\begin{array}{ll}
 1  &\quad (\lambda ' = \mu �̂Ƃ�), \\
 0  &\quad (���̑��̂Ƃ�). 
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

\noindent
\\
(6.2)
$JMJ$�����`(�P��)���O�p�̂Ƃ������̂Ƃ��Ɍ���$M$�͋��`(�P��)��O�p�ł���.
\begin{proof}
$N=JMJ$�̂Ƃ�, $N_{\lambda \mu} = M_{\lambda ' \mu '}$�ł���.
(1.11)���, $\mu \ge \lambda$�̂Ƃ������̂Ƃ��Ɍ���$\lambda ' \ge \mu '$�ł���,���̂��Ƃ��猋�ʂ𓾂�.
\end{proof}

$(u_\lambda ),\ (v_\lambda)$��$n$�̕����œY�����t����ꂽ$\Lambda ^n$��$2$�̔C�ӂ�$\mathbb{Q}$-���ł���Ƃ�,����
\[
u_\lambda = \sum_{\mu}M_{\lambda \mu} v_{\mu}
\]
�̌W���̍s��$(M_{\lambda \mu})$��$M(u,v)$�ƕ\�����Ƃɂ���.
$M(u,v)$�͊��$(u_\lambda)$������$(v_\lambda)$�ւ�\textbf{�J�ڍs��}�ƌĂ΂��.
����͗L�����̐����s��ł���.

\noindent
\\
(6.3)
$(u_\lambda), (v_\lambda), (w_\lambda)$��$\Lambda^n$��$\mathbb{Q}$-���Ƃ���.
���̂Ƃ�
\[\tag{1}
M(u,v)M(v,w)=M(u,w),
\]
\[\tag{2}
M(v,u)=M(u,v)^{-1}.
\]

$(u'_\lambda), (v'_\lambda)$�����ꂼ��$(u_\lambda), (v_\lambda)$��($\S 4$�̓��ςɊւ���)�o�΂Ȋ��Ƃ���.
���̂Ƃ�
\[\tag{3}
M(u', v') = M(v, u)'=M(u,v)^* .
\]
(������$M'$��$M$�̓]�u�s���, $M^*$��$M$�̓]�u�t�s���\��.)
\[\tag{4}
M(\omega u, \omega v)=M(u,v)
\]
������$\omega : \Lambda \rightarrow \Lambda$��$\S 2$�Œ�`�����΍��ł���.

�ȏ�̎咣�͖��炩�ł���.
\\

$\S 2$��$\S 3$�Œ�`����$\Lambda^n$��5��$\mathbb{Z}$-���$(e_\lambda), (f_\lambda), (h_\lambda), (m_\lambda), (s_\lambda)$���l����.
�����̊��̑g�Ɋւ���J�ڍs�񂪍s��
\[
K=M(s,m)
\]
�Ɠ]�ڍs��$J$��p���ĕ\���邱�Ƃ�����.

$(m_\lambda)$��$(h_\lambda)$�͑o�Ί��ł���, $(s_\lambda)$�͎��ȑo��(4.8)�Ȃ̂�, (6.3)(3)���
\[
M(s,h)=K^*
\]
�𓾂�.
�΍�$\omega$���{����(3.8)���
\[
M(\omega s,s)=J
\]
�ł��邱�Ƃ��킩��, (6.3)(1)�����(4)���
\[
M(s, e)=M(\omega s ,h)=M(\omega s,s)M(s,h)=JK^*
\]
�𓾂�.�Ō��, �Ă�(6.3)(3)���
\[
M(s,f)=M(s,e)^*=(JK^*)^*=JK
\]
�ƂȂ�.

(6.3)(1)�����(2)��p���đJ�ڍs��̕\1����������.
$u$�s$v��$�̗v�f��$M(u,v)$��\��.

\begin{table}[h]
\begin{center}
\textbf{�\1}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
 & $e$& $h$& $m$&$f$& $s$\\ \hline
$e$ & $1$& $K'JK^*$&$ K'JK$&$ K'K$&$ K'J$\\ \hline
$h$ & $K'JK^*$&$ 1$&$ K'K$&$ K'JK$&$ K'$\\ \hline
$m$ & $K^{-1}JK^*$&$ K^{-1}K^*$&$1$&$ K^{-1}JK$&$ K^{-1}$\\ \hline
$f$ & $K^{-1}K^*$&$ K^{-1}JK^*$&$ K^{-1}JK$&$ 1$&$ K^{-1}J$\\ \hline
$s$ & $JK^*$&$ K^*$&$ K$&$ JK$&$ 1$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

�\1�̂������̑J�ڍs��͑g�ݍ��킹�_�I���߂��ł���.
(5.13)��莟���]��.
\\

\noindent
(6.4) $K_{\lambda \mu}$�͘g��$\lambda$, �E�F�C�g��$\mu$�ł���Ղ̐��ɓ�����.
\\

$K_{\lambda \mu}$��\textbf{Kostka�W��}�ƌĂ΂�邱�Ƃ�����.
(6.4)��肱���͔񕉂ł���.
�����
\\

\noindent
(6.5) �s��$(K_{\lambda \mu})$�͋��`�P�ʏ�O�p�ł���.
\begin{proof}
$T$��g��$\lambda$�ŃE�F�C�g��$\mu$�̔Ղł���Ƃ�,
�e$r \ge 1$�ɑ΂���, $T$�̏�$r$�s�ɔz�u����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�������$\mu_1 + \ldots + \mu_r \ (\le r)$����.
(�Ȃ��Ȃ�Ղ̗�͉������ɋ��`�P�������ƂȂ�悤�ɐ�����u���Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�����.)
�]���ĔC�ӂ�$r \ge 1$�ɑ΂���$\mu_1 + \ldots + \mu_r \le \lambda_1 + \ldots + \lambda_r$,
����$\mu \le \lambda$�ł���.
�]����$\lambda \ge \mu$�łȂ�����$K_{\lambda \mu}=0$�ł���,�������R����$K_{\lambda \lambda}=1$�ł���.
\end{proof}

�\1��(6.5)����ȉ��̂��Ƃ��킩��.
\\

\noindent
(6.6) (i) $M(s,h)$��$M(h,s)$�͋��`�P�ʉ��O�p�s��.\\
(ii) $M(s,m)$��$M(m,s)$�͋��`�P�ʏ�O�p�s��.\\
(iii) $M(e,m)=M(h,f)$�͑Ώ̍s��.\\
(iv) $M(e,f)=M(h,m)$�͑Ώ̍s��.\\
(v) $M(e,h)=M(h,e)=M(m,f)'=M(f,m)'$.\\
(vi) $M(h,s)=M(s,m)'$.\\
(vii) $M(e,s)=M(s,f)'$.\\
\\

���ۂ�(��̗�5) $M(e,h)$�͋��`��O�p�ł���.
(�䂦��(6.6)(v)���$M(m,f)$�͋��`���O�p�ł���).
\\

\noindent
(6.7) (i) $M(e,m)_{\lambda \mu}=\sum_\nu K_{\nu \lambda}K_{\nu ' \mu}$�͍s�̘a��$\lambda_i$,��̘a��$\mu_j$�ł���0��1����Ȃ�s��̐��ɓ�����.\\
(ii) $M(h,m)_{\lambda \mu}=\sum_\nu K_{\nu \lambda}K_{\nu \mu}$�͍s�̘a��$\lambda_i$,��̘a��$\mu_j$�ł���񕉐�������Ȃ�s��̐��ɓ�����.

\begin{proof}
(i) $e_\lambda = e_{\lambda_1}e_{\lambda_2}\ldots$�̒��̒P����$x^\mu$ (������$\mu$��$n$�̕���)�̌W�����l����.
$e_{\lambda_i}$�̒��̒P������$\prod_j x_j^{a_{ij}}$�̌`�����Ă���.
������$a_{ij}$��0�܂���1�ł���$\sum_j a_{ij}=\lambda_i$�ł���.
�]����$\sum_i a_{ij}=\mu_j$�ł��邽�߂ɂ�
\[
\prod_{i,j}x_j^{a_{ij}} = \prod_j x_j^{\mu_j}
\]
�łȂ���΂Ȃ�Ȃ�. 
����čs��$(a_{ij})$�̍s�̘a��$\lambda_i$��,��̘a��$\mu_j$�ł���.

(ii)�̏ؖ����قړ��l�ł���.�Ⴄ�̂�$e_\lambda$��$h_\lambda$�ɒu������邱�Ƃł���,
���̌��ʏ搔$a_{ij}$�͔C�ӂ�0�ȏ�̐����ƂȂ�.
\end{proof}

\noindent
\textbf{��}.
(6.4)�����(6.7)(i)���,�s�̘a��$\lambda_i$�ŗ�̘a��$\mu_j$�ł���$(0,1)$-�s��̐���,
�g��$\nu$, �E�F�C�g��$\lambda$�̔Ղ�,�g������$\nu'$, �E�F�C�g��$\mu$�̔ՂƂ̑g�̐��Ɠ�����.
����, 2�̏W���̊Ԃɖ����I��1��1�Ή���^���邱�Ƃ��ł���(Knuth�̑o�ΑΉ�[K12], [S23]).

���l��,������܂�Knuth�ɂ����̂���,�s�̘a��$\lambda_i$�ŗ�̘a��$\mu_j$�ł���񕉐�������Ȃ�s��̏W����,
�����g�ƃE�F�C�g$\lambda, \mu$�����Ղ̑g�̏W���ɂ͖����I��1��1�Ή������݂���.
\\

$\mathbb{Q}$-���$(p_\lambda)$�ɑ΂���J�ڍs����l���悤.
���̂��߂�,���̕\�L�𓱓�����:
$\lambda$������$r$�̕����ł���, $f$��$\mathbb{Z}$�̋��$[1,r]$���琳�����̏W��$\mathbb{N}^+$�ւ̔C�ӂ̎ʑ��̂Ƃ�,
$f(\lambda)$��$i \ge 1$�ɑ΂���$i$�Ԗڂ̗v�f��
\[
f(\lambda)_i=\sum_{f(j)=i} \lambda_j
\]
�ł���x�N�g���Ƃ���.

$L$��J�ڍs��$M(p,m)$,����
\[
\tag{6.8}
p_\lambda = \sum_\mu L_{\lambda \mu} m_\mu
\]
�Ƃ���.
�ȏ�̕\�L��p���Ď��𓾂�.
\\

\noindent
(6.9) $L_{\lambda \mu}$��$f(\lambda)=\mu$�ƂȂ�$f$�̐��ɓ�����.

\begin{proof}
$p_\lambda = p_{\lambda_1}p_{\lambda_2}\ldots$��W�J�����,�P����$x_{f(1)}^{\lambda_1}x_{f(2)}^{\lambda_2}\ldots$�̘a�𓾂�.
������$f$�͔C�ӂ̎ʑ�$[1,r] \rightarrow \mathbb{N}^+$�ł���.
�]����
\[
p_\lambda = \sum_f x^{f(\lambda)}
\]
�ł���, $L_{\lambda \mu}$��$p_\lambda$�̒���$x^\mu$�̌W���ɓ������̂Ō��_���]��.
\end{proof}

��̂悤��$\mu=f(\lambda)$�̂Ƃ�, $\mu$�̕���$\mu_i$��$\lambda_j$�̕����a�ł���.
����, $\lambda^{(i)}$��$\mu_i$�̕����Ƃ���Ƃ�, $\lambda$��$\bigcup _{i \ge 1}\lambda^{(i)}$�ƕ\�����.
$\lambda$��$\mu$��\textbf{�ו�}�ƌĂ�,����$\lambda$��$\mu$�̊֌W��\���̂�$\lambda \le_{R} \mu$�Ə���.
���炩��$\le_R$�͐���$n \ge 0$�̕����̏W��$\mathscr{P}_n$�ɂ����锼�����ł���.
\[
\tag{6.10}
\lambda \le_R \mu \Rightarrow \lambda \le \mu
\]

\begin{proof}
$1\le k \le l(\lambda)$�ɑ΂���$I_k=f([1,k])$�Ƃ���.
$\mu_i = \sum_{f(j)=i}\lambda_j$���,
\[
\lambda_1 + \ldots \lambda_k \le \sum_{i \in I_k} \mu_i \le \mu_1 + \ldots \mu_k
\]
���]��.�Ō�̕s������$I_k$�����X$k$�̗v�f��������ł���.
\end{proof}

\noindent
\\
\textbf{��.}
(6.10)�̋t�͐��藧���Ȃ�.
�Ⴆ��$l(\lambda)=l(\mu)$�Ȃ�$n$�̈قȂ镪��$\lambda$��$\mu$��$\le_R$�ł͏�ɔ�r�ł��Ȃ���,
$\le$�ł͔�r�ł�����.
\\

(6.9)��(6.10)���, $\lambda \le_R \mu$�łȂ�����,�]����$\lambda \le \mu$�łȂ�����$L_{\lambda \mu}=0$�ł���.
�̂ɍs��$L$��\textbf{���`���O�p}�ł���.
\\

�J�ڍs��$M(p,e), M(p,f)$��$M(p,h)$��$L$��p���Ď��̂悤�ɕ\�킳���:
\begin{align*}
\tag{6.11} \text{(i)}\quad & M(p,e)=\varepsilon z L^*,&\\
\text{(ii)}\quad & M(p,f) = \varepsilon L,&\\
\text{(iii)}\quad & M(p,h) = z L^*.&
\end{align*}
������$L^*$��$L$�̓]�u�t�s��ł���, $\varepsilon  (�Ȃ�т� z)$�͑Ίp�s��$(\varepsilon_\lambda) (�Ȃ�т� (z_\lambda))$��\��.

\begin{proof}
$(h_\lambda)$��$(p_\lambda)$�ɑo�΂Ȋ��͂��ꂼ��$(m_\lambda)$��$(z^{-1}_\lambda p_\lambda)$�ł��邩��, (6.3)���
\begin{align*}
M(p,h)=M(z^{-1} p,m)^* = (z^{-1} L)^* = zL^*
\end{align*}
���]��.�����
\begin{align*}
M(p,e)&=M(\omega p,\omega e)=M(\varepsilon p,h)=\varepsilon z L^*,\\
M(p,f)&=M(\omega p,\omega f)=M(\varepsilon p,m)=\varepsilon L.
\end{align*}
\end{proof}

�Ō�Ɏ��𓾂�.
\[
\tag{6.12}
M(p,s)=M(p,m)M(s,m)^{-1}=LK^{-1}.
\]
���߂ł�$n$�̕����ɐ�������$M(p,s)$�͑Ώ̌Q$S_n$�̎w�W�\�ł��邱�Ƃ�����.
\\

�Ō��, 6�̊��$e, f, h, m, s, p$�̊Ԃ̊֌W�͉��̐}�̂悤�ɗv�񂳂��.
�����t����ꂽ��$uv$�ɕt������L�����J�ڍs��$M(u,v)$��\��.
($M(u,v)=M(v,u)$�ł���ꍇ,��$uv$�ɂ͖��͂��Ă��Ȃ�.)
���₷���悤�ɘZ�p�`�̑Ίp���͏ȗ�����Ă���.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.9]{1-6.eps}
\end{center}
\end{figure}

\subsection*{��}
\noindent
1.
$M(h,m)_{\lambda \mu}$��$S_n$�̗�����]��$S_\lambda w S_\mu$�̐��ɓ�����.
������$S_\lambda=S_{\lambda_1}\times S_{\lambda_2}\times \ldots, S_\mu=S_{\mu_1}\times S_{\mu_2}\times \ldots$�ł���.

\noindent
2.
����$\lambda$��$\mu$�ɑ΂���Kostka��$K_{\lambda \mu}$�ɑ΂��閾����������.

\noindent
(a) $n$�̔C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���, $K_{\lambda,(1^n)}$��(6.4)���g��$\lambda$�̕W���Ղ̐��ɓ�����.
�����$\S 5$,��$2$���$K_{\lambda,(1^n)}=n!/h(\lambda)$�𓾂�.
������$h(\lambda)$��$\lambda$���꒷�̐ςł���.

\noindent
(b) $\lambda=(a,1^b)$����Ƃ���.
���̂Ƃ�$n=a+b$�̔C�ӂ̕���$\mu$�ɑ΂���, $K_{\lambda \mu}=\dbinom{l(\mu)-1}{ b}$�ł���.
�Ȃ��Ȃ�g��$\lambda$�ŃE�F�C�g��$\mu$�̔Ղ�$1$��ڂ̔��̒��g�Ō��肳��邩��ł���.
$1$��ڂ̔��̒��g�͑S�ĈقȂ�,�g�b�v�̔��̒��g(����$\lambda$�̊p�̔��̐�)��$1$�łȂ���΂Ȃ�Ȃ�.

\noindent
(c) $\lambda$��$\mu$��$\mu$�̊e������$\lambda_2$�ȏ�ł���$n$�̕����Ƃ���.
�g��$\lambda$�ŃE�F�C�g��$\mu$�̔C�ӂ̔�$T$�ɑ΂���, �g�b�v�̗�̏��߂�$\mu_1$�̔���$1$����߂Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�.
�]����$T$�͎c��̔��̒��g�Ō��肳��,����͘g��$\nu=(\lambda_2,\lambda_3,\ldots)$�ŃE�F�C�g���C�ӂ̔Ղ����.
�̂�(5.12)��$\S 3$,��$4$���$K_{\lambda \mu}=\dbinom{l(\mu)-1}{ \nu'}$���]��.

\noindent
3.
$K_n=(K_{\lambda \mu})_{\lambda, \mu \in \mathscr{P}}$�Ƃ�, (����)�s��$K$��$K_n$�̑Ίp�a�Ƃ���.
$K_0 = K_1 = (1)$�ł���, $n=2,3,\ldots,6$�ɑ΂���$K_n$�͐ߖ��Ɏ�����.

�s��$K_n$�Ƃ��̋t�s��͐ߖ��̕\�̂悤�ɍs�Ɨ񂪋t�����������ɕ���ł���Ƃ�,�ȉ��̂悤�Ȉ��萫������.
$m=\sum_{r \le n/2}p(r)$�Ƃ���.������$p(r)$��$r$�̕����̐��ł���.
���̂Ƃ�$K_n$ (����� $K_n^{-1}$)�̍����$m \times m$�召�s���,�C�ӂ�$n' > n$�ɑ΂���$K_{n'}$ (����� $K_{n'}^{-1}$)�̎召�s��Ɉ�v����.

����͎��̎����̌��ʂł���:
$\mu_1 \ge \lambda_2$�̂Ƃ�,�C�ӂ�$r \ge 1$�ɑ΂���$K_{\lambda \mu}=K_{\lambda+(r),\mu+(r)}$�ł���.
(�g��$\lambda+(r)=(\lambda_1 + r, \lambda_2, \lambda_3,\ldots)$�ŃE�F�C�g��$\mu+(r)=(\mu_1 +r, \mu_2, \mu_3,\ldots)$�̔Ղ�,
�g��$\lambda$�ŃE�F�C�g��$\mu$�̔Ղ̃g�b�v�̗��$r$�̔����E�ɓ�����,�󂢂�����$r$��$1$�����邱�Ƃɂ���ē�����.
)

\noindent
4.
$K_{\lambda \mu}^{(-1)}$���tKostka�s��$K^{-1}$��$(\lambda,\mu)$�����Ƃ���.
$K_{\lambda \mu}^{(-1)}$��$s_{\mu}=\det(h_{\mu_i - i+j})$��$h_\lambda$�̌W���ł���,
$m_\lambda$��Schur�֐��̘a�ŕ\�����Ƃ���$s_\mu$�̌W���ł�����.
(6.1)��(6.5)���$\lambda \ge \mu$�łȂ�����$K_{\lambda \mu}^{(-1)}=0$�ł���, $K_{\lambda \lambda}^{(-1)}=1$�ł���.

\noindent
(a)
$r,n$�𐳐����Ƃ���.
$\mu$��$(a,1^b)$�̌`�����Ă����(������$a+b=n$�ł���.)
\[
\sum_{\substack{l(\lambda)=r \\ |\lambda|=n}} K_{\lambda \mu}^{(-1)}=(-1)^{b+r-1}\begin{pmatrix}b\\ r-1 \end{pmatrix}
\]
�ł���,����ȊO�̏ꍇ��$0$�ł���.
(�����$\S 4$,��$10$���]��.)

\noindent
(b)
$\mu=(a, 1^m)$����Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
K_{\lambda \mu}^{(-1)}=(-1)^{l(\lambda)+l(\mu)}\frac{(l(\lambda)-1)!}{\prod_{i \ge 1}m_i(\lambda)!}\lambda'_a.
\]
(�s��$\det (h_{\mu_i-i+j})$���g�b�v�̗�œW�J����
\[
s_\mu = h_a e_m -h_{a+1} e_{m-1} + \ldots +(-1)^m h_{a+m}
\]
�𓾂�.������$s_\mu$��
\[
\tag{1}
(-1)^m E(-t)\sum_{r \ge a} h_r t^r = (-1)^m H(t)^{-1}\sum_{r \ge a}h_r t^r
\]
��$t^n$ (������$n=a+m=|\mu|$)�̌W���ł��邱�Ƃ��]��.
\begin{eqnarray*}
H(t)^{-1} &=& \left( 1+\sum_{r \ge 1} h_r t^r \right) ^{-1} \\
&=& \sum_{n \ge 0} (-1)^n \left( \sum_{r \ge 1} h_r t^r \right) ^n
\end{eqnarray*}
�ł��邩��, (1)��
\[
(-1)^m \left( \sum_{r \ge a} h_r t^r \right) \sum_{\nu} (-1)^{l(\nu)} \frac{l(\nu)!}{\prod_{i \ge 1}m_i(\nu)!}h_\nu t^{|\nu|}
\]
�ɓ�����.�����ŉE���̘a�͔C�ӂ̕���$\nu$�ɂ킽��.
$K_{\lambda \mu}^{(-1)}$�͂��̕\����$h_\lambda$�̌W���ɓ�����.)

\noindent
(c)
$\mu$��$(a_1,\ldots,a_r,1^m)$�̌`�����������Ƃ���.
������$r \ge 1$, �C�ӂ�$1 \le i \le r-1$�ɑ΂���$a_i-a_{i+1} \ge r-2$, $a_r \ge r$�Ƃ���.
���̂Ƃ��E�F�C�g��$m+a_1 + \ldots +a_r$�̔C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���
\[
K_{\lambda \mu}^{(-1)} = (-1)^{l(\lambda) + l(\mu)}\frac{(l(\lambda)-r)!}{\prod_{i \ge 1}m_i(\lambda)!}\det (\lambda'_{a_i -i+j}-i+1)_{i\le i,j \le r}.
\]
(�s��$(h_{\mu_i-i+j})$�̍s�񎮂��$1$�s�œW�J����
\[
s_\mu = \sum_{i=1}^r (-1)^{i-1}h_{a_i-i+1}s_{\mu^{(i)}}
\]
�𓾂�.������$\mu^{(i)} = (a_1+1,\ldots,a_{i-1}+1,a_{i+1},\ldots,a_r,1^m)$�ł���.
������
\[
K_{\lambda \mu}^{(-1)} = \sum (-1)^{i-1} K_{\lambda-(a_i -i +1),\mu^{(i)}}^{(-1)}
\]
���]��.
�����Řa��$a_i-i+1$��$\lambda$�̕����ƂȂ�悤�ȑS�Ă̐���$i=1, 2, \ldots, r$�ɂ킽��,
$\lambda-(a_i-i+1)$�͂��̕����������ē����镪����\��.
���_�̎���$r$�Ɋւ���A�[�@�ɂ��ؖ������.
�A�[�@�̎n�܂�$r=1$�̏ꍇ�͐��(b)�̎��ł���.)

\noindent
(d)
$\mu$�𒷂�$l$�̕����Ƃ���.
�s��$\det (h_{\mu_i -i+j})$��\textbf{�Ō�}�̍s�œW�J����
\[
s_\mu = \sum_{i=1}^l (-1)^{l-i} h_{\mu_i+l-i}s_{\nu^{(i)}}
\]
�𓾂�.
������$\nu^{(i)}=(\mu_1,\ldots,\mu_{i-1},\mu_{i+1}-1,\ldots,\mu_l -1)$�ł���.
�����̕���$\nu^{(i)}$�͑S��$\mu$�Ɋ܂܂�,�cYoung�}�`$\mu-\nu^{(i)}$�͒�����$\mu_i-l+i$�ō�����$l-i$�̔�$(r,1)$ (������1��ƌ����)����n�܂鋫�E��(�܂��̓��{��)�ƂȂ�.
�]����\textbf{���ꋫ�E��}���1�s�ƌ���鋫�E�тƒ�߂��,
\[
\tag{2}
K_{\lambda \mu}^{(-1)}=\sum_S (-1)^{\mathrm{ht}(S)}
\]
�𓾂�.
�����Řa��$r=l(\lambda), 0=\mu^{(0)} \subset \mu^{(1)} \subset \ldots \subset \mu^{(r)}=\mu, \theta_i=\mu^{(i)}-\mu^{(i-1)}$�����ꋫ�E��,
$\theta_i$�̒����S�̂���ёւ����$\lambda$�ɂȂ镪���̗�$S=(\mu^{(0)},\mu^{(1)},\ldots,\mu^{(r)})$�ɂ킽��.
$\mathrm{ht}(S)=\sum_{i=1}^r \mathrm{ht}(\theta_i)$�ƂȂ�.

\noindent
(e)
��̑g�ݍ��킹�_�I��(2)�͈ȉ��̂悤�ɓ���ȏꍇ��$K_{\lambda \mu}^{(-1)}$�̌����𓱂�:
\setlength{\parskip}{-1zw}
\begin{itemize}
 \item[(i)] (���(b)�̂悤��) $\mu=(a,1^m)$����̂Ƃ�, $\theta_i$�͒�����$\lambda_i \ge a$�����, $\theta_2,\ldots,\theta_r$�͐����тƂȂ�.
�]���Ď�(2)�͏��(b)�̌��ʂ𓱂�.
 \item[(ii)] $\mu=(a,1^b)$�̂Ƃ�$K_{(n) \mu}^{(-1)}=(-1)^b$�ł���,���̂ق��̏ꍇ$0$�ł���.
 \item[(iii)] $a > 1$�ɑ΂���$\lambda=(a,1^b)$�̂Ƃ�, $\mu=(1^{a+b})$�Ȃ�$K_{\lambda \mu}^{(-1)}$��$(-1)^{a+1}(b+1)$�ɓ�����,
$\mu=(\alpha, 2^\beta ,1^\gamma) (������\alpha+\beta \le a)$�Ȃ�$(-1)^{a-\alpha}$�ɓ�����.���̂ق��̏ꍇ��$0$�ł���.
 \item[(iv)] $\lambda$��$(r^s)$�̌`�̂Ƃ�, $K_{\lambda \mu}^{(-1)}=0$��$\pm 1$�ł���.�Ȃ��Ȃ�$S$�̑I�ѕ��͍��X$1$�ʂ肾����ł���.
\end{itemize}
\setlength{\parskip}{0zw}

\noindent
5.
\textbf{�h�~�m}�͘A���Ȑ�����,��������s�̒��̘A���������̂��Ƃł���.
$\lambda$��$\mu$��$n$�̕����̂Ƃ�,
�g��$\lambda$�Ō^��$\mu$��\textbf{�h�~�m�^�u���C�h}�Ƃ�,
$\lambda$��Young�}�`�ɒ���$\mu_1,\mu_2,\ldots$�̃h�~�m(���������̃h�~�m�͋�ʂ��Ȃ�)���d�Ȃ�Ȃ��悤�ɕ~���l�߂����̂ł���.
$d_{\lambda \mu}$��g��$\lambda$�Ō^��$\mu$�̃h�~�m�^�u���C�h�̐��Ƃ���.
���̂Ƃ�
\[
M(e,h)_{\lambda \mu}=M(h,e)_{\lambda \mu} = \varepsilon_\mu d_{\lambda \mu}
\]
�𓾂�.������$\varepsilon_\mu=(-1)^{|\mu|-l(\mu)}$�ł���.

(
�Ȃ��Ȃ�
\begin{eqnarray*}
E(t)&=&H(-t)^{-1}=\left( 1-\sum_{i\ge 1}(-1)^{i-1}h_i t^i \right)^{-1} \\
&=&\sum_{r\ge 0}\left( \sum_{i\ge 1}(-1)^{i-1}h_u t^i \right)^r
\end{eqnarray*}
�ł��邩��,�e����$n \ge 0$�ɑ΂���
\[
e_n = \sum_\alpha \varepsilon_\alpha h_\alpha
\]
���]��.
�����Řa��$\sum \alpha_i = n$�ƂȂ鐳�����̗L����$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$�S�Ăɂ킽��,
$\varepsilon_\alpha=(-1)^{\sum (\alpha_i-1)}$�ł���.
�]���ĔC�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���
\[
e_\lambda=\sum_\beta \varepsilon_\beta h_\beta
\]
�𓾂�.
�����Řa��, $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$�ɂȂ�A�������u���b�N�ɕ������邱�Ƃ��ł��鐳�����̗�$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_s)$�S�Ăɂ킽��.
���̂悤�Ȑ���͘g��$\lambda$�̃h�~�m�^�u���C�h��1��1�ɑΉ�����.)

������$\mu \le_R \lambda$�łȂ�����$M(e,h)_{\lambda \mu}=0$�ł���,
$M(e,h)_{\lambda \lambda}=\varepsilon_\lambda$�ł��邱�Ƃ��]��.
���̂悤�ɍs��$M(e,h)\varepsilon$�͔񕉐�������Ȃ鋷�`�P�ʏ�O�p�s��ł���.

\noindent
6.
(6.6)(v)���J�ڍs��$M(f,m)$��$M(e,h)$�̓]�u�s��ł��邩��,��5���u�Y���ꂽ�v�Ώ̊֐�$f_\lambda$��
\[
f_\lambda = \varepsilon_\lambda \sum_{\mu} d_{\mu \lambda} m_\mu
\]
�ɂ���ė^������.
�����$\varepsilon_\lambda f_\lambda$�͌^��$\lambda$�̃h�~�m�^�u���C�h�̕�֐��ł���.
����:

\noindent
(a)
$n$�̕���$\mu$�ɑ΂��Ęg��$\mu$�Ō^��$(1^n)$�̃h�~�m�^�u���C�h�͂���1�Ȃ̂�,
$f_{(1^n)}=\sum m_\mu =h_n$�ł���.

\noindent
(b)
$r\ge 2$�Ƃ���$\lambda=(r1^{n-r})$�̂Ƃ�
\[
f_\lambda =(-1)^{r-1}\sum_{\mu}c_\mu m_\mu
\]
�����藧��.
������$c_\mu = \mu'_r + \mu'_{r+1}+\ldots$�ł���.
�Ȃ��Ȃ�g��$\mu$�Ō^��$(r1^{n-r})$�̃h�~�m�^�u���C�h�͒���$r$��1�̃h�~�m�̈ʒu�ɂ�茈�肳���.
����͒���$\mu_i \ge r$��$\mu$�̔C�ӂ̗�ɓ��邱�Ƃ��ł���,
���̗�ɂ�����$\mu_i-r+1$�ʂ�̓����������.
�]����$c_\mu=\sum_{\mu_i-r}(\mu_i-r+1)=\sum_{i\ge r}\mu'_i$�ƂȂ�.

\noindent
7.
�g��$\mu$�Ō^��$\lambda$��\textbf{�h�~�m��}�Ƃ�,
$\mu$��Young�}�`�̔����e�񂪑�������悤��,
�����Ċe$i\ge 1$�ɑ΂���$i$�Ɣԍ��t����ꂽ��������$\lambda_i$�̃h�~�m(��5)������悤�ɔԍ��t���������̂ł���.
���̒�`�ɂ��, (6.9)�͎��̂悤�Ɍ�����������:
�g��$\mu$�Ō^��$\lambda$�̃h�~�m�Ղ̐���$L_{\lambda \mu}$�ɓ�����.
(���̂悤�ȃh�~�m�Ղ�, $i$�Ɣԍ��t����ꂽ����$\mu$��$j$��ڂɓ����Ă���Ƃ�$f(i)=j$�ƂȂ郋�[���ɂ����$f(\lambda)=\mu$�ƂȂ�ʑ�
$f:[1,l(\lambda)] \rightarrow [1,l(\mu)]$���߂�.
�t�ɂ��̂悤�Ȏʑ��͘g��$\mu$,�^��$\lambda$�ł���, $f(i)$���$\lambda_i$��$i$�Ɣԍ��t����ꂽ��������h�~�m�Ղ��߂�.)

\noindent
8.
�h�~�m�^�u���C�h(��5)��\textbf{�E�F�C�g}�͘A������s��1�ԍ��̃h�~�m�̒����̐ςɂ���Ē�`�����.
$w_{\lambda \mu}$��g��$\lambda$�Ō^��$\mu$�̑S�Ẵh�~�m�^�u���C�h�̃E�F�C�g�̘a�Ƃ���.
���̂Ƃ�
\[
\tag{1}
M(p,h)_{\lambda \mu}= \varepsilon_\lambda \varepsilon_\mu w_{\lambda \mu}
\]
�ƂȂ�.
(�Ȃ��Ȃ�
\begin{eqnarray*}
P(t)&=&H'(t)H(t)^{-1}\\
&=&\sum_{i \ge 0}(-1)^i \left( \sum_{r \ge 1} h_rt^r \right)^i \left( \sum_{r \ge 1}rh_r t^{r-1} \right)
\end{eqnarray*}
���,����$n\ \ge 1$�ɑ΂���
\[
p_n=\sum_\alpha (-1)^{l(\alpha)-1}\alpha_1 h_\alpha
\]
���]��.
�����Řa��$\sum \alpha_i = n$�Ȃ鐳�����̗L����$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$�S�Ăɂ킽��,
$l(\alpha)$�͐���̒���$r$�ł���.
�]���ĔC�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���
\[
p_\lambda = \sum_\beta (-1)^{l(\beta)-l(\lambda)}u_\beta h_\beta
\]
�����藧��.
�����Řa��, �a��$\lambda_1,\lambda_2,\ldots$�ƂȂ�A�������u���b�N$(\beta_1,\ldots,\beta_{i_1})$,
$(\beta_{i_{1}+1},\ldots,\beta_{i_2})$,
$\ldots$�ɕ����ł��鐳�����̗�
$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_s)$�S�Ăɂ킽��.
�܂�$u_\beta$�͊e�u���b�N�̍ŏ��̍��̐�$\beta_1 \beta_{i_1+1} \beta_{i_2+1}\cdots$�ł���.
��5�̂悤��,���̂悤�Ȑ���͘g��$\lambda$�Ń^�u���C�h�̃E�F�C�g��$u_\beta$�̃h�~�m�^�u���C�h��1��1�ɑΉ�����.)

(1)��(6.11)���$M(p,e)_{\lambda \mu}=\varepsilon_\mu w_{\lambda \mu}, M(f,p)_{\lambda \mu}=\varepsilon_\lambda z_\mu^{-1}w_{\lambda \mu}$,
������$M(m,p)_{\lambda \mu}=\varepsilon_\lambda \varepsilon_\mu z_\mu^{-1}w_{\lambda \mu}$�ƂȂ�.
�]����
\[
\varepsilon_\lambda = \sum_\mu z_\mu^{-1} w_{\lambda \mu} p_\mu
\]
�͐��L���W���p�a�������ł���.
�܂�$\varepsilon L^{-1}\varepsilon z$��$(\lambda,\mu)$������$w_{\mu \lambda}$�̔񕉐�������Ȃ�s��ł���.

\noindent
9.
(6.11)���$M(h,m)=L'z^{-1}L$�����$M(m,f)=L^{-1}\varepsilon L$�𓾂�.
�\1�Ɣ�r����ƍs��$K$��$L$��
\[
K'K=L'z^{-1}L, \qquad K^{-1}JK=L^{-1}\varepsilon L
\]
�ɂ���Ċ֌W�t�����邱�Ƃ��킩��.
�]���čs��$X=LK^{-1}=M(p,s)$��
\[
XX'=z, \qquad X^{-1}\varepsilon X=J
\]
�𖞂���.

\noindent
10.
����$\mu$�ɑ΂���
\[
u_\mu=\prod_{i \ge 1}m_i(\mu)!
\]
�Ƃ�,
$u$��Ίp�s��($u_\mu$)�Ƃ���.
���̂Ƃ��s��$LU^{-1}$�͔񕉐�������Ȃ鋷�`�P�ʉ��O�p�s��ł���.

($\lambda, \mu$��$n$�̕����Ƃ�, $E_{\lambda \mu}$��$f(\lambda)=\mu$�Ȃ�ʑ�$f:[1,l(\lambda)] \rightarrow [1,l(\mu)]$�̏W���Ƃ����,
(6.9)���$L_{\lambda \mu}=|E_{\lambda \mu}|$�𓾂�.
�܂�$S^{\mu}=\prod S_{m_i(\mu)}$��$\mu$���Œ肷��$S_{l(\mu)}$�̕����Q�Ƃ���.
$f \in E_{\lambda \mu}$����$w \in S^{\mu}$�̂Ƃ����炩��$wf \in E_{\lambda \mu}$�ł���,
�����$S^{\mu}$��$E_{\lambda \mu}$�ɒ����ɍ�p����.
�]����$L_{\lambda \mu}=|E_{\lambda \mu}|$��$|S^\mu|=u_\mu$�Ŋ���؂��.
�Ō��$\lambda=\mu$�̂Ƃ�$E_{\mu \mu}=S^\mu$�ł���,������$L_{\mu \mu}=u_\mu$�ł���.)

�s��$Lu^{-1}$�͙p�a�ςƁu�g���v���m�~�A���Ώ̊֐�$\tilde{m}_\mu =u_\mu m_\mu$�̊Ԃ̑J�ڍs��$M(p,\tilde{m})$�ł���.
\[
\tilde{m}_\mu=\sum x^{\mu_1}_{i_1}\ldots x_{i_l}^{\mu_l}
\]
�ł���.
������$l=l(\mu)$�ł���,�a�݂͌��ɈقȂ鐳�����̑g$(i_1,\ldots,i_l)$�S�Ăɂ킽��.
$Lu^{-1}$�͒P�ʎO�p�ł��邩��,
$(\tilde{m}_\mu)$��$\Lambda$�̕�����$\mathbb{Z}[p_1,p_2,\ldots]$��$\mathbb{Z}$-���ł���.

\noindent
11.
$\lambda =(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$��$n$�̕����Ƃ���.
\[
m_\lambda = \sum_\alpha s_\alpha
\]
������.
�����Řa��$\lambda$�̐�������ёւ�������$\alpha$�S�Ăɂ킽��.
($m_\lambda(x_1,\ldots,x_n)=\sum x^\alpha$��$\alpha_\delta(x_1,\ldots,x_n)$���|����.)
�]����$K_{\lambda \mu}^{(-1)}=r-s$�ƂȂ�.
������$r$ (�Ȃ�т� $s$)��$\lambda$�̕��ёւ�$\alpha$��$s_\alpha=s_\mu $(�Ȃ�т� $-s_\mu$)�ƂȂ���̂̐��ł���.

\subsection*{���Ӌy�юQ�l����}
\noindent
�\1��(6.6)�Ɋ܂܂���X�̑J�ڍs��̊Ԃ̊֌W��Kostka [K16]�ɂ����̂ł���.
�ނ͂܂��s��$K_n$�����$K_n^{-1}$��$n=11$�܂Ōv�Z���� [K17].
Foulkes [F7]���Q�Ƃ���.
��4(a), (b), (c)��[K17]��, (d)��(e)��[E1]�����p����.
��5$-$8�̌��ʂ�E$\tilde{\text{g}}$ecio$\tilde{\text{g}}$lu��Remmel [E2]�ɂ����̂ł���.
[D6]���Q�Ƃ���.


\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|ccc}
\cline{1-3}\cline{5-8}\cline{10-15}
 & 2 & $1^2$ &  & \multicolumn{1}{|c||}{} & \multicolumn{1}{c|}{3} & 21 & $1^3$ &  & \multicolumn{1}{|c||}{} & \multicolumn{1}{c|}{4} & 31 & \multicolumn{1}{|c|}{$2^2$} & \multicolumn{1}{c|}{$21^2$} & \multicolumn{1}{c|}{$1^4$} \\
\cline{1-3}\cline{5-8}\cline{10-15}
2 & 1 & 1 &  & \multicolumn{1}{|c||}{3} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 1 &  & \multicolumn{1}{|c||}{4} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & \multicolumn{1}{|c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} \\
\cline{1-3}\cline{5-8}\cline{10-15}
$1^2$ &  & 1 &  & \multicolumn{1}{|c||}{21} & \multicolumn{1}{c|}{} & 1 & 2 &  & \multicolumn{1}{|c||}{31} & \multicolumn{1}{c|}{} & 1 & \multicolumn{1}{|c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{2} & \multicolumn{1}{c|}{3} \\
\cline{1-3}\cline{5-8}\cline{10-15}
\multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c||}{$1^3$} & \multicolumn{1}{c|}{} &  & 1 &  & \multicolumn{1}{|c||}{$2^2$} & \multicolumn{1}{c|}{} &  & \multicolumn{1}{|c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{2} \\
\cline{5-8}\cline{10-15}
\multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c||}{$21^2$} & \multicolumn{1}{c|}{} &  & \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{3} \\
\cline{1-8}\cline{10-15}
 & 5 & 41 & 32 & 3$1^2$ & $2^2$1 & 2$1^3$ & $1^5$ &  & \multicolumn{1}{|c||}{$1^4$} & \multicolumn{1}{c|}{} &  & \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} \\
\cline{1-8}\cline{10-15}
5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
41 &  & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
32 &  &  & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
3$1^2$ &  &  &  & 1 & 1 & 3 & 6 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
$2^2$1 &  &  &  &  & 1 & 2 & 5 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
2$1^3$ &  &  &  &  &  & 1 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
$1^5$ &  &  &  &  &  &  & 1 & \multicolumn{1}{|c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-8}
\multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  \\
\cline{1-12}
 & 6 & 51 & 42 & 4$1^2$ & $3^2$ & 321 & 3$1^3$ & $2^3$ & $2^21^2$ & 2$1^4$ & $1^6$ &  &  &  \\
\cline{1-12}
6 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  &  &  \\
\cline{1-12}
51 &  & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 &  &  &  \\
\cline{1-12}
42 &  &  & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 6 & 9 &  &  &  \\
\cline{1-12}
4$1^2$ &  &  &  & 1 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 & 10 &  &  &  \\
\cline{1-12}
$3^2$ &  &  &  &  & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 &  &  &  \\
\cline{1-12}
321 &  &  &  &  &  & 1 & 2 & 2 & 4 & 8 & 16 &  &  &  \\
\cline{1-12}
3$1^3$ &  &  &  &  &  &  & 1 & 0 & 1 & 4 & 10 &  &  &  \\
\cline{1-12}
$2^3$ &  &  &  &  &  &  &  & 1 & 1 & 2 & 5 &  &  &  \\
\cline{1-12}
$2^21^2$ &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 & 3 & 9 &  &  &  \\
\cline{1-12}
2$1^4$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 & 5 &  &  &  \\
\cline{1-12}
$1^6$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  &  &  \\
\cline{1-12}
\end{tabular}
\end{table}

\end{document}