\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{jsbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts,amssymb,mathrsfs}
\renewcommand{\proofname}{\bf �ؖ�}
\textwidth 40zw
\begin{document}
\setcounter{chapter}{1}
\setcounter{section}{1}
\section{�Ώ̊֐���}

$n$�̓Ɨ��ϐ�$x_1,\ldots,x_n$����Ȃ�L�������W���̑�������$\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$���l����.
�Ώ̌Q$S_n$�͂��̊ɕϐ��̒u���Ƃ��č�p��,���鑽������\textbf{�Ώ�}�ł���Ƃ�,���̑����������̍�p�Ɋւ��ĕs�ςȂƂ�������.
�Ώ̑������͕�����
\begin{equation*}
\Lambda_n = \mathbb{Z} [x_1,\ldots,x_n]^{S_n}
\end{equation*}
���Ȃ�.
$\Lambda_n$�͎����t���ł���:
\[
\Lambda_n = \bigoplus _{k\geq 0}\Lambda^k_n
\]
������$\Lambda^k_n$�͗둽�������܂�$k$�������Ώ̑������S�̂ł���.

�e$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in \mathbb{N}^n$�ɑ΂���,�P����$x^{\alpha}$��
\[
x^{\alpha}=x^{\alpha_1}_1 \ldots x^{\alpha_n}_n
\]
�ƒ�߂�.
$\lambda$ �𒷂�$n$�ȉ��̔C�ӂ̕����Ƃ���.
$\lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$�̈قȂ�u��$\alpha$�����ׂđ������킹��������
\[
\tag{2.1} m_{\lambda} (x_1,\ldots,x_n)= \sum x^{\alpha}
\]
�͖��炩�ɑΏ̑�������,
$m_{\lambda}$($\lambda$�͒���$n$�ȉ��̂��ׂĂ̕����𓮂�)��$\Lambda ^k_n$��$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�.

�Ώ̊֐��̗��_�ł�,�ϐ��̐����\���傫����΂��̐��͏d�v�ł͂Ȃ�,�����̕ϐ��̑Ώ̊֐��������������֗��ł���.
���̃A�C�f�A�����������邽�߂�,
$m \geq n$ �Ƃ���,
$x_{n+1},\ldots,x_{m}$��$0$�Ɏʂ�,�����ȊO��$x_i$���P���I�Ɏʂ������^�ʑ�
\[
\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_m] \rightarrow \mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]
\]
���l����.
�����$\Lambda_m$�ւ̐����͏����^�ʑ�
\[
\rho_{m,n} : \Lambda_m \rightarrow \Lambda_n
\]
��^����.���̏����^�� $m_{\lambda } (x_1,\ldots,x_m)$ �� $l(\lambda ) \leq n$�ł���� $m_{ \lambda }(x_1,\ldots,x_n)$ ��,
$l(\lambda ) > n$�ł����$0$�Ɏʂ�.
�����$\rho_{m,n}$�͑S�˂ł���.
$\Lambda ^k_m$�֐�������Ƃ��ׂĂ�$k \geq 0$��$m \geq n$�ɑ΂��ď����^�ʑ�
\[
\rho^k_{m,n} : \Lambda ^k_m \rightarrow \Lambda ^k_n
\]
��������.����͏�ɑS�˂�,
$m \geq n \geq k$�̂Ƃ��͑S�P�˂ł���.

�����^�ʑ�$\rho ^k_{m,n}$�Ɋւ���$\mathbb{Z}$-���Q$\Lambda ^k_n$�̎ˉe�Ɍ�
\[
\Lambda^k= \lim_{\xleftarrow[n]{}} \Lambda ^k_n
\]
���\�Ȃ���.
$\Lambda ^k$�̌��͑Q����$f=(f_n)_{n \geq 0}$�Œ�`�����.
������$f_n=f_n(x_1,\ldots,x_n)$�͕ϐ�$x_1,\ldots,x_n$��$k$�������Ώ̑�������,
$m \geq n$�̂Ƃ�$f_m(x_1,\ldots,x_n,0,\ldots,0)=f_n(x_1,\ldots,x_n)$�ł���.
$\rho ^k_{m,n}$��$m \geq n \geq k$�ɑ΂��Ă͓��^�ʑ��Ȃ̂�,���ׂĂ�$n \geq k$�ɑ΂���,
$f$��$f_n$�Ɏʂ��ˉe
\[
\rho ^k_{n} : \Lambda ^k \rightarrow \Lambda ^k_n
\]
�͓��^�ʑ��ƂȂ�.
����������$\Lambda ^k$��$n \geq k$�ɑ΂���
\[
\rho ^k_n(m_\lambda ) = m_\lambda (x_1,\ldots,x_n)
\]
�ɂ���Ē�`�����\textbf{���m�~�A���Ώ̊֐�$m_{\lambda} $} ($\lambda $��$k$�̔C�ӂ̕���)����Ȃ�$\mathbb{Z}$-��������.
�����$\Lambda ^k$�̓����N��$k$�̕����̐�$ p(k) $�ł��鎩�R$\mathbb{Z}$-���Q�ł���.

������
\[
\Lambda = \bigoplus _{k \geq 0} \Lambda^k
\]
�Ƃ����,
$\Lambda$�͔C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���$m_\lambda$�Ő�������鎩�R$\mathbb{Z}$-���Q�ł���.
���̂Ƃ��e$n \geq 0$�ɑ΂���
\[
\rho _n = \bigoplus _{k \geq 0} \rho ^k_n : \Lambda \rightarrow \Lambda _n
\]
�Ȃ�S�ˏ����^�ʑ��𓾂�.������$\rho _n$�͎���$k \leq n$�ɂ����Ă͓��^�ʑ��ł���.

���炩��$\Lambda$��$\rho_n$�����������^�ʑ��ƂȂ�悤�Ȏ����t�����\�Ȃ���.
���̂悤�ɂ��Ē�`����鎟���t����$\Lambda$���Z�̓Ɨ��ϐ�$x_1,x_2,\ldots$��\textbf{�Ώ̊֐���}
\footnote{$\Lambda$�̌��͂��͂⑽�����ł͂Ȃ�,�P�����̌`���I�����a�ł���.����ĉ�X�́u�Ώ̊֐��v�̌Â��p�@�ɗ����߂���.}
�ƌĂ�.
\\
\\
\textbf{��.}
1. $\Lambda$�͏����^�ʑ�$\rho_{m,n}$�Ɋւ����$\Lambda_n$��(�̌����)�ˉe�Ɍ��ł͂Ȃ�.
���̎ˉe�Ɍ�$\hat{\Lambda}$�͗Ⴆ�Ζ�����$\prod^{\infty }_{i=1} (1+x_i)$���܂�ł���.
$\Lambda$�̌��̓��m�~�A���Ώ̊֐�$m_{\lambda}$�̗L���a�Œ�`����邩��,�����$\Lambda$�ɑ����Ă��Ȃ�.
������$\Lambda$�͎����t���̌��ɂ�����$\Lambda_n$�̎ˉe�Ɍ��ł���.
\\
2. ��X�͌W���Ƃ���$\mathbb{Z}$�̑���ɔC�ӂ̉���$A$��p���邱�Ƃ��ł���.
���̂Ƃ�
$\Lambda$�̑����$\Lambda_A \cong \Lambda \otimes_{\mathbb{Z}} A$�𓾂�.
\\
\\
\textbf{��{�Ώ̊֐�}

����$r \geq 0$�ɑ΂���$r$��\textbf{��{�Ώ̊֐�} $e_r$�Ƃ�,
$r$�̑��قȂ�ϐ�$x_i$�̑S�Ă̐ς̘a�ł���.
����������$e_0 = 1$��,
$r \geq 1$�ɑ΂���
\[
e_r = \sum_{i_1<i_2<\ldots<i_r} x_{i_1} x_{i_2} \ldots x_{i_r} = m_{(1^r)}
\]
�ł���.
$e_r$�̕�֐���
\[
\tag{2.2} E(t) = \sum_{r \geq 0} e_r t^r = \prod _{i \geq 1} (1+x_i t)
\]
�ł���.
������$t$�͑��̕ϐ��ł���.���̂��Ƃ͉E�ӂ�W�J����΂킩��ł��낤.
(�ϐ��̐�$n$���L���̂Ƃ�,
$e_r$
(����$\rho_n(e_r)$
)��$r>n$�ɑ΂���$0$�ł���.������(2.2)��
\[
\sum^n_{r \geq 0}e_r t^r = \prod^n_{i \geq 1} (1+x_i t)
\]
�ƂȂ�,���ӂ�$\Lambda _n[t]$�̌��ł���.
�����悤�Ȓ��ӂ���̌����ɂ��K�p��,�K�v��(�����Ď�����)�����͓ǎ҂ɔC���邱�ƂƂ���.)
\\
\\
����$\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$�ɑ΂���
\[
e_{\lambda} = e_{\lambda_1} e_{\lambda_2}\ldots
\]
�ƒ�`����.
\\
\\
(2.3) $\lambda$�𕪊�,
$\lambda '$�����̋����Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
e_{\lambda '} = m_{\lambda}+\sum_{\mu}a_{\lambda \mu}m_{\mu}
\]
�����藧��.������$a_{\lambda \mu}$�͔񕉐����ł���,�a�͎��R�����ł̕���$\mu < \lambda$��ɂ킽��.

\begin{proof}
$e_{\lambda '} = e_{\lambda_1 '} e_{\lambda_2 '} \ldots$��W�J����ƒP�����̘a�𓾂�.���ꂼ���
\[
(x_{i_1} x_{i_2}\ldots)(x_{j_1} x_{j_2}\ldots)\ldots = x^{\alpha}
\]
�̂悤�Ȍ`�����Ă���.������$i_1 < i_2 < \ldots < i_{\lambda_1 '}$,
$j_1 < j_2 < \ldots < j_{\lambda_2 '}$���ł���.
$\lambda$��Young�}�`��1�s�ڂ�$i_1,i_2,\ldots,i_{\lambda_1 '}$�����Ԃɓ���Ă���,
2�s�ڂ�$j_1,j_2,\ldots,j_{\lambda_2 '}$�����Ԃɓ���Ă���,�Ƃ��Ă�����
,���炩�Ɋe$r \geq 1$�ɑ΂��ēY������$r$�ȉ��̂��̂�$\lambda$��Young�}�`�̐擪����$r$��ڂ܂łɕ\���.
�]���Ċe$r \geq 1$�ɑ΂���$\alpha_1+\ldots+\alpha_r \leq \lambda_1+\ldots+\lambda_r$�ł���.����$\alpha \leq \lambda$�𓾂�.
(1.12)���
\[
e_{\lambda '} = \sum_{\mu \leq \lambda } a_{\lambda \mu } m_{\mu }
\]
��,�e$ \mu \geq \lambda $�ɑ΂���$a_{\lambda \mu } \geq 0$�ƂȂ邱�Ƃ��]��.
����ɏ�̎咣�͒P����$x^{\lambda}$�����傤��1�񌻂�邱�Ƃ������Ă���̂�,
$a_{\lambda \lambda}=1$�ł���.
\end{proof}
\noindent
(2.4) 
\[
\Lambda = \mathbb{Z}[e_1,e_2,\ldots]
\]
�ł���,
$e_r$��$\mathbb{Z}$��㐔�I�Ɨ��ł���.

\begin{proof}
$m_{\lambda}$��$\Lambda$��$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�,
(2.3)���$e_{\lambda}$�͑���$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�:
�����������$\Lambda$�̑S�Ă̌���$e_r$�̑������Ƃ��Ĉ�ӂɕ\�����.
\end{proof}

\noindent
\textbf{��.}�@
�L���̕ϐ�$x_1,\ldots,x_n$�̂Ƃ�,
(2.4)��$\Lambda_n = \mathbb{Z}[e_1,\ldots,e_n]$�ł���,
$e_1,\ldots,e_n$�͑㐔�I�Ɨ��ł���Ƃ������Ƃ��q�ׂĂ���.
����́u�Ώ̊֐��̊�{�藝�v�̎咣�ł���.
\\
\\
\textbf{���S�Ώ̊֐�}

\noindent
$r \geq 0$�ɑ΂���$r$��\textbf{���S�Ώ̊֐�$h_r$}�Ƃ�,�ϐ�$x_1,x_2,\ldots$�̎����̑��a��$r$�̒P�����S�Ă̘a�ł���.����
\[
h_r=\sum_{|\lambda |=r}m_{\lambda}
\]
����$h_0=1$������$h_1=e_1$�ł���.
$r<0$�ɑ΂��Ă�$h_r$��$e_r$��0�ƒ�`����.

$h_r$�̕�֐���
\[
\tag{2.5} H(t)=\sum_{r \geq 0}h_r t^r = \prod_{i \geq 1}(1-x_i t)^{-1}
\]
�ł���.
���̂��Ƃ�
\[
(1-x_i t)^{-1} = \sum_{k \geq 0}x^k_i t^k
\]
�ɒ��ӂ���,���̓��䋉�����|����΂킩��.
\\

(2.2)��(2.5)���C�ӂ�$n \geq 1$�ɑ΂���
\[
\tag{2.6} H(t)E(-t)=1
\]
�܂���
\[
\tag{2.6$'$} \sum^n_{r=0}(-1)^r e_r h_{n-r}=0
\]
�𓾂�.

(2.4)���$e_r$�͑㐔�I�Ɨ��ł��邩��,�C�ӂ�$r \geq 0$�ɑ΂���
�����t���̏����^�ʑ�
\[
\omega:\Lambda \rightarrow \Lambda
\]
��
\[
\omega (e_r)=h_r
\]
�ɂ���Ē�`���邱�Ƃ��ł���.
(2.6$'$)�ɂ�����$e$��$h$�̑Ώ̐��͎��̂��Ƃ������Ă���.

\noindent
(2.7) $\omega$�͑΍�,����$\omega^2$�͍P���ʑ��ł���.

������$\omega$��$\Lambda$�̎��ȓ��^�ʑ��ł��邱�Ƃ��]��.����������(2.4)
��莟�̂��Ƃ𓾂�.

\noindent
(2.8)
\[
\Lambda = \mathbb{Z}[h_1,h_2,\ldots]
\]
�ł���,
$h_r$��$\mathbb{Z}$��㐔�I�Ɨ��ł���.
\\

\noindent
\textbf{��.}�@
�ϐ��̐����L����$n$�̂Ƃ�(�܂�$r>n$�ɑ΂���$e_r=0$),
$1 \leq r \leq n$�ɑ΂���
�ʑ�$\omega:\Lambda_n \rightarrow \Lambda_n$��
$\omega(e_r)=h_r$�ɂ���Ē�`����,
(2.6$'$)�̗��R����΍��ł���.
������$h_1,\ldots,h_n$�͑㐔�I�Ɨ���$\Lambda_n=\mathbb{Z}[h_1,\ldots,h_n]$�ł���,
$h_{n+1},h_{n+2},\ldots$��$h_1,h_2,\ldots$
(�܂���$e_1,e_2,\ldots$)��0�łȂ��������ł���.
\\

$e$�̏ꍇ�Ɠ����悤��,�C�ӂ̕���$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$�ɑ΂���
\[
h_\lambda = h_{\lambda_1}h_{\lambda_2}\ldots
\]
�ƒ�`����.
(2.8)���$h_\lambda$��$\Lambda$��$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�.
����X�͕����ɂ���ēY�����t����ꂽ3��$\mathbb{Z}$-���$m_\lambda,e_\lambda,h_\lambda$��,�Ō��2�͑΍�$\omega$�̉��őΉ����Ă���.
�e$\lambda$�ɑ΂���
\[
f_{\lambda}=\omega (m_\lambda)
\]
�ƒ�`�����,
$f_\lambda$��$\Lambda$��4�ڂ�$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�.
($f_\lambda$�͑Ώ̊֐��ł���Ƃ������Ƃ��u�Y��āv����,���ɊȒP�ȕ\���͂Ȃ�.)
\\

(2.6$'$)�̊֌W�͌�ɗp����s�񎮂̓����𓱂�.
$N$�𐳐����Ƃ�,�s�Ɨ�̐���$N+1$�̍s��
\[
H=(h_{i-j})_{0 \leq i,j\leq N},\quad E=\Bigl((-1)^{i-j}e_{i-j}\Bigr)_{0 \leq i,j\leq N}
\]
���l����.�����őO�ɏq�ׂ��񑩒ʂ�$r<0$�ɑ΂���$e_r=h_r=0$�Ƃ���.
$H$��$E$�͂ǂ�����Ίp������1�����񂾉��O�p�s��ł��邩��$\det H = \det E = 1$�ł���.
�����(2.6$'$)�͂���炪�݂��ɋt�s��ł��邱�Ƃ������Ă���.
������$H$�̏��s���$E$�̓]�u�s��$E'$�̗]���q�s��ɓ��������Ƃ��]��.

$\lambda$,
$\mu$�𒷂���$p$�ȉ���,
$\lambda '$,
$\mu '$�̒�����$q$�ȉ���2�̕����Ƃ���.
������$p+q=N+1$�ł���.
��̓Y������$\lambda_i + p - i\ (1 \leq i \leq p)$,�s�̓Y������$\mu_i +p-i\ (1 \leq i \leq p)$�ł���$H$�̏��s����l����.
(1.7)���$E'$�̗]���q�s��͗�̓Y������$p-1+j-\lambda_j '\ (1 \leq j \leq q)$,�s�̓Y������$p-1+j-\mu_j '\ (1 \leq j \leq q)$�ƂȂ�.
�]����
\[
\det \left( h_{\lambda_i - \mu_j -i+j} \right)_{1 \leq i,j \leq p}=(-1)^{|\lambda |+|\mu |} \det \left((-1)^{\lambda_i '-\mu_j ' -i+j}e_{\lambda_i '-\mu_i ' -i+j}\right)_{1 \leq i,j \leq q}
\]
�ƂȂ�.���̕����̓L�����Z�����ď�����̂ł𓾂�
(Aitken [A1]).
\[
\tag{2.9} \det \left(h_{\lambda_i - \mu_j -i+j}\right)_{1 \leq i,j \leq p}=\det \left(e_{\lambda_i '-\mu_j ' -i+j}\right)_{1 \leq i,j \leq q}
\]

����$\mu=0$�Ƃ����
\[
\tag{2.9'} \det \left(h_{\lambda_i  -i+j}\right)=\det \left(e_{\lambda_i ' -i+j}\right)
\]
�ƂȂ�.
\\
\\
\textbf{�p�a�Ώ̊֐�}
\noindent
�e$r \geq 1$�ɑ΂���$r$��\textbf{�p�a�Ώ̊֐�}�Ƃ�
\[
p_r=\sum x^r_i=m_{(r)}
\]
�ł���.
$p_r$�̕�֐���
\begin{eqnarray*}
 P(t) &=& \sum_{r \geq 1}p_r t^{r-1}=\sum_{i \geq 1} \sum_{r \geq 1} x^r_i t^{r-1}\\
 &=& \sum_{i \geq 1} \frac{x_i}{1-x_i t}\\
 &=&\sum_{i \geq 1}\dfrac{d}{dt}\log \frac{1}{1-x_i t}
\end{eqnarray*}
�ł���.�����
\[
\tag{2.10} P(t)=\dfrac{d}{dt} \log \prod_{i \geq 1} (1-x_i t)^{-1} = \dfrac{d}{dt} \log H(t) = H'(t)/H(t)
\]
�����藧��.
���l��
\[
\tag{2.10'} P(-t) = \dfrac{d}{dt} \log E(t) = E'(t)/E(t)
\]
�����藧��.

(2.10)��(2.10$'$)���,
$n\geq 1$�ɑ΂���
\[
\tag{2.11} n h_n =\sum^n _{r=1} p_r h_{n-r}
\]
\[
\tag{2.11$'$} n e_n = \sum^n _{r=1} (-1)^{r-1}p_r e_{n-r}
\]
�𓾂�.�����̓�����$h$��$e$��$p$�̍��ŕ\��������̂ł���,�t���܂����l�ł���.
(2.11$'$)�̓�����Issac Newton�ɂ����̂ł���, Newton�̌����Ƃ��Ēm���Ă���.
(2.11)��薾�炩��$h_n \in \mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n]$,
$p_n \in \mathbb{Z}[h_1,\ldots,h_n]$�ł���,�]����
\[
\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n]=\mathbb{Z}[h_1,\ldots,h_n]
\]
�ł���.
$h_r$��$\mathbb{Z}$��㐔�I�Ɨ��ł��邩��$\mathbb{Q}$��㐔�I�Ɨ��ł���,�����莟�̂��Ƃ��]��.
\\
\\
(2.12)
\[
\Lambda_{\mathbb{Q}}=\Lambda \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[p_1,p_2,\ldots]
\]
�ł���,
$p_r$��$\mathbb{Q}$��㐔�I�Ɨ��ł���.
\\

�]����,����$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$�ɑ΂���
\[
p_\lambda = p_{\lambda_1}p_{\lambda_2}\ldots
\]
�ƒ�`�����,
$p_{\lambda}$��$\Lambda_{\mathbb{Q}}$��$\mathbb{Q}$-�����Ȃ�.
������$\Lambda$��$\mathbb{Z}$-���Ƃ�\textbf{�Ȃ�Ȃ�}.
�Ⴆ��$h_2=\frac{1}{2}(p^2_1+p_2)$��$p_\lambda$�̍��ɓW�J�����Ƃ������W���������Ȃ�.
\\

�΍�$\omega$��$E(t)$��$H(t)$����������̂�,
(2.10)�y��(2.10$'$)���,
$n\geq1$�ɑ΂���
\[
\omega(p_n)=(-1)^{n-1}p_n
\]
���]��.�]���ĔC�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���
\[
\tag{2.13} \omega(p_\lambda )= \varepsilon_\lambda p_\lambda
\]
�𓾂�.������$\varepsilon_\lambda = (-1)^{|\lambda|-l(\lambda)}$�ł���.
\\

�Ō��,
$h_n$��$e_n$��$p_\lambda$�̐��^�����ɂ��\�����l����.
�C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���,
\[
z_\lambda = \prod_{i \geq 1} i^{m_i} \cdot m_i !
\]
�ƒ�`����.������$m_i=m_i(\lambda)$��$i$�Ɠ�����$\lambda$�̕����̌��ł���.
���̂Ƃ�
\begin{align*}
\tag{2.14}
&H(t) = \sum_\lambda z^{-1}_\lambda p_\lambda t^{|\lambda|} ,\\
&E(t) = \sum_\lambda \varepsilon_\lambda z^{-1}_\lambda p_\lambda t^{|\lambda|}
\end{align*}
�܂���
\begin{align*}
\tag{2.14$'$}
&h_n = \sum_{|\lambda|=n}z^{-1}_\lambda p_\lambda ,\\
&e_n = \sum_{|\lambda|=n}\varepsilon_\lambda z^{-1}_\lambda p_\lambda
\end{align*}
�ł���.
\begin{proof}
(2.14)�̍ŏ��̓�����������, 2�Ԗڂ͑΍�$\omega$���{����(2.13)��p���邱�Ƃɂ���ď]��.
(2.10)���
\begin{eqnarray*}
H(t) &=& \exp \sum_{r\geq 1}p_r t^r /r\\
 &=& \prod_{r \geq 1}\exp (p_r t^r/r)\\
 &=& \prod_{r\geq1}\sum^{\infty}_{m_r = 0}(p_r t^r)^{m_r}/r^{m_r}\cdot m_r !\\
 &=& \sum_{\lambda}z^{-1}_{\lambda}p_{\lambda}t^{|\lambda|}.
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\noindent
(2.15) \textbf{��.}
$\lambda$-��( [B5], [K13] )�̗p��ł�$\Lambda$�́u1�ϐ����R$\lambda$-�v(��萳�m�ɂ͒�̊�)�ł���.
�]���Ă��̏͂̑S�Ă̌����ⓙ����$\lambda$-�̗p��ɒu�������邱�Ƃ��ł���.
$\lambda$-�̗��_�ɂ��ď������Ƃ���X�̖ړI�ł͂Ȃ��̂�,�ȒP�ɏq�ׂ邱�Ƃɂ���.

$R$��C�ӂ�$\lambda$-�Ƃ�,
$x$��$R$�̔C�ӂ̌��Ƃ����,
$e_1(=h_1=p_1)$��$x$�Ɏʂ�$\lambda$-�����^�ʑ�$\Lambda \rightarrow R$����ӓI�ɑ��݂���.
���̏����^�ʑ��̉���

\begin{tabular}{llll} 
$e_r$  & $\longmapsto$  & $\lambda^r(x)$ & ($r$���O�p��)\\
$h_r$ & & $\sigma^r(x)=(-1)^r\lambda^r(-x)$ & ($r$���p�Ώ̎�)\\
$E(t)$ & &  $\lambda_t (x)$ &  \\
$H(t)$ & & $\sigma_t(x)=\lambda_{-t}(-x)$ &  \\
$p_r$ & & $\psi^r(x)$ &(Adams��p�f)
\end{tabular}

\noindent
�ł���,�΍�$\omega$��$R$�ɂ�����$x \mapsto -x$�ɑΉ�����.
�Ⴆ��(2.14$'$)��$\lambda$-�̔C�ӂ̌�$x$�ɑ΂���
\[
\sigma^n(x)=\sum_{|\lambda|=n}z^{-1}_\lambda \psi^{\lambda}(x)
\]
�ƂȂ�.
(������$\psi^{\lambda}(x)=\psi^{\lambda_1}(x)\psi^{\lambda_2}(x)\ldots$�ł���.�j
\\
\\
\textbf{��}

\noindent
1. (a) $x_1=\ldots=x_n=1, x_{n+1}=x_{n+2}=\ldots=0$�Ƃ���.
���̂Ƃ�$E(t)=(1+t)^n, H(t)=(1-t)^{-n}$�ƂȂ�.�����
\[
e_r=\binom{n}{r},\quad  h_r=\binom{n+r-1}{r}
\]
�ƂȂ�,
$n\geq1$�ɑ΂���$p_r=n$�ƂȂ�.�܂�
\[
m_\lambda=u_\lambda \binom{n}{l(\lambda )}
\]
�ł���.������
\[
u_\lambda=\frac{l(\lambda )!}{\displaystyle \prod_{i\geq1}m_i (\lambda )!}
\]
�ł���.

\noindent
(b) ����ʓI��,
$X$��s�茳�Ƃ���,�C�ӂ�$r\geq1$�ɑ΂��ď����^�ʑ�$\varepsilon_X : \Lambda_{\mathbb{Q}}\rightarrow \mathbb{Q}[X]$��$\varepsilon_X(p_r)=X$�Œ�`����.
���̂Ƃ��C�ӂ�$r\geq1$�ɑ΂���
\[
\varepsilon_X(e_r)=\binom{X}{r},\quad \varepsilon_X(h_r)=\binom{X+r-1}{r}=(-1)^r \binom{-X}{r}
\]
�ƂȂ�,
\[
\varepsilon_X(m_\lambda )=u_\lambda \binom{X}{l(\lambda )}
\]
�ƂȂ�.
�����̌����͏��(a)���$X$��C�ӂ̐�����$n$�ɒu���������Ƃ��ɐ�����.
�]���Ă����͓��l�Ȃ��̂ł���.

\noindent
2. $1\leq i \leq n$�ɑ΂���$x_i=1/n$,
$i > n$�ɑ΂���$x_i=0$�Ƃ�,
$n\rightarrow \infty$�Ƃ���.
��1���
\[
e_r=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^r} \binom{n}{r}=\frac{1}{r!}
\]
�ƂȂ�.���l��$h_r=1/r!$�ƂȂ�.
�]����$E(t)=H(t)=e^t$�ł���.����ʓI��,
$p_1=1$,
$r>1$�ɑ΂���$p_r=0$�Ƃ����,
$\lambda=(1^r)(r\geq0)$�������C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���$m_\lambda =0$�𓾂�.

\noindent
3. $1\leq i \leq n$�ɑ΂���$x_i=q^{i-1}$,
$i>n$�ɑ΂���$x_i=0$�Ƃ���.
������$q$�͕s�茳�ł���.
���̂Ƃ�
\[
E(t)=\prod^{n-1}_{i=0}(1+q^i t) = \sum^n_{r=0}q^{r(r-1)/2}\begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix}t^r
\]
�ƂȂ�.������{\small $\begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix}$}�́u$q$-�񍀌W���v�܂���Gauss������
\[
\begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix}=\frac{(1-q^n)(1-q^{n-1})\ldots(1-q^{n-r+1})}{(1-q)(1-q^2)\ldots(1-q^r)}
\]
���Ӗ�����.
�܂�
\[
H(t)=\prod_{i=0}^{n-1}(1-q^i t)^{-1}=\sum_{r=0}^{\infty}\begin{bmatrix}n+r-1\\r\end{bmatrix}t^r
\]
�ƂȂ�.
�����̓�����$n$�Ɋւ���A�[�@�ŗe�Ղɏؖ��ł���.������
\[
e_r=q^{r(r-1)/2}\begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix},\quad h_r=\begin{bmatrix}n+r-1\\r\end{bmatrix}
\]
���]��.
$h_r$��$l(\lambda)\leq r$����$l(\lambda ')\leq n-1$�Ȃ镪��$\lambda$�̕�֐��ł���,
$e_r$�͂��̂悤�ȕ����őS�Ă̐��������قȂ���̂̕�֐��ł���.

\noindent
4. ��3��$n\to \infty$�Ƃ���.�����C�ӂ�$i \geq 1$�ɑ΂���$x_i=q^{i-1}$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\begin{align*}
E(t) &= \prod_{i=0}^{\infty}(1+q^i t)=\sum_{r=0}^{\infty}q^{r(r-1)/2}t^r/\varphi_r(q)\\
H(t) &= \prod_{i=0}^{\infty}(1-q^i t)^{-1}=\sum_{r=0}^{\infty}t^r/\varphi_r(q)
\end{align*}
�ƂȂ�.������
\[
\varphi_r(q)=(1-q)(1-q^2)\ldots(1-q^r)
\]
�ł���.�]���Ă��̏ꍇ
\[
e_r=q^{r(r-1)/2}/\varphi_r(q),\quad h_r=1/\varphi_r(q)
\]
�ƂȂ�,
$p_r=(1-q^r)^{-1}$
�ƂȂ�.

\noindent
5. $h_r$�͑㐔�I�Ɨ��Ȃ̂ł��������炩�̕��@�œ��ꉻ��,���̕ϐ�$x_i$��Y���.�����������,
$H(t)$(�܂���$E(t)$)��萔����$1$��$t$�̙p�����ɂƂ�.
(��X�͂��łɗ�2�ɂ�����$H(t)=e^t$�Ƃ��邱�Ƃł��̂��Ƃ�����Ă���.)
$a,b,q$��ϐ��Ƃ���,
\[
H(t)=\prod_{i=0}^{\infty} \frac{1-bq^i t}{1-aq^i t}
\]
�Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
h_r=\prod_{i=1}^r \frac{a-bq^{i-1}}{1-q^i},\quad e_r=\prod_{i=1}^r \frac{aq^{i-1}-b}{1-q^i}
\]
�ƂȂ�.
(�Ⴆ��Andrews[A3],��2�͂��Q�Ƃ���)

\noindent
6. $H(t)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-t^n)^{-1}$�Ƃ����,
$h_n=p(n)$,����$n$�̕����̐��ƂȂ�.
���̂Ƃ�$E(-t)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-t^n)$��, Euler�̌܊p���藝���,
$n$���܊p��,����$m \in \mathbb{Z}$�ɑ΂���$\frac{1}{2}m(3m+1)$�̌`�����Ă��Ȃ�����$e_n=0$�ł���.
������$n=\frac{1}{2}m(3m+1)$�̂Ƃ���$e_n=(-1)^{m(m+1)/2}$�ƂȂ�.

(2.10)���$p_r=\sigma(r)$,����$r$�̖񐔂̘a�ƂȂ�.
�]���Ă��̏ꍇ(2.11)��
\[
\tag{1} p(n)=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n \sigma(r)p(n-r)
\]
��^����.

\noindent
7. $H(t)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-t^n)^{-n}$�Ƃ����,
$h_n=p_2(n)$,����$n$�̕��ʕ����̐��ƂȂ�(��5��,��13).
(2.10)���$p_r=\sigma_2(r)$,����$r$�̖񐔂�2��a�ƂȂ�.
�]����(2.11)���
\[
\tag{2} p_2(n)=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n \sigma_2(r)p_2(n-r)
\]
�𓾂�.

(1)��(2)��$m$����$(m>2)$�̕����ւ̈��ՂȈ�ʉ��͌��ł��邱�Ƃ𒍈ӂ��Ă���.

\noindent
8. (2.6$'$)��$e_n$�ɂ��ĉ������Ƃ�
\[
e_n=\det (h_{1-i+j})_{1\leq i,j\leq n}
\]
��,�����
\[
h_n=\det (e_{1-i+j})_{1\leq i,j\leq n}
\]
�𓾂�.
���l��(2.11)����s�񎮂̌���
\begin{align*}
p_n&=\left|
\begin{array}{ccccc}
 e_1& 1& 0& \cdots& 0 \\
 2e_2& e_1& 1& \cdots& 0 \\
 \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots \\
 ne_n& e_{n-1}& e_{n-2}& \cdots& e_1
\end{array}
\right|
\\
n!e_n&=
\left|
\begin{array}{ccccc}
 p_1& 1& 0& \cdots& 0 \\
 p_2& p_1& 2& \cdots& 0 \\
 \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots \\
 p_{n-1}& p_{n-2}& \cdot& \cdots& n-1\\
 p_n& p_{n-1}& \cdot& \cdots& p_1
\end{array}
\right|
\end{align*}
��,�����
\begin{align*}
(-1)^{n-1}p_n &= \left|
\begin{array}{ccccc}
 h_1& 1& 0& \cdots& 0 \\
 2h_2& h_1& 1& \cdots& 0 \\
 \vdots& \vdots& \vdots& &\vdots  \\
 nh_n& h_{n-1}& h_{n-2}& \cdots& h_1
\end{array}
\right|
\\
 n!h_n&=\left|
\begin{array}{ccccc}
 p_1& -1& 0& \cdots& 0 \\
 p_2& p_1& -2& \cdots& 0 \\
 \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots \\
 p_{n-1}& p_{n-2}& \cdot& \cdots& -n+1 \\
 p_n& p_{n-1}& \cdot& \cdots& p_1
\end{array}
\right|
\end{align*}
�𓾂�.

\noindent
9. (a) $G$��Ώ̌Q$S_n$�̔C�ӂ̕����Q�Ƃ���.
$G$�̏���w���Ƃ͑Ώ̊֐�
\[
c(G)=\frac{1}{|G|}\sum_\rho n_G(\rho)p_{\rho}
\]
�̂��Ƃł���.������$n_G(\rho)$��$G$�Ɋ܂܂�鏄��^$\rho$�̌��̐���,�a��$n$�̑S�Ă̕���$\rho$�ɂ킽��.
����(2.14$'$)���
\[
c(S_n)=\sum_{|\rho|=n} z_{\rho}^{-1}p_{\rho}=h_n
\]
�ł���,���Q$A_n$�ɑ΂��Ă�
\[
c(A_n)=h_n+e_n
\]
�ƂȂ�.

\noindent
(b) $G$��$S_n$�̕����Q��,
$H$��$S_m$�̕����Q�ł���Ƃ�,
$G \times H$��$S_n \times S_m \subset S_{n+m}$�̕����Q�ł���,
\[
c(G \times H)=c(G)c(H)
\]
�ƂȂ�.

\noindent
(c) $G$��$S_n$�̕����Q,
$\Sigma$��$n$�̐���������Ȃ鐔��$\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$�̏W���Ƃ���.
���̂悤�Ȑ���$\alpha$�ɑ΂���$x_\alpha=x_{\alpha_1}\ldots x_{\alpha_n}$�ƒ�`����.
�Q$G$��$\Sigma$�ɂ����̐���̍��̓���ւ��Ƃ��č�p��,
$\alpha \mapsto x_\alpha$�͊e$G$-�O���ɂ����ĕs�ςł���.
\[
\tag{1} c(G)=\sum_{\alpha}x_{\alpha}
\]
������.������$\alpha$��$\Sigma$��$G$�̋O���̊��S��\�n�𓮂�.
(Polya�̒藝)
(
\[
X=|G|^{-1}\sum_{(g,\alpha)}x_\alpha
\]
�Ƃ�,�a��$(g,\alpha)\in G \times \Sigma$��$g\alpha = \alpha$�Ȃ���̂𓮂��Ƃ���.������$X$��(1)�̗��ӂƓ��������Ƃ�����.)

\noindent
10. ��8�Ɨ�9���$S_n$�̏���^��$\rho$�̌��̌��͍s��
\[
d_n=n!h_n=
\left|
\begin{array}{ccccc}
 p_1& -1& 0& \cdots& 0 \\
 p_2& p_1& -2& \cdots& 0 \\
 \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots \\
 p_{n-1}& p_{n-2}& \cdot& \cdots& -n+1 \\
 p_n& p_{n-1}& \cdot& \cdots& p_1
\end{array}
\right|
\]
��$p_{\rho}$�̌W���ɓ��������Ƃ��]��.
$l$��f���Ƃ���.
$l$��@�Ƃ��邱�Ƃ�,���̌��������̐���$l$�ƌ݂��ɑf��$S_n$�̋���ނ̐��𐔂���̂ɗp����.
$n=a_0 + n_1l$�Ƃ���.������$0 \leq a_0 \leq l-1$�ł���.
���̂Ƃ�$d_n$�̑Ίp���̈��̐�����,$l$�̔{���̂Ƃ�,��]���Ƃ��$0$�ɂȂ�̂�,
\[
d_n \equiv d_l^{n_1}d_{a_0}\pmod{l}
\]
���]��.
$d_n=n!c(S_n)$�̒�`��薾�炩��
\[
d_l \equiv p_1^l-p_l \pmod{l}
\]
�ł���
\[
\tag{1} d_n \equiv (p_1^l - p_l)^{n_1}\cdot d_{a_0}\pmod{l}
\]
�ƂȂ�.
�]���đS�Ă�$i \geq 1$�ɑ΂���$n=a_0+a_1 l + a_2 l^2 + \ldots(0 \leq a_i \leq l-1)$�Ȃ��,
(1)���
\[
d_n \equiv d_{a_0}\prod_{i \geq 1}(p_1^{l^i} - p_l^{l^{i-1}})^{a_i}\pmod{l}
\]
���]��.
�䂦�Ɉʐ���$l$�ƌ݂��ɑf��$S_n$�̋���ނ̐���$\mu_l(S_n)$�ŕ\����
\begin{align*}
\mu_l(S_n) &= \mu_l(S_{a_0})\prod_{i\geq 1}(a_i+1)\\
 &=p(a_0)\prod_{i\geq 1}(a_i+1)
\end{align*}
�𓾂�.������$p(a_0)$��$a_0$�̕����̌��ł���.
����$l=2$�̂Ƃ�,
$\mu_2(S_n)$�͏��$2$�̙p�ƂȂ邱�Ƃ��킩��.�Ȃ��Ȃ炱�̂Ƃ�$a_i$��$0$��$1$�̂ǂ��炩�ƂȂ邩��ł���.
����$[n/2]$��$2$�̈قȂ�$r$�p�̘a�ł����$\mu_2(S_n)=2^r$�ƂȂ�.

\noindent
11. 
\[
f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f_nt^n}{n!},\quad g(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g_nt^n}{n!}
\]
��$g(0)=0$�Ȃ�(�W������$\mathbb{Q}$-�㐔�ɑ�����)�`���I�p�����Ƃ���.
$f(t)$��$t$��$g(t)$�ɕς���
\[
H(t)=f(g(t))=\sum_{n=0}^\infty \frac{H_nt^n}{n!}
\]
�Ƃ���.
���炩�ɌW��$H_n$��
\[
H_n=\sum_{k=1}^n f_kB_{n,k}(g)
\]
�̌`�����Ă���.
������$B_{n,k}$��$g$�̌W���̑�������,\textbf{����Bell������}�ƌĂ΂��.
�e$H_n$��$f$�̌W���ɂ��Đ��^�Ȃ̂�,
$B_{n,k}$�����߂邽�߂�$f_k=a^k$�Ƃ�,
$f(t)=e^{at}$�Ƃ���.
��̂��Ƃ�
\[
H(t)=\sum_{n=0}^\infty h_nt^n
\]
�Ə�����,
$H(t)=\exp (ag(t))$�ł���,
(2.10)���
\[
P(t)=\dfrac{d}{dt}\log H(t)=ag'(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{ag_nt^{n-1}}{(n-1)!}
\]
�ƂȂ�,�S�Ă�$n \geq 1$�ɑ΂���$p_n=ag_n /(n-1)!$�ƂȂ�.
�]����(2.14$'$)���
\[
H_n=n!h_n=\sum_{|\lambda|=n}\frac{n!}{z_\lambda}p_\lambda
\]
�ƂȂ�,������
\[
B_{n,k}=\sum_\lambda \frac{n!}{z_\lambda}p_\lambda=\sum_\lambda c_\lambda g_\lambda
\]
�ƂȂ�.�����Řa��$l(\lambda)=k$�Ȃ�$n$�̕���$\lambda$�ɓn��,
$\lambda=(1^{r_1}2^{r_2}\ldots)$�̂Ƃ�
\[
g_\lambda = g_{\lambda_1}g_{\lambda2}\ldots,\quad c_\lambda=n! \biggl/ \prod_{i \geq 1}r_i!(i!)^{r_i}
\]
�ł���.
�W��$c_\lambda$��\textbf{�����ł���}.
�Ȃ��Ȃ�$c_\lambda$��$n$�̌�����Ȃ�W����$\lambda_1,\lambda_2,\ldots$�̌����܂ތ݂��ɑf�ȕ����W���ւ̕����̐��ƂȂ��Ă��邩��ł���.
�]����$B_{n,k}$�͐����W����$g_n$�̑������ł���.

���ʂȏꍇ:

\noindent
(a) $g(t)=\log(1+t)$�Ƃ���.���̂Ƃ�
$B_{n,k}=s(n,k)$��\textbf{��1��Stirling��}�ƂȂ�.
$(-1)^{n-k}s(n,k)$��$S_n$�̌���$k$�݂̌��ɑf�ȏ���u���ō������̂̐��ł���.
\[
\sum_{n,k\geq 0}s(n,k)\frac{t^n}{n!}a^k=(1+t)^a=\sum_{n\geq 0}\binom{a}{n}t^n
\]
�ł���,
\[
\sum_{k=0}^n s(n,k)a^k=a(a-1)\ldots(a-n+1)
\]
���]��,�䂦��$s(n,k)$��$-1,-2,\ldots,-n+1$��$n-k$����{�Ώ̊֐��ł���.

\noindent
(b) $g(t)=e^t$�Ƃ����,�S�Ă�$n \geq 1$�ɑ΂���$g_n=1$�ƂȂ�,
$B_{n,k}=S(n,k)$��\textbf{��2��Stirling��}�ƂȂ�.
$S(n,k)$��$n$�̌�����Ȃ�W����$k$�݂̌��ɑf�ȕ����W���ւ̕����̐��ł���,�܂�$1,2,\ldots,k$��$(n-k)$�����S�Ώ̊֐��ł���.

\noindent
12. ��11���琄�@�����,
$f$��$g$��$n$������\�Ȏ����ϐ��̊֐���,
$f_k,g_k,
(f\circ g)_k$��$f,g,f\circ g$��$k$�K���֐��Ƃ����
\[
(f\circ g)_n = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(g_1,g_2,\ldots)(f_k\circ g)
\]
�ƂȂ�.

\noindent
13. $H(t)=(1-t^r)/(1-t)^r$�Ƃ����,
\[
h_n=\binom{n+r-1}{r-1}-\binom{n-1}{r-1}
\]
�ƂȂ�,
(2.10)���$n \not\equiv 0 \pmod{r}$�Ȃ��$p_n=r$,
$n \equiv 0 \pmod{r}$�Ȃ��$p_n=0$�ł��邱�Ƃ��킩��.
�]����(2.14$'$)���
\[
\sum_\lambda z_\lambda^{-1}r^{l(\lambda )}=\binom{n+r-1}{r-1}-\binom{n-1}{r-1}\quad (r \geq 2)
\]
�ƂȂ�.�����ō��ӂ̘a��$n$�̕���$\lambda$�ł�����̐�����$r$�Ŋ���؂�Ȃ����̂ɂ킽��.

����$r=2$�̏ꍇ
\[
\sum_\lambda z_\lambda^{-1}2^{l(\lambda )}=2
\]
�ƂȂ�.�a��$n$�̕����Ő�����\textbf{�}����Ȃ���̂ɂ킽��.

\noindent
14. $n \geq 1$�ɑ΂���$p_n=an^n/n!$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
h_n=a(a+n)^{n-1}/n!,\quad e_n=a(a-n)^{n-1}/n!
\]
�ƂȂ�.
($t=xe^{-x}$�Ƃ�, $P(t)=ae^x/(1-x)$�������̂�Lagrange�̔��]������p����.)

\noindent
15. 
\[
\sum_\rho z_\rho^{-1}=\sum_\sigma z_\sigma^{-1}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}
\]
������.�����ōŏ��̘a��$2n$�̕���$\rho$�őS�Ă̐����������ł�����̂ɓn��,
2�Ԗڂ̘a��$2n$�̕���$\sigma$�őS�Ă̐�������ł�����̂ɂ킽��.

\noindent
16. �e$n \geq 1$�ɑ΂���$e_n=p_n$�Ƃ���.����$a$�ɑ΂���
\[
h_n=\frac{a^n}{(n+1)!},\quad e_n=\frac{(-1)^na^nB_n}{n!}
\]
������.������$B_n$��$n$��Bernoulli���ł���.

\noindent
17. �e$n\geq 1$�ɑ΂���$h_n=n$�Ƃ����,����$(e_n)_{n\geq 1}$�͎���$3$�Ŏ����I�ł���,����$(p_n)_{n\geq 1}$�͎���$6$�Ŏ����I�ł���.

\noindent
18. (Muirhead�̕s����) $n$�̕���$\lambda$�ɑ΂���,
$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$��\textbf{$\lambda$-����}��
\[
M_\lambda (x) = \frac{1}{n!}\sum_{w\in S_n}w(x^{\lambda})
\]
�Œ�`�����.
����$M_{(n)}(x)$��$(x_1^n,\ldots,x_n^n)$�̑������ς�,
$M_{(1^n)}(x)$�͑��敽�ςł���.

$\lambda,\mu$��$n$�̕����Ƃ���.���̏����͓��l�ł���;

(i) $\lambda \geq \mu$ ; (ii) �S�Ă�$x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}_{+}^n$�ɑ΂���$M_\lambda(x) \geq M_\mu(x)$

((i)�Ȃ��(ii)�������ɂ�,
(1.16)���$\lambda=R_{ij}\mu$�Ɖ��肵��,���̏ꍇ��
\[
x_i^{\lambda_i}x_j^{\lambda_j}+x_j^{\lambda_i}x_i^{\lambda_j} \geq x_i^{\mu_i}x_j^{\mu_j}+x_j^{\mu_i}x_i^{\mu_j}
\]
�������Ώ\���ł���.
(ii)�Ȃ��(i)�������ɂ�,
�\���傫��$X$�ɑ΂���$x_1=\ldots=x_r=X$�Ƃ�,
$x_{r+1}=\ldots=x_n=1$�Ƃ����,
$\lambda_1+\ldots+\lambda_r \geq \mu_1+\ldots+\mu_r$���������.)

\noindent
19. $p_n^{(r)}=\sum m_\lambda$�Řa�͒�����$r$��$n$�̕���$\lambda$�ɂ킽��Ƃ���.
(����$p_n^{(1)}=p_n$)���̂Ƃ�
\[
\sum_{n,r}p_n^{(r)}t^{n-r}u^r=E(u-t)H(t)
\]
�y��
\[
\sum_{n \geq r}p_n^{(r)}t^{n-r}=\frac{(-1)^r}{r!} E^{(r)}(-t)H(t)
\]
������.������$E^{(r)}(t)$��$E(t)$��$t$�Ɋւ���$r$�K���֐��ł���.
\[
p_n^{(r)}=\sum_{a+b=n}(-1)^{a-r}\binom{a}{r}e_a h_b
\]
�ł���,
($n \geq r$�Ȃ��)$p_n^{(r)}$�͍s��$(a_{ij})_{0 \leq i,j \leq n-r}$�̍s�񎮂ɓ��������Ƃ����@�����.
������$a_{i0}=\displaystyle \binom{r+i}{r}e_{r+i}$��,
$j \geq 1$�Ȃ��$a_{ij}=e_{i-j+1}$�ł���.

\noindent
20. �C�ӂ̕���$\lambda$�ɑ΂���,��1(a)���̂悤��$u_\lambda = l(\lambda)!/\prod_{i \geq 1}m_i(\lambda)!$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\begin{align*}
p_n &= n\sum_{|\lambda |=n}\frac{(-1)^{l(\lambda)-1}}{l(\lambda)}u_\lambda h_\lambda \\
&= -n\sum_{|\lambda |=n}\frac{\varepsilon_\lambda}{l(\lambda )}u_\lambda e_\lambda 
\end{align*}
�y��
\[
e_n = \sum_{|\lambda |=n}\varepsilon_\lambda u_\lambda h_\lambda
\]
������.
($H^+(t)=\sum_{n \geq 1}h_n t^n$�Ƃ�,
$\log (1+H^+ (t))$��$(1+H^+(t))^{-1}$��$H^+(t)$�̙p�ɓW�J����$t^n$�̌W�����Ƃ�.)

\noindent
21. �e$n\geq 1$�ɑ΂���$x_n=1/n^2$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
\tag{1} E(-t^2)=\prod_{n\geq 1}\left( 1-\frac{t^2}{n^2} \right) = \frac{\sin \pi t}{\pi t}
\]
�ƂȂ�,�e$n\geq0$�ɑ΂���$e_n=\pi^{2n}/(2n+1)!$�ƂȂ�.
\[
p_r=\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^{2r}}=\zeta(2r)
\]
�ł���.������$\zeta$��Riemann�̃[�[�^�֐��ł���.
(1)���琄�@�����
\[
-2t^2P(t^2)=t\dfrac{d}{dt}\log E(-t^2)=\pi t \cos \pi t -1
\]
�ƂȂ�,�]����
\[
\zeta(2r)=(-1)^{r-1}2^{2r-1}\pi^{2r}B_{2r}/(2r)!
\]
�ƂȂ�.
������$B_{2r}$��$2r$��Bernoulli���ł���.

\noindent
22. (a) Jacobi��3�d�ό���
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}}t^{n^2}u^n=\prod_{n \geq 1}(1-t^{2n})(1+t^{2n-1}u)(1+t^{2n-1}u^{-1})
\]
���,
$u=-1$�ƒu�����Ƃɂ����
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}}(-1)^nt^{n^2}=\prod_{n\geq1}\frac{1-t^n}{1+t^n}
\]
�𓾂�.
���������
\[
\tag{1} E(t)=\prod_{n\geq1}\frac{1+t^n}{1-t^n}
\]
�ł����,
$n\geq1$�����������ۂ��ɂ����$h_n=2$�܂���$0$�ƂȂ�.

\noindent
(b) (1)��(2.10$'$)����
\[
p_n=2(-1)^{n-1}\sigma '(n)
\]
�ƂȂ�.������$\sigma '(t)$��$n$�̖�$d\geq1$��$n/d$����ƂȂ���̘̂a�ł���.

\noindent
(c) $N_r(n)$��$n$��$r$�̕������̘a�ɂ��\���̐�,����$x_1^2+\ldots+x_r^2=n$�Ȃ鐮���x�N�g��$(x_1,\ldots,x_r)\in \mathbb{Z}^r$�̐��Ƃ���.
���(b)�Ɨ�8���
\[
N_r(n)=\frac{(2r)^n}{n!}\left|
\begin{array}{ccccc}
\sigma '(1) & 1/2r & 0 & \cdots & 0 \\
\sigma '(2) & \sigma '(1)& 2/2r & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & & & \vdots \\
\sigma '(n-1) & \sigma '(n-2)& \cdots & \cdots &(n-1)/2r  \\
\sigma '(n) & \sigma '(n-1)& \cdots & \cdots & \sigma '(1)
\end{array}
\right|
\]
�ƂȂ�.

\noindent
23. $G$���L���Q��,
$d$���������̂Ƃ�,
$w_d(G)$��$G$�ɂ�����$x^d=1$�̉��̐��Ƃ���.
\[
\tag{1} \sum \frac{1}{n!} w_d(S_n)t^n = \exp \left( \sum \frac{1}{r}t^r \right)
\]
������.
($x \in S_n$�̏���^��$\lambda$�̂Ƃ�,
$x^d=1$�ƂȂ�͕̂���$\lambda$�̑S�Ă̐�����$d$�Ŋ���؂��Ƃ��݂̂ł���.�]����
\[
\tag{2} w_d(S_n)/n! = \sum z_\lambda^{-1}
\]
�Řa�͂��̂悤��$n$�̕���$\lambda$�ɂ킽��.
$\varphi_d =: \Lambda_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{Z}$�Ȃ鏀���^�ʑ���,
$r$��$d$�Ŋ���؂�邩�ۂ��ɂ����$\varphi_d(p_r)=1$�܂���$0$�ƂȂ�悤�ɒ�߂�.
���̂Ƃ�(2)�̉E�ӂ�(2.14$'$)���$\varphi_d(h_n)$�ɓ�����,�]����(1)�̕�֐���$\varphi_d(H(t))$�ƂȂ�.
)

\noindent
24. ��$\Lambda$�̑��̑΍��͎��̂悤�ɒ�`�����.
\[
\tag{1} u=tH(t)= t+h_1t^2+h_2t^3+\ldots
\]
�Ƃ���.���̂Ƃ�$t$��$u$�̙p�����Ƃ��ĕ\�����Ƃ��ł���.�����e$r\geq1$�ɑ΂���$h_r^* \in \Lambda^r$���W���Ƃ���
\[
\tag{2} t=u+h_1^*u^2+h_2^*u^3+\ldots
\]
�Ƃł���.
(1)��(2)�̌����͊e$r\geq1$�ɑ΂���$\psi(h_r)=h_r^*$�ɂ���Ē�`���������^�ʑ�$\psi : \Lambda \to \Lambda$��$\Lambda$��̑΍��ƂȂ��Ă��邱�Ƃ������Ă���.

�e$f \in \Lambda$�ɑ΂���,
$f^*=\psi(f)$�Ƃ���.���̂悤�ɂ��ėႦ�Ε���$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$�ɑ΂���$h_\lambda^*=h_{\lambda_1}^*h_{\lambda_2}^*\ldots$�Ƃ����,
$h_\lambda^*$��$\Lambda$��$\mathbb{Z}$-�����Ȃ�.

\noindent
(a) $h_n^*$�𖾎��I�ɋ��߂邽�߂Ɉȉ����c�_����.
(2)���
\[
dt=\sum_{n\geq0}(n+1)h_n^*u^ndu
\]
��,�]����$(n+1)h_n^*$�͔���
\[
dt/u^{n+1}=dt/t^{n+1}H(t)^{n+1}
\]
�̗����ł���,�䂦��$H(t)^{-n-1}$��$t$�̙p�œW�J�����Ƃ���$t^n$�̌W���ɓ�����.
��20�̂悤��$H(t)=1+H^+(t)$�Ə�����,��20����$u_\lambda$��p����
\[
(n+1)h_n^*=\sum_{|\lambda|=n}(-1)^{l(\lambda)}\binom{n+l(\lambda)}{n}u_\lambda h_\lambda
\]
���]��.

\noindent
(b) ���l�ɂ���
\[
p_n^*=\sum_{|\lambda|=n}z_\lambda^{-1}(-n)^{l(\lambda)}p_\lambda
\]
�y��
\[
(n-1)e_n^*=-\sum_{|\lambda|=n}\binom{n-1}{l(\lambda)}u_\lambda e_\lambda
\]
������.

\noindent
25. $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$��萔����$1$�̌`���I�p�����Ƃ���.
$t=xf(x)$�Ƃ�,
$g(x)$��$t$�̙p�����ɓW�J����:
\[
g(x)=H(t)=\sum_{n\geq0}h_nt^n
\]
$\varphi_n(f,g)$��$(f+xf')g/f^{n+1}$��$x^n$�̌W���Ƃ���.������$f'$��$f$�̓��֐��ł���.
���̂Ƃ�
\[
h_n=\varphi_n(f,g),\quad e_n=(-1)^n\varphi_n(f,g^{-1})
\]
�ƂȂ�,
(��24�̕\�L��p�����)
\[
h_n^*=\varphi_n(fg,g^{-1}),\quad e_n^*=(-1)^n\varphi(fg,g)
\]
�����$\psi_n(f,g)$��$g'/f^n g$��$x^{n-1}$�̌W���̂Ƃ�
\[
p_n=\psi_n(f,g),\quad p_n^*=\psi_n(fg,g^{-1})
\]
�𓾂�.

\noindent
(a) $f(x)=(1+x)^{-\alpha}$�Ƃ�,
$g(x)=(1+x)^\beta$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
\varphi_n(f,g)=\frac{\beta}{n\alpha +\beta}\binom{n\alpha +\beta}{n}=u_n(\alpha ,\beta)
\]
�ƂȂ�.�]����
\begin{align*}
&h_n = u_n(\alpha ,\beta),&& e_n =u_n(1-\alpha ,\beta) \\
&h_n^* = u_n(\alpha -\beta,-\beta),&& e_n^* = u_n(1-\alpha+\beta,-\beta)
\end{align*}
�ł���
\[
p_n=\frac{\beta}{\alpha}\binom{n\alpha}{n},\quad p_n^*=\frac{n\alpha-n\beta}{n}
\]
�ł���.
����$u_n(2,1)$��$n��$Catalan��$C_n=(n+1)^{-1}\binom{2n}{n}$�ł���,
$u_n(2,2)=C_{n+1}, u_n(2,-1)=C_{n-1}$�ł���.
�]����$p_n=a\binom{2n}{n}$��$a=\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2}$�̂Ƃ�,���ꂼ��$h_n=C_n,c_{n+1},-C_{n-1}$,
$h_n^*=-\delta_{1n},(-1)^n(n+1),n^{-1}\binom{3n}{n-1}$�ƂȂ�.

\noindent
(b) $f(x)=e^{-\alpha x}, g(x)=e^{\beta x}$�Ƃ���.���̂Ƃ�
\[
\varphi_n(f,g)=\beta(n\alpha +\beta)^{n-1}/n!=v_n(\alpha,\beta)
\]
�ł���.�]����
\begin{align*}
&h_n = v_n(\alpha ,\beta),&& e_n =v_n(1-\alpha ,\beta) \\
&h_n^* = v_n(\alpha -\beta,-\beta),&& e_n^* = v_n(1-\alpha+\beta,-\beta)
\end{align*}
�ł���,
\[
p_n=\frac{\beta(n \alpha)^{n-1}}{(n-1)!},\quad p_n^*=\frac{-\beta(n\alpha -n\beta)^{n-1}}{(n-1)!}
\]
�ł���.

\noindent
26. $k$���ʐ�$q$�̗L���̂Ƃ�,
$V$��$n$����$k$-�x�N�g����ԂƂ���.
$\textbf{S}=\textbf{S}(V)$��$V$��$k$��̑Ώ̑㐔�Ƃ���($x_1,\ldots,x_n$��$V$��$k$-���̂Ƃ�,
$\textbf{S}=k[x_1,\ldots,x_n]$�ƂȂ�).
\[
f_V(t)=\prod_{v \in V}(t+v)
\]
��$\textbf{S}[t]$�̑������Ƃ���.

\noindent
(a) �C�ӂ�$a,b\in k$�ƕs�茳$t,u$�ɑ΂���
\[
f(at+bu)=af(t)+bf(u)
\]
������.
($a\in k,a \neq 0$�̂Ƃ�,
\begin{align*}
f(at) &= \prod_{v\in V}(at+v)=a^{q^n}\prod_{v\in V}(t+a^{-1}v) \\
 &= af(t)
\end{align*}
�𓾂�.
����$g_r(u)\in \textbf{S}[u]$��
\[
f(t+u)-f(t)-f(u)=\sum_{r\geq0}t^r g_r(u)
\]
�ƂȂ�悤�Ɍ��߂�.
�C�ӂ�$v\in V$�ɑ΂���$f(t+v)=f(t)$����$f(v)=0$�ł��邩��,�C�ӂ�$v\in V$�ɑ΂���$g_r(v)=0$�ƂȂ�.
$g_r$�̎�����$q^n$�����Ȃ̂�,�e$r$�ɑ΂���$g_r=0$�ł���.�]����$f(t+u)=f(t)+f(u)$�ƂȂ�.
)

\noindent
(b) (a)���$f_V(t)$��
\[
f_v(t)=t^{q^n}+a_1(V)t^{q^{n-1}}+\ldots+a_n(V)t
\]
�Ȃ�`�����Ă���.�����Ŋe$a_r \in \textbf{S}$�ł���,����$a_n(V)$��$V$��0�łȂ��x�N�g���̐ςł���.

\[
\tag{1} \sum_{L<V}a_1(L)=0
\]
������.�����Řa��$V$�̑S�Ă̐�(����$1$�����������) L�ɂ킽��.
($V$�ɑ�����e$v \neq 0$�͈�ӓI�ɒ�܂��$L=kv$�ɑ�����̂�,
\[
f_V(t)=t\prod_{L<V}t^{-1}f_L(t)=t\prod_{L<V}(t^{q-1}+a_1(L))
\]
���]��.�䂦�ɘa(1)��$f_V(t)$��$t^{q^n-1}$�̌W���Ɠ�����,����͖��炩��0�ł���.
)

\noindent
(c) $U$��$V$�̕����x�N�g����ԂƂ���.
$V$����$\textbf{S}$�ւ̎ʑ�$v \to f_U(v)$�͏��(a)���$k$-���^�ʑ��ł���,���̊j��$U$�ł���.
�]���Ă��̑�$f_U(V)$��$V$��$U$�ɂ�鏤�Ɠ��^�ł���,�����$V/U$�ƕ\�����Ƃɂ���.
$V/U$�̊e���͂���$v\in V$�ɑ΂���$\prod_{u\in U}(v+u)$�̌`�̐ςł���.����$V$�̒���$U$�̏�]�ނ̌��ɂ��$\textbf{S}$�̐ςł���.

\[
f_V(t)=f_{V/U}(f_U(t))
\]
�y��,
$T$��$U$�̕����x�N�g����Ԃ̂Ƃ�
\[
V/U=(V/T)(U/T)
\]
������.

\noindent
(d) $1 \leq r \leq n-1$�ɑ΂���
\[
\tag{2} a_r(V)=\sum_{L<V}a_r(V/L)
\]
������.�����Řa�͐�̂悤��$V$�̐�$L$�ɂ킽��.
(���(c)���$f_V(t)=f_{V/L}(f_L(t))$�𓾂�̂�,
\[
a_r(V)=a_r(V/L)+a_{r-1}(V/L)a_1(L)^{q^{n-r}}
\]
���]��.
$V$�̐�$L$�̐���$1+q+\ldots+q^{n-1} \equiv 1 \pmod{q}$�ł��邩��,
\[
\tag{3} a_r(V)=\sum_L a_r(V/L)+\sum_L a_{r-1}(V/L)a_1(L)^{q^{n-r}}
\]
���]��.
$n=\dim V$�Ɋւ���A�[�@���,
\[
\tag{4} a_{r-1}(V/L)=\sum_M a_{r-1}(V/M)
\]
�Ƃ��Ă悢.�����Řa��$L$���܂�$V$��$2$�����������$M$�ɂ킽��.
�]����(3)�̉E�ӂ̑�2����
\[
\sum_M a_{r-1}(V/M)\left( \sum_{L<M}a_1(L) \right)^{q^{n-r}}
\]
�ƂȂ�,���(1)���0�ƂȂ�.
)

\noindent
(e) (d)���
\[
a_r(V)=\sum_U a_r(V/U)
\]
�ł���.�a��$V$��$(n-r)$�����������$U$�ɓn��,
$a_r(V/U)$��$v \notin U$�Ȃ�$v \in V$�̐ςł���.

\noindent
27. ��26�̂悤��,
$k$���ʐ�$q$�̗L���̂Ƃ�,
$x_1,\ldots,x_n$��$q$��Ɨ��ȕs�茳�Ƃ�,
$k[x]=k[x_1,\ldots,x_n]$�Ƃ���.
$V$��$x_1,\ldots,x_n$�ɂ���Ē�����$k$-�x�N�g����ԂƂ�,
\[
\tag{1} f_V(t)=t^{q^n}+a_1t^{q^{n-1}}+\ldots+a_n t
\]
������$V$�ɑ����郂�j�b�N�ȑ������Ƃ���.
$k[a]=k[a_1,\ldots,a_n] \subset k[x]$�Ƃ���.

\noindent
(a) (1)�̌W��$a_1,\ldots,a_n$��$k$��㐔�I�Ɨ��ł���.
($b_1,\ldots,b_n$��$k$��Ɨ��ȕs�茳�Ƃ�,
$W$�𑽍���
\[
g(t)=t^{q^n}+b_1 t^{q^{n-1}}+\ldots+b_n t
\]
�̕���̂ɂ����鍪����Ȃ�W���Ƃ���.
$g'(t)=b_n\neq 0$�ł��邩�炱���̍��͑S�đ��قȂ�,
$\alpha,\beta \in k$�ɑ΂���$g(\alpha t+\beta u)=\alpha g(t)+\beta g(u)$���$W$��$n$����$k$-�x�N�g����Ԃł���.
$W$�̊���$(y_1,\ldots,y_n)$�ɂƂ�,
$\theta : k[x] \to k[y]$��,
$x_i$��$y_i$($1\leq i \leq n$)�Ɏʂ�$k$-�㐔�����^�ʑ��Ƃ���.
���̂Ƃ�$\theta (a_i)=b_i (1\leq i \leq n)$��,
$b_i$��$k$��㐔�I�Ɨ��ł��邩��$a_i$��$k$��㐔�I�Ɨ��ł���.
)

\noindent
(b) $G=GL(V)\cong GL_n(k)$���x�N�g�����$V$�̎��ȓ��^�Q�Ƃ���.
���̂Ƃ�$G$�͑㐔$k[x]$�ɍ�p����;
$k[x]^G$��$G$-�s�ςȕ����㐔�Ƃ���.
$G$��$f_V(t)$�̍���u������̂�,����͊e�W��$a_i$���Œ肷��.�]����$k[a] \subset k[x]^G$�ł���.
���ۂ�$k[a]=k[x]^G$�ł���.
(����(d)���Q��)

\noindent
(c) $k[x]$�͊���$(x^\alpha)_{\alpha \in E}$�Ƃ��鎩�R$k[a]$-���Q�ł���.������
\[
E=\{ \alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) : 0 \leq \alpha_i \leq q^n-q^{i-1} -1 \}
\]
�ł���.
($0 \leq r \leq n-1$�ɑ΂���,
$x_1,\ldots,x_r$�Œ�����$V$�̕�����Ԃ�$V_r$�Ƃ���($V_0=0$�ł���).
������$g_r(t)=f_V(t)/f_{V_r}(t)$�͎���$q^n-q^r$�̃��j�b�N��������,��$k[a,x_1,\ldots,x_r]$�ɌW��������,���Ƃ���$x_{r+1}$������.

��$h \in k[x]$�Ƃ���.
$g_{n-1}$��$x_n$�ɂ�����$h$�̎�����$q^n-q^{n-1}$�ȉ��ɉ�����̂ɗp����.
������$g_{n-2}$��$x_{n-1}$�ɂ�����$h$�̎�����$q^n-q^{n-2}$�ȉ��ɉ�����̂ɗp����.���l�ɂ��Ă����ƍŌ��
\[
\tag{2} h=\sum_{\alpha \in E}h_\alpha x^\alpha
\]
��,�W��$h_\alpha \in k[a] \subset k[x]^G$�𓾂�. 

�]����$x^\alpha, \alpha \in E$��$k[x]^G$-���Q�Ƃ���$k[x]$�𒣂�.
�䂦�ɂ����͂܂�$k(x)^G$��̃x�N�g����ԂƂ��đ�$k(x)=k(x_1,\ldots,x_n)$�𒣂�.
�Ȃ��Ȃ�k(x)�̌���$u\in k[x]$��$v\in k[x]^G$��p����$u/v$�̌`�ɏ����邩��ł���.
������Galois���_�ɂ���,
$k(x)$��$k(x)^G$��̎�����
\[
|G|=\prod_{i=1}^n(q^n-q^{i-1})=|E|
\]
�ł���,�]����$(x^\alpha)_{\alpha \in E}$��$k(x)$��$k(x)^G$��̊��ƂȂ�.
����$h\in k[x]$�ɑ΂���(2)�̕\���͈�ӓI�ł���.
)

\noindent
(d) ����$h\in k[x]^G$�Ƃ���.���̂Ƃ�(2)�ɂ�����$\alpha \neq (0,\ldots,0)$�Ȃ��$h_\alpha$�łȂ���΂Ȃ炸,
$h=h_{0,\ldots,0}$�ł���.
�]����$k[x]^G=k[a]$�ƂȂ�.
(Dickson�̒藝)
\\
\\
\textbf{���Ӌy�юQ�l����}\\
��11. Bell������, Stirling�����̏ڂ������Ƃ͗Ⴆ��L.Comtet's book [C3]���Q�Ƃ���.\\
��13. ���̗��A.O.Morris [M15]�ɂ��.\\
��27. ���҂͂����ŗ^����Dickson�̒藝�̏ؖ���R.Steinberg�Ɋw��.




\end{document}