\underline{1.2 対称関数環 1}

1.2 対称関数環

n 個の独立変数 x_{1}, …, x_{n} からなる有理整数係数の多項式環 ℤ[x_{1}, …, x_{n}] を考える. 対称群 S_{n} はこの環に変数の置換として作用し, ある多項式が対称であるとは, その多項式がこの作用に関して不変なときをいう. 対称多項式は部分環

Λ_{n} = ℤ[x_{1}, …, x_{n}]^{S_{n}}

をなす. Λ_{n} は次数付き環である:

Λ_{n} = ⨁_{k≥0} Λ_{n}^{k}

ここで Λ_{n}^{k} は零多項式を含む k 次同次対称多項式全体である.

各 α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ ℕ^{n} に対して, 単項式 x^{α} を

x^{α} = x_{1}^{α_{1}} … x_{n}^{α_{n}}

と定める. λ を長さ n 以下の任意の分割とする. λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) の異なる置換 α をすべて足し合わせた多項式

(2.1)  m_{λ}(x_{1}, …, x_{n}) = ∑ x^{α}

は明らかに対称多項式で, m_{λ}(λ は長さ n 以下のすべての分割を動く) は Λ_{n}^{k} の ℤ-基底をなす.

対称関数の理論では, 変数の数が十分大きければその数は重要ではなく, 無限個の変数の対称関数を扱う方がより便利である. このアイデアを実現させるために, m ≥ n として, x_{n+1}, …, x_{m} を 0 に写し, それら以外の x_{i} を恒等的に写す準同型写像

ℤ[x_{1}, …, x_{m}] → ℤ[x_{1}, …, x_{n}]

を考える. これの Λ_{m} への制限は準同型写像

ρ_{m,n} : Λ_{m} → Λ_{n}

を与える. この準同型は m_{λ}(x_{1}, …, x_{m}) を l(λ) ≤ n であれば m_{λ}(x_{1}, …, x_{n}) に, l(λ) > n であれば 0 に写す. よって ρ_{m,n} は全射である. Λ_{m}^{k} へ制限するとすべての k ≥ 0 と m ≥ n に対して準同型写像

ρ_{m,n}^{k} : Λ_{m}^{k} → Λ_{n}^{k}

が得られる. これは常に全射で, m ≥ n ≥ k のときは全単射である.

\underline{2}

準同型写像 ρ_{m,n}^{k} に関する ℤ-加群 Λ_{n}^{k} の射影極限

Λ^{k} = lim ; ⟵_{n} Λ_{n}^{k}

を構なする. Λ^{k} の元は漸化式 f = (f_{n})_{n≥0} で定義される. ここで f_{n} = f_{n}(x_{1}, …, x_{n}) は変数 x_{1}, …, x_{n} の k 次同次対称多項式で, m ≥ n のとき f_{m}(x_{1}, …, x_{n}, 0, …, 0) = f_{n}(x_{1}, …, x_{n}) である. ρ_{m,n}^{k} は m ≥ n ≥ k に対しては同型写像なので, すべての n ≥ k に対して, f を f_{n} に写す射影

ρ_{n}^{k} : Λ^{k} → Λ_{n}^{k}

は同型写像となる. したがって Λ^{k} は n ≥ k に対して

ρ_{n}^{k}(m_{λ}) = m_{λ}(x_{1}, …, x_{n})

によって定義されるモノミアル対称関数 m_{λ} (λ は k の任意の分割) からなる ℤ-基底を持つ. よって Λ^{k} はランクが k の分割の数 p(k) である自由 ℤ-加群である.

ここで

Λ = ⨁_{k≥0} Λ^{k}

とすると, Λ は任意の分割 λ に対する m_{λ} で生成される自由 ℤ-加群である. このとき各 n ≥ 0 に対して

ρ_{n} = ⨁_{k≥0} ρ_{n}^{k} : Λ → Λ_{n}

なる全射準同型写像を得る. そして ρ_{n} は次数 k ≤ n においては同型写像である.

明らかに Λ は ρ_{n} たちが環準同型写像となるような次数付き環を構なする. このようにして定義される次数付き環 Λ を可算個の独立変数 x_{1}, x_{2}, … の対称関数環^{*1} と呼ぶ.

注. 1. Λ は準同型写像 ρ_{m,n} に関する環 Λ_{n} の (環の圏上の) 射影極限ではない. この射影極限 Λ̂ は例えば無限積 ∏_{i=1}^{∞}(1 + x_{i}) を含んでいる. Λ の元はモノミアル対称関数 m_{λ} の有限和で定義されるから, これは Λ に属していない. しかし Λ は次数付き環の圏において Λ_{n} の射影極限である.

2. 我々は係数環として ℤ の代わりに任意の可換環 A を用いることができる. このとき Λ の代わりに Λ_{A} ≅ Λ ⊗_{ℤ} A を得る.

基本対称関数

*1 Λ の元はもはや多項式ではなく, 単項式の形式的無限和である. よって我々は「対称関数」の古い用法に

立ち戻った.

整数 r ≥ 0 に対して r 次基本対称関数 e_{r} とは, r 個の相異なる変数 x_{i} の全ての積の和である. したがって e_{0} = 1 で, r ≥ 1 に対して

e_{r} = ∑_{i_{1}<i_{2}<...<i_{r}} x_{i_{1}}x_{i_{2}} … x_{i_{r}} = m_{(1^{r})}

である. e_{r} の母関数は

(2.2)  E(t) = ∑_{r≥0} e_{r}t^{r} = ∏_{i≥1}(1 + x_{i}t)

である. ここで t は他の変数である. このことは右辺を展開すればわかるであろう. (変数の数 n が有限個のとき, e_{r} (即ち ρ_{n}(e_{r}) ) は r > n に対して 0 である. そして (2.2) は

∑_{r≥0}^{n} e_{r}t^{r} = ∏_{i≥1}^{n}(1 + x_{i}t)

となり, 両辺は Λ_{n}[t] の元である. 同じような注意を後の公式にも適用し, 必要な (そして自明な) 調整は読者に任せることとする.)

分割 λ = (λ_{1}, λ_{2}, …) に対して

e_{λ} = e_{λ_{1}}e_{λ_{2}} …

と定義する.

(2.3) λ を分割, λ′ をその共役とする. このとき

e_{λ′} = m_{λ} + ∑_{μ} a_{λμ}m_{μ}

が成り立つ. ここで a_{λμ} は非負整数であり, 和は自然順序での分割 μ < λ 上にわたる.

証明. e_{λ′} = e_{λ′_{1}}e_{λ′_{2}} … を展開すると単項式の和を得る. それぞれは

(x_{i_{1}}x_{i_{2}} …)(x_{j_{1}}x_{j_{2}} …) … = x^{α}

のような形をしている. ここで i_{1} < i_{2} < … < i_{λ′_{1}}, j_{1} < j_{2} < … < j_{λ′_{2}} 等である. λ の Young 図形の 1 行目に i_{1}, i_{2}, …, i_{λ′_{1}} を順番に入れていき, 2 行目に j_{1}, j_{2}, …, j_{λ′_{2}} を順番に入れていき, としていくと, 明らかに各 r ≥ 1 に対して添え字が r 以下のものは λ の Young 図形の先頭から r 列目までに表れる. 従って各 r ≥ 1 に対して α_{1} + … + α_{r} ≤ λ_{1} + … + λ_{r} である. 即ち α ≤ λ を得る. (1.12) より

e_{λ′} = ∑_{μ≤λ} a_{λμ}m_{μ}

で, 各 μ ≥ λ に対して a_{λμ} ≥ 0 となることが従う. さらに上の主張は単項式 x^{λ} がちょうど 1 回現れることも示しているので, a_{λλ} = 1 である.

(2.4)

Λ = ℤ[e_{1}, e_{2}, …]

であり, e_{r} は ℤ 上代数的独立である.

証明. m_{λ} は Λ の ℤ-基底をなし, (2.3) より e_{λ} は他の ℤ-基底をなす: 言い換えると Λ の全ての元は e_{r} の多項式として一意に表される.

注. 有限個の変数 x_{1}, …, x_{n} のとき, (2.4) は Λ_{n} = ℤ[e_{1}, …, e_{n}] であり, e_{1}, …, e_{n} は代数的独立であるということを述べている. これは「対称関数の基本定理」の主張である.

完全対称関数 r ≥ 0 に対して r 次完全対称関数 h_{r} とは, 変数 x_{1}, x_{2}, … の次数の総和が r の単項式全ての和である. 即ち

h_{r} = ∑_{|λ|=r} m_{λ}

特に h_{0} = 1 そして h_{1} = e_{1} である. r < 0 に対しては h_{r} や e_{r} は 0 と定義する. h_{r} の母関数は

(2.5)  H(t) = ∑_{r≥0} h_{r}t^{r} = ∏_{i≥1}(1 − x_{i}t)^{−1}

である. このことは

(1 − x_{i}t)^{−1} = ∑_{k≥0} x_{i}^{k}t^{k}

に注意して, この等比級数を掛ければわかる.

(2.2) と (2.5) より任意の n ≥ 1 に対して

(2.6)  H(t)E(−t) = 1

または

(2.6′)  ∑_{r=0}^{n}(−1)^{r}e_{r}h_{n−r} = 0

を得る.

(2.4) より e_{r} は代数的独立であるから, 任意の r ≥ 0 に対して次数付き環の準同型写像 ω : Λ → Λ を

ω(e_{r}) = h_{r}

によって定義することができる. (2.6′) における e と h の対称性は次のことを示している. (2.7) ω は対合, 即ち ω^{2} は恒等写像である.

これより ω は Λ の自己同型写像であることが従う. したがって (2.4) より次のことを得る. (2.8)

Λ = ℤ[h_{1}, h_{2}, …]

であり, h_{r} は ℤ 上代数的独立である.

注. 変数の数が有限個 n のとき (つまり r > n に対して e_{r} = 0), 1 ≤ r ≤ n に対して写像 ω : Λ_{n} → Λ_{n} は ω(e_{r}) = h_{r} によって定義され, (2.6′) の理由から対合である. これより h_{1}, …, h_{n} は代数的独立で Λ_{n} = ℤ[h_{1}, …, h_{n}] であり, h_{n+1}, h_{n+2}, … は h_{1}, h_{2}, … (または e_{1}, e_{2}, …) の 0 でない多項式である.

e の場合と同じように, 任意の分割 λ = (λ_{1}, λ_{2}, …) に対して h_{λ} = h_{λ_{1}}h_{λ_{2}} …

と定義する. (2.8) より h_{λ} は Λ の ℤ-基底をなす. 今我々は分割によって添え字付けられた 3 つの ℤ-基底 m_{λ}, e_{λ}, h_{λ} を得, 最後の 2 つは対合 ω の下で対応している. 各 λ に対して

f_{λ} = ω(m_{λ})

と定義すれば, f_{λ} は Λ の 4 つ目の ℤ-基底をなす. (f_{λ} は対称関数であるということを「忘れて」おり, 特に簡単な表示はない.)

(2.6′) の関係は後に用いる行列式の等式を導く. N を正整数とし, 行と列の数が N + 1 の行列

H = (h_{i−j})_{0≤i,j≤N}, E = ((−1)^{i−j}e_{i−j})_{0≤i,j≤N}

を考える. ここで前に述べた約束通り r < 0 に対して e_{r} = h_{r} = 0 とする. H と E はどちらも対角部分に 1 が並んだ下三角行列であるから det H = det E = 1 である. さらに (2.6′) はそれらが互いに逆行列であることを示している. これより H の小行列は E の転置行列 E′ の余因子行列に等しいことが従う.

λ, μ を長さが p 以下で, λ′, μ′ の長さが q 以下の 2 つの分割とする. ここで p+q = N +1 である. 列の添え字が λ_{i} +p−i (1 ≤ i ≤ p), 行の添え字が μ_{i} +p−i (1 ≤ i ≤ p) である H の小行列を考える. (1.7) より E′ の余因子行列は列の添え字が p − 1 + j − λ′_{j} (1 ≤ j ≤ q), 行の添え字が p − 1 + j − μ′_{j} (1 ≤ j ≤ q) となる. 従って

det (h_{λ_{i}−μ_{j}−i+j})_{1≤i,j≤p} = (−1)^{|λ|+|μ|} det ((−1)^{λ′_{i}−μ′_{j}−i+j}e_{λ′_{i}−μ′_{i}−i+j})_{1≤i,j≤q}

となる. 負の符号はキャンセルして消えるのでを得る (Aitken [A1]).

(2.9)  det (h_{λ_{i}−μ_{j}−i+j})_{1≤i,j≤p} = det (e_{λ′_{i}−μ′_{j}−i+j})_{1≤i,j≤q}

特に μ = 0 とすれば

(2.9’)  det (h_{λ_{i}−i+j}) = det (e_{λ′_{i}−i+j})

となる.

冪和対称関数各 r ≥ 1 に対して r 次冪和対称関数とは

p_{r} = ∑ x_{i}^{r} = m_{(r)}

である. p_{r} の母関数は

P (t) = ∑_{r≥1} p_{r}t^{r−1} = ∑_{i≥1} ∑_{r≥1} x_{i}^{r}t^{r−1}
= ∑_{i≥1} \frac{x_{i}}{1 − x_{i}t}
= ∑_{i≥1} \frac{d}{dt} log \frac{1}{1 − x_{i}t}

である. よって

(2.10)  P (t) = \frac{d}{dt} log ∏_{i≥1}(1 − x_{i}t)^{−1} = \frac{d}{dt} log H(t) = H′(t)/H(t)

が成り立つ. 同様に

(2.10’)  P (−t) = \frac{d}{dt} log E(t) = E′(t)/E(t)

が成り立つ.

(2.10) と (2.10′) より, n ≥ 1 に対して

(2.11)  nh_{n} = ∑_{r=1}^{n} p_{r}h_{n−r}

(2.11′)  ne_{n} = ∑_{r=1}^{n}(−1)^{r−1}p_{r}e_{n−r}

を得る. これらの等式は h や e を p の項で表示するものであり, 逆もまた同様である. (2.11′) の等式は Issac Newton によるものであり, Newton の公式として知られている. (2.11) より明らかに h_{n} ∈ ℚ[p_{1}, …, p_{n}], p_{n} ∈ ℤ[h_{1}, …, h_{n}] であり, 従って

ℚ[p_{1}, …, p_{n}] = ℤ[h_{1}, …, h_{n}]

である. h_{r} は ℤ 上代数的独立であるから ℚ 上代数的独立であり, これより次のことが従う.

(2.12)

Λ_{ℚ} = Λ ⊗_{ℤ} ℚ = ℚ[p_{1}, p_{2}, …]

であり, p_{r} は ℚ 上代数的独立である.

従って, 分割 λ = (λ_{1}, λ_{2}, …) に対して p_{λ} = p_{λ_{1}}p_{λ_{2}} …

と定義すれば, p_{λ} は Λ_{ℚ} の ℚ-基底をなす. しかし Λ の ℤ-基底とはならない. 例えば h_{2} = \frac{1}{2}(p_{1}^{2} + p_{2}) は p_{λ} の項に展開したとき整数係数を持たない.

対合 ω は E(t) と H(t) を交換するので, (2.10) 及び (2.10′) より, n ≥ 1 に対して ω(p_{n}) = (−1)^{n−1}p_{n}

が従う. 従って任意の分割 λ に対して

(2.13)  ω(p_{λ}) = ε_{λ}p_{λ}

を得る. ここで ε_{λ} = (−1)^{|λ|−l(λ)} である.

最後に, h_{n} や e_{n} の p_{λ} の線型結合による表示を考える. 任意の分割 λ に対して,

z_{λ} = ∏_{i≥1} i^{m_{i}} · m_{i}!

と定義する. ここで m_{i} = m_{i}(λ) は i と等しい λ の部分の個数である. このとき

H(t) = ∑_{λ} z_{λ}^{−1}p_{λ}t^{|λ|}, (2.14)

E(t) = ∑_{λ} ε_{λ}z_{λ}^{−1}p_{λ}t^{|λ|}

または

h_{n} = ∑_{|λ|=n} z_{λ}^{−1}p_{λ}, (2.14′)

e_{n} = ∑_{|λ|=n} ε_{λ}z_{λ}^{−1}p_{λ}

である.

証明. (2.14) の最初の等式を示せば, 2 番目は対合 ω を施して (2.13) を用いることによって従う. (2.10) より

H(t) = exp ∑_{r≥1} p_{r}t^{r}/r
= ∏_{r≥1} exp(p_{r}t^{r}/r)
= ∏_{r≥1} ∑_{m_{r}=0}^{∞}(p_{r}t^{r})^{m_{r}}/r^{m_{r}} · m_{r}!
= ∑_{λ} z_{λ}^{−1}p_{λ}t^{|λ|}.

(2.15) 注. λ-環 ( [B5], [K13] ) の用語では Λ は「1 変数自由 λ-環」 (より正確には底の環) である. 従ってこの章の全ての公式や等式は λ-環の用語に置き換えることができる. λ-環の理論について書くことが我々の目的ではないので, 簡単に述べることにする.

R を任意の λ-環とし, x を R の任意の元とすると, e_{1}(= h_{1} = p_{1}) を x に写す λ-準同型写像 Λ → R が一意的に存在する. この準同型写像の下で

e_{r} ⟼ λ^{r}(x) (r 次外冪式)
h_{r}  σ^{r}(x) = (−1)^{r}λ^{r}(−x) (r 次冪対称式)
E(t)  λ_{t}(x)
H(t)  σ_{t}(x) = λ_{−t}(−x)
p_{r} ψ^{r}(x) (Adams 作用素)

であり, 対合 ω は R において x ↦ −x に対応する. 例えば (2.14′) は λ-環の任意の元 x に対して

σ^{n}(x) = ∑_{|λ|=n} z_{λ}^{−1}ψ^{λ}(x)

となる. (ここで ψ^{λ}(x) = ψ^{λ_{1}}(x)ψ^{λ_{2}}(x) … である.）

例 1. (a) x_{1} = … = x_{n} = 1, x_{n+1} = x_{n+2} = … = 0 とする. このとき E(t) = (1 + t)^{n}, H(t) = (1 − t)^{−n} となる. よって

e_{r} = \binom{n}{r}, h_{r} = \binom{n + r − 1}{r}

となり, n ≥ 1 に対して p_{r} = n となる. また

m_{λ} = u_{λ}\binom{n}{l(λ)}

である. ここで

u_{λ} = \frac{l(λ)!}{∏_{i≥1} m_{i}(λ)!}

である.

(b) より一般的に, X を不定元として, 任意の r ≥ 1 に対して準同型写像 ε_{X} : Λ_{ℚ} → ℚ[X] を ε_{X}(p_{r}) = X で定義する. このとき任意の r ≥ 1 に対して

ε_{X}(e_{r}) = \binom{X}{r}, ε_{X}(h_{r}) = \binom{X + r − 1}{r} = (−1)^{r}\binom{−X}{r}

となり,

ε_{X}(m_{λ}) = u_{λ}\binom{X}{l(λ)}

となる. これらの公式は上の (a) より X を任意の正整数 n に置き換えたときに正しい. 従ってこれらは同値なものである.

2. 1 ≤ i ≤ n に対して x_{i} = 1/n, i > n に対して x_{i} = 0 とし, n → ∞ とする. 例 1 より

e_{r} = lim_{n→∞} \frac{1}{n^{r}} \binom{n}{r} = \frac{1}{r!}

となる. 同様に h_{r} = 1/r! となる. 従って E(t) = H(t) = e^{t} である. より一般的に, p_{1} = 1, r > 1 に対して p_{r} = 0 とすれば, λ = (1^{r})(r ≥ 0) を除く任意の分割 λ に対して m_{λ} = 0 を得る.

3. 1 ≤ i ≤ n に対して x_{i} = q^{i−1}, i > n に対して x_{i} = 0 とする. ここで q は不定元である. このとき

E(t) = ∏_{i=0}^{n−1}(1 + q^{i}t) = ∑_{r=0}^{n} q^{r(r−1)/2} [\begin{matrix}n \\ r \end{matrix}] t^{r}

となる. ここで [\begin{matrix}n \\ r \end{matrix}] は「q-二項係数」または Gauss 多項式

[\begin{matrix}n \\ r \end{matrix}] = \frac{(1 − q^{n})(1 − q^{n−1}) … (1 − q^{n−r+1})}{(1 − q)(1 − q^{2}) … (1 − q^{r})}

を意味する. また

H(t) = ∏_{i=0}^{n−1}(1 − q^{i}t)^{−1} = ∑_{r=0}^{∞} [\begin{matrix}n + r − 1 \\ r \end{matrix}] t^{r}

となる. これらの等式は n に関する帰納法で容易に証明できる. これより

e_{r} = q^{r(r−1)/2} [\begin{matrix}n \\ r \end{matrix}] , h_{r} = [\begin{matrix}n + r − 1 \\ r \end{matrix}]

が従う. h_{r} は l(λ) ≤ r かつ l(λ′) ≤ n − 1 なる分割 λ の母関数であり, e_{r} はそのような分割で全ての成分が相異なるものの母関数である.

4. 例 3 で n → ∞ とする. 即ち任意の i ≥ 1 に対して x_{i} = q^{i−1} とする. このとき

E(t) = ∏_{i=0}^{∞}(1 + q^{i}t) = ∑_{r=0}^{∞} q^{r(r−1)/2}t^{r}/φ_{r}(q)
H(t) = ∏_{i=0}^{∞}(1 − q^{i}t)^{−1} = ∑_{r=0}^{∞} t^{r}/φ_{r}(q)

となる. ここで

φ_{r}(q) = (1 − q)(1 − q^{2}) … (1 − q^{r})

である. 従ってこの場合

e_{r} = q^{r(r−1)/2}/φ_{r}(q), h_{r} = 1/φ_{r}(q)

となり, p_{r} = (1 − q^{r})^{−1} となる.

5. h_{r} は代数的独立なのでこれらを何らかの方法で特殊化し, 元の変数 x_{i} を忘れる. 言い換えると, H(t)(または E(t)) を定数項が 1 の t の冪級数にとる. (我々はすでに例 2 において H(t) = e^{t} とすることでこのことをやっている.) a, b, q を変数として,

H(t) = ∏_{i=0}^{∞} \frac{1 − bq^{i}t}{1 − aq^{i}t}

とする. このとき

h_{r} = ∏_{i=1}^{r} \frac{a − bq^{i−1}}{1 − q^{i}} , e_{r} = ∏_{i=1}^{r} \frac{aq^{i−1} − b}{1 − q^{i}}

となる. (例えば Andrews[A3], 第 2 章を参照せよ)

6. H(t) = ∏_{n=1}^{∞}(1 − t^{n})^{−1} とすると, h_{n} = p(n), 即ち n の分割の数となる. このとき E(−t) = ∏_{n=1}^{∞}(1 − t^{n}) で, Euler の五角数定理より, n が五角数, 即ち m ∈ ℤ に対して \frac{1}{2}m(3m + 1) の形をしていない限り e_{n} = 0 である. そして n = \frac{1}{2}m(3m + 1) のときは e_{n} = (−1)^{m(m+1)/2} となる.

(2.10) より p_{r} = σ(r), 即ち r の約数の和となる. 従ってこの場合 (2.11) は

(1)  p(n) = \frac{1}{n} ∑_{r=1}^{n} σ(r)p(n − r)

を与える.

7. H(t) = ∏_{n=1}^{∞}(1 − t^{n})^{−n} とすると, h_{n} = p_{2}(n), 即ち n の平面分割の数となる (第 5 章, 例 13). (2.10) より p_{r} = σ_{2}(r), 即ち r の約数の 2 乗和となる. 従って (2.11) より

(2)  p_{2}(n) = \frac{1}{n} ∑_{r=1}^{n} σ_{2}(r)p_{2}(n − r)

を得る.

(1) や (2) の m 次元 (m > 2) の分割への安易な一般化は誤りであることを注意しておく.

8. (2.6′) を e_{n} について解くことで e_{n} = det(h_{1−i+j})_{1≤i,j≤n}

を得, さらに

h_{n} = det(e_{1−i+j})_{1≤i,j≤n}

を得る. 同様に (2.11) から行列式の公式

p_{n} = | \begin{matrix}e_{1} & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 2e_{2} & e_{1} & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ne_{n} & e_{n−1} & e_{n−2} & ⋯ & e_{1} \end{matrix} |

n!e_{n} = | \begin{matrix}p_{1} & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ p_{2} & p_{1} & 2 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ p_{n−1} & p_{n−2} & · & ⋯ & n − 1 \\ p_{n} & p_{n−1} & · & ⋯ & p_{1} \end{matrix} |

を得, さらに

(−1)^{n−1}p_{n} = | \begin{matrix}h_{1} & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 2h_{2} & h_{1} & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ nh_{n} & h_{n−1} & h_{n−2} & ⋯ & h_{1} \end{matrix} |

n!h_{n} = | \begin{matrix}p_{1} & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ p_{2} & p_{1} & −2 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ p_{n−1} & p_{n−2} & · & ⋯ & −n + 1 \\ p_{n} & p_{n−1} & · & ⋯ & p_{1} \end{matrix} |

を得る.

9. (a) G を対称群 S_{n} の任意の部分群とする. G の巡回指数とは対称関数

c(G) = \frac{1}{|G|} ∑_{ρ} n_{G}(ρ)p_{ρ}

のことである. ここで n_{G}(ρ) は G に含まれる巡回型 ρ の元の数で, 和は n の全ての分割 ρ にわたる. 特に (2.14′) より

c(S_{n}) = ∑_{|ρ|=n} z_{ρ}^{−1}p_{ρ} = h_{n}

であり, 交代群 A_{n} に対しては

c(A_{n}) = h_{n} + e_{n}

となる.

(b) G が S_{n} の部分群で, H が S_{m} の部分群であるとき, G × H は S_{n} × S_{m} ⊂ S_{n+m} の部分群であり,

c(G × H) = c(G)c(H)

となる.

(c) G を S_{n} の部分群, Σ を n 個の正整数からなる数列 α = (α_{1}, …, α_{n}) の集合とする. このような数列 α に対して x_{α} = x_{α_{1}} … x_{α_{n}} と定義する. 群 G は Σ にこれらの数列の項の入れ替えとして作用し, α ↦ x_{α} は各 G-軌道において不変である.

(1)  c(G) = ∑_{α} x_{α}

を示せ. ここで α は Σ の G の軌道の完全代表系を動く. (Polya の定理) (

X = |G|^{−1} ∑_{(g,α)} x_{α}

とし, 和は (g, α) ∈ G × Σ で gα = α なるものを動くとせよ. そして X が (1) の両辺と等しいことを示せ.)

10. 例 8 と例 9 より S_{n} の巡回型が ρ の元の個数は行列式

d_{n} = n!h_{n} = | \begin{matrix}p_{1} & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ p_{2} & p_{1} & −2 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ p_{n−1} & p_{n−2} & · & ⋯ & −n + 1 \\ p_{n} & p_{n−1} & · & ⋯ & p_{1} \end{matrix} |

の p_{ρ} の係数に等しいことが従う. l を素数とする. l を法とすることで, この公式を元の数が l と互いに素な S_{n} の共役類の数を数えるのに用いる. n = a_{0} + n_{1}l とする. ここで 0 ≤ a_{0} ≤ l − 1 である. このとき d_{n} の対角線の一つ上の成分は,l の倍数のとき, 剰余をとると 0 になるので,

d_{n} ≡ d_{l}^{n_{1}}d_{a_{0}} (mod l)

が従う. d_{n} = n!c(S_{n}) の定義より明らかに d_{l} ≡ p_{1}^{l} − p_{l} (mod l)

であり

(1)  d_{n} ≡ (p_{1}^{l} − p_{l})^{n_{1}} · d_{a_{0}} (mod l)

となる. 従って全ての i ≥ 1 に対して n = a_{0} + a_{1}l + a_{2}l^{2} + … (0 ≤ a_{i} ≤ l − 1) ならば,

(1) より

d_{n} ≡ d_{a_{0}} ∏_{i≥1}(p_{1}^{l^{i}} − p_{l}^{l^{i−1}})^{a_{i}} (mod l)

が従う. ゆえに位数が l と互いに素な S_{n} の共役類の数を μ_{l}(S_{n}) で表すと

μ_{l}(S_{n}) = μ_{l}(S_{a_{0}}) ∏_{i≥1}(a_{i} + 1)

= p(a_{0}) ∏_{i≥1}(a_{i} + 1)

を得る. ここで p(a_{0}) は a_{0} の分割の個数である. 特に l = 2 のとき, μ_{2}(S_{n}) は常に 2 の冪となることがわかる. なぜならこのとき a_{i} は 0 か 1 のどちらかとなるからである. 即ち [n/2] が 2 の異なる r 冪の和であれば μ_{2}(S_{n}) = 2^{r} となる. 11.

f(t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{f_{n}t^{n}}{n!} , g(t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{g_{n}t^{n}}{n!}

を g(0) = 0 なる (係数が可換 ℚ-代数に属する) 形式的冪級数とする. f(t) の t を g(t) に変えて

H(t) = f(g(t)) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{H_{n}t^{n}}{n!}

とする. 明らかに係数 H_{n} は

H_{n} = ∑_{k=1}^{n} f_{k}B_{n,k}(g)

の形をしている. ここで B_{n,k} は g の係数の多項式で, 部分 Bell 多項式と呼ばれる. 各 H_{n} は f の係数について線型なので, B_{n,k} を求めるために f_{k} = a^{k} とし, f(t) = e^{at} とする. 例のごとく

H(t) = ∑_{n=0}^{∞} h_{n}t^{n}

と書けば, H(t) = exp(ag(t)) であり, (2.10) より

P (t) = \frac{d}{dt} log H(t) = ag′(t) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{ag_{n}t^{n−1}}{(n − 1)!}

となり, 全ての n ≥ 1 に対して p_{n} = ag_{n}/(n − 1)! となる. 従って (2.14′) より

H_{n} = n!h_{n} = ∑_{|λ|=n} \frac{n!}{z_{λ}} p_{λ}

となり, これより

B_{n,k} = ∑_{λ} \frac{n!}{z_{λ}} p_{λ} = ∑_{λ} c_{λ}g_{λ}

となる. ここで和は l(λ) = k なる n の分割 λ に渡り, λ = (1^{r_{1}}2^{r_{2}} …) のとき

g_{λ} = g_{λ_{1}}g_{λ2} …, c_{λ} = n!/∏_{i≥1} r_{i}!(i!)^{r_{i}}

である. 係数 c_{λ} は整数である. なぜなら c_{λ} は n 個の元からなる集合の λ_{1}, λ_{2}, … 個の元を含む互いに素な部分集合への分解の数となっているからである. 従って B_{n,k} は整数係数の g_{n} の多項式である.

特別な場合:

(a) g(t) = log(1 + t) とする. このとき B_{n,k} = s(n, k) は第 1 種 Stirling 数となる. (−1)^{n−k}s(n, k) は S_{n} の元で k 個の互いに素な巡回置換で作られるものの数である.

∑_{n,k≥0} s(n, k)\frac{t^{n}}{n!} a^{k} = (1 + t)^{a} = ∑_{n≥0} \binom{a}{n}t^{n}

であり,

∑_{k=0}^{n} s(n, k)a^{k} = a(a − 1) … (a − n + 1)

が従い, ゆえに s(n, k) は −1, −2, …, −n + 1 の n − k 次基本対称関数である.

(b) g(t) = e^{t} とすると, 全ての n ≥ 1 に対して g_{n} = 1 となり, B_{n,k} = S(n, k) は第 2 種 Stirling 数となる. S(n, k) は n 個の元からなる集合の k 個の互いに素な部分集合への分解の数であり, また 1, 2, …, k の (n − k) 次完全対称関数である.

12. 例 11 から推察すると, f や g が n 回微分可能な実数変数の関数で, f_{k}, g_{k}, (f ∘ g)_{k} を f, g, f ∘ g の k 階導関数とすると

(f ∘ g)_{n} = ∑_{k=1}^{n} B_{n,k}(g_{1}, g_{2}, …)(f_{k} ∘ g)

となる.

13. H(t) = (1 − t^{r})/(1 − t)^{r} とすると,

h_{n} = \binom{n + r − 1}{r − 1} − \binom{n − 1}{r − 1}

となり, (2.10) より n ≢ 0 (mod r) ならば p_{n} = r, n ≡ 0 (mod r) ならば p_{n} = 0 であることがわかる. 従って (2.14′) より

∑_{λ} z_{λ}^{−1}r^{l(λ)} = \binom{n + r − 1}{r − 1} − \binom{n − 1}{r − 1} (r ≥ 2)

となる. ここで左辺の和は n の分割 λ でいずれの成分も r で割り切れないものにわたる.

特に r = 2 の場合

∑_{λ} z_{λ}^{−1}2^{l(λ)} = 2

となる. 和は n の分割で成分が奇数からなるものにわたる.

14. n ≥ 1 に対して p_{n} = an^{n}/n! とする. このとき

h_{n} = a(a + n)^{n−1}/n!, e_{n} = a(a − n)^{n−1}/n!

となる. (t = xe^{−x} とし, P (t) = ae^{x}/(1 − x) を示すのに Lagrange の反転公式を用いよ.) 15.

∑_{ρ} z_{ρ}^{−1} = ∑_{σ} z_{σ}^{−1} = \frac{1 · 3 · 5 ⋯ (2n − 1)}{2 · 4 · 6 ⋯ 2n}

を示せ. ここで最初の和は 2n の分割 ρ で全ての成分が偶数であるものに渡り, 2 番目の和は 2n の分割 σ で全ての成分が奇数であるものにわたる.

16. 各 n ≥ 1 に対して e_{n} = p_{n} とする. ある a に対して

h_{n} = \frac{a^{n}}{(n + 1)!}, e_{n} = \frac{(−1)^{n}a^{n}B_{n}}{n!}

を示せ. ここで B_{n} は n 次 Bernoulli 数である.

17. 各 n ≥ 1 に対して h_{n} = n とすると, 数列 (e_{n})_{n≥1} は周期 3 で周期的であり, 数列 (p_{n})_{n≥1} は周期 6 で周期的である.

18. (Muirhead の不等式) n の分割 λ に対して, x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) の λ-平均は

M_{λ}(x) = \frac{1}{n!} ∑_{w∈S_{n}} w(x^{λ})

で定義される. 特に M_{(n)}(x) は (x_{1}^{n}, …, x_{n}^{n}) の相加平均で, M_{(1^{n})}(x) は相乗平均である. λ, μ を n の分割とする. 次の条件は同値である; (i) λ ≥ μ ; (ii) 全ての x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ_{+}^{n} に対して M_{λ}(x) ≥ M_{μ}(x) ((i) ならば (ii) を示すには, (1.16) より λ = R_{ij}μ と仮定して, この場合に

x_{i}^{λ_{i}}x_{j}^{λ_{j}} + x_{j}^{λ_{i}}x_{i}^{λ_{j}} ≥ x_{i}^{μ_{i}}x_{j}^{μ_{j}} + x_{j}^{μ_{i}}x_{i}^{μ_{j}}

を示せば十分である. (ii) ならば (i) を示すには, 十分大きい X に対して x_{1} = … = x_{r} = X とし, x_{r+1} = … = x_{n} = 1 とすれば, λ_{1} + … + λ_{r} ≥ μ_{1} + … + μ_{r} が導かれる.)

19. p_{n}^{(r)} = ∑ m_{λ} で和は長さが r の n の分割 λ にわたるとする. (即ち p_{n}^{(1)} = p_{n}) このとき

∑_{n,r} p_{n}^{(r)}t^{n−r}u^{r} = E(u − t)H(t)

及び

∑_{n≥r} p_{n}^{(r)}t^{n−r} = \frac{(−1)^{r}}{r!} E^{(r)}(−t)H(t)

を示せ. ここで E^{(r)}(t) は E(t) の t に関する r 階導関数である.

p_{n}^{(r)} = ∑_{a+b=n}(−1)^{a−r}\binom{a}{r}e_{a}h_{b}

であり, (n ≥ r ならば)p_{n}^{(r)} は行列 (a_{ij})_{0≤i,j≤n−r} の行列式に等しいことが推察される.

ここで a_{i0} = \binom{r + i}{r}e_{r+i} で, j ≥ 1 ならば a_{ij} = e_{i−j+1} である.

20. 任意の分割 λ に対して, 例 1(a) 中のように u_{λ} = l(λ)!/ ∏_{i≥1} m_{i}(λ)! とする. このとき

p_{n} = n ∑_{|λ|=n} \frac{(−1)^{l(λ)−1}}{l(λ)} u_{λ}h_{λ}

= −n ∑_{|λ|=n} \frac{ε_{λ}}{l(λ)}u_{λ}e_{λ}

及び

e_{n} = ∑_{|λ|=n} ε_{λ}u_{λ}h_{λ}

を示せ. (H^{+}(t) = ∑_{n≥1} h_{n}t^{n} とし, log(1 + H^{+}(t)) と (1 + H^{+}(t))^{−1} を H^{+}(t) の冪に展開して t^{n} の係数をとれ.)

21. 各 n ≥ 1 に対して x_{n} = 1/n^{2} とする. このとき

(1)  E(−t^{2}) = ∏_{n≥1} (1 − \frac{t^{2}}{n^{2}} ) = \frac{sin πt}{πt}

となり, 各 n ≥ 0 に対して e_{n} = π^{2n}/(2n + 1)! となる.

p_{r} = ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2r}} = ζ(2r)

である. ここで ζ は Riemann のゼータ関数である. (1) から推察すると

−2t^{2}P (t^{2}) = t\frac{d}{dt} log E(−t^{2}) = πt cos πt − 1

となり, 従って

ζ(2r) = (−1)^{r−1}2^{2r−1}π^{2r}B_{2r}/(2r)!

となる. ここで B_{2r} は 2r 次 Bernoulli 数である.

22. (a) Jacobi の 3 重積公式

∑_{n∈ℤ} t^{n^{2}}u^{n} = ∏_{n≥1}(1 − t^{2n})(1 + t^{2n−1}u)(1 + t^{2n−1}u^{−1})

より, u = −1 と置くことによって

∑_{n∈ℤ}(−1)^{n}t^{n^{2}} = ∏_{n≥1} \frac{1 − t^{n}}{1 + t^{n}}

を得る. これよりもし

(1)  E(t) = ∏_{n≥1} \frac{1 + t^{n}}{1 − t^{n}}

であれば, n ≥ 1 が平方数か否かによって h_{n} = 2 または 0 となる.

(b) (1) と (2.10′) から

p_{n} = 2(−1)^{n−1}σ′(n)

となる. ここで σ′(t) は n の約数 d ≥ 1 で n/d が奇数となるものの和である.

(c) N_{r}(n) を n の r 個の平方数の和による表示の数, 即ち x_{1}^{2} + … + x_{r}^{2} = n なる整数ベクトル (x_{1}, …, x_{r}) ∈ ℤ^{r} の数とする. 上の (b) と例 8 より

N_{r}(n) = \frac{(2r)^{n}}{n!} | \begin{matrix}σ′(1) & 1/2r & 0 & ⋯ & 0 \\ σ′(2) & σ′(1) & 2/2r & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & & ⋮ \\ σ′(n − 1) & σ′(n − 2) & ⋯ & ⋯ & (n − 1)/2r \\ σ′(n) & σ′(n − 1) & ⋯ & ⋯ & σ′(1) \end{matrix} |

となる.

23. G が有限群で, d が正整数のとき, w_{d}(G) を G における x^{d} = 1 の解の数とする.

(1)  ∑ \frac{1}{n!}w_{d}(S_{n})t^{n} = exp (∑ \frac{1}{r}t^{r})

を示せ. (x ∈ S_{n} の巡回型が λ のとき, x^{d} = 1 となるのは分割 λ の全ての成分が d で割り切れるときのみである. 従って

(2)  w_{d}(S_{n})/n! = ∑ z_{λ}^{−1}

で和はそのような n の分割 λ にわたる. φ_{d} =: Λ_{ℚ} → ℤ なる準同型写像を, r が d で割り切れるか否かによって φ_{d}(p_{r}) = 1 または 0 となるように定める. このとき (2) の右辺は (2.14′) より φ_{d}(h_{n}) に等しく, 従って (1) の母関数は φ_{d}(H(t)) となる. )

24. 環 Λ の他の対合は次のように定義される.

(1)  u = tH(t) = t + h_{1}t^{2} + h_{2}t^{3} + …

とする. このとき t は u の冪級数として表すことができる. 即ち各 r ≥ 1 に対して h_{r}^{∗} ∈ Λ^{r} を係数として

(2)  t = u + h_{1}^{∗}u^{2} + h_{2}^{∗}u^{3} + …

とできる. (1) と (2) の公式は各 r ≥ 1 に対して ψ(h_{r}) = h_{r}^{∗} によって定義される環準同型写像 ψ : Λ → Λ が Λ 上の対合となっていることを示している.

各 f ∈ Λ に対して, f^{∗} = ψ(f) とする. このようにして例えば分割 λ = (λ_{1}, λ_{2}, …) に対して h_{λ}^{∗} = h_{λ_{1}}^{∗}h_{λ_{2}}^{∗} … とすれば, h_{λ}^{∗} は Λ の ℤ-基底をなす.

(a) h_{n}^{∗} を明示的に求めるために以下を議論する. (2) より

dt = ∑_{n≥0}(n + 1)h_{n}^{∗}u^{n}du

を得, 従って (n + 1)h_{n}^{∗} は微分

dt/u^{n+1} = dt/t^{n+1}H(t)^{n+1}

の留数であり, ゆえに H(t)^{−n−1} を t の冪で展開したときの t^{n} の係数に等しい. 例 20 のように H(t) = 1 + H^{+}(t) と書けば, 例 20 中の u_{λ} を用いて

(n + 1)h_{n}^{∗} = ∑_{|λ|=n}(−1)^{l(λ)}\binom{n + l(λ)}{n}u_{λ}h_{λ}

が従う.

(b) 同様にして

p_{n}^{∗} = ∑_{|λ|=n} z_{λ}^{−1}(−n)^{l(λ)}p_{λ}

及び

(n − 1)e_{n}^{∗} = − ∑_{|λ|=n} \binom{n − 1}{l(λ)}u_{λ}e_{λ}

を示せ.

25. f(x), g(x) ∈ ℤ[x] を定数項が 1 の形式的冪級数とする. t = xf(x) とし, g(x) を t の冪級数に展開する:

g(x) = H(t) = ∑_{n≥0} h_{n}t^{n}

φ_{n}(f, g) を (f + xf′)g/f^{n+1} の x^{n} の係数とする. ここで f′ は f の導関数である. このとき

h_{n} = φ_{n}(f, g), e_{n} = (−1)^{n}φ_{n}(f, g^{−1})

となり, (例 24 の表記を用いると)

h_{n}^{∗} = φ_{n}(fg, g^{−1}), e_{n}^{∗} = (−1)^{n}φ(fg, g)

さらに ψ_{n}(f, g) が g′/f^{n}g の x^{n−1} の係数のとき

p_{n} = ψ_{n}(f, g), p_{n}^{∗} = ψ_{n}(fg, g^{−1})

を得る.

(a) f(x) = (1 + x)^{−α} とし, g(x) = (1 + x)^{β} とする. このとき

φ_{n}(f, g) = \frac{β}{nα + β} \binom{nα + β}{n} = u_{n}(α, β)

となる. 従って

h_{n} = u_{n}(α, β),  e_{n} = u_{n}(1 − α, β)
h_{n}^{∗} = u_{n}(α − β, −β),  e_{n}^{∗} = u_{n}(1 − α + β, −β)

であり

p_{n} = \frac{β}{α}\binom{nα}{n}, p_{n}^{∗} = \frac{nα − nβ}{n}

である. 特に u_{n}(2, 1) は n 次Catalan 数 C_{n} = (n + 1)^{−1}\binom{2n}{n} であり, u_{n}(2, 2) = C_{n+1}, u_{n}(2, −1) = C_{n−1} である. 従って p_{n} = a\binom{2n}{n} で a = \frac{1}{2}, 1, −\frac{1}{2} のとき, それぞれ h_{n} = C_{n}, c_{n+1}, −C_{n−1}, h_{n}^{∗} = −δ_{1n}, (−1)^{n}(n + 1), n^{−1}\binom{3n}{n−1} となる.

(b) f(x) = e^{−αx}, g(x) = e^{βx} とする. このとき

φ_{n}(f, g) = β(nα + β)^{n−1}/n! = v_{n}(α, β)

である. 従って

h_{n} = v_{n}(α, β),  e_{n} = v_{n}(1 − α, β)
h_{n}^{∗} = v_{n}(α − β, −β),  e_{n}^{∗} = v_{n}(1 − α + β, −β)

であり,

p_{n} = \frac{β(nα)^{n−1}}{(n − 1)!} , p_{n}^{∗} = \frac{−β(nα − nβ)^{n−1}}{(n − 1)!}

である.

26. k を位数 q の有限体とし, V を n 次元 k-ベクトル空間とする. S = S(V) を V の k 上の対称代数とする (x_{1}, …, x_{n} が V の k-基底のとき, S = k[x_{1}, …, x_{n}] となる).

f_{V} (t) = ∏_{v∈V} (t + v)

を S[t] の多項式とする.

(a) 任意の a, b ∈ k と不定元 t, u に対して

f(at + bu) = af(t) + bf(u)

を示せ. (a ∈ k, a ≠ 0 のとき,

f(at) = ∏_{v∈V} (at + v) = a^{q^{n}} ∏_{v∈V} (t + a^{−1}v)
= af(t)

を得る. 次に g_{r}(u) ∈ S[u] を

f(t + u) − f(t) − f(u) = ∑_{r≥0} t^{r}g_{r}(u)

となるように決める. 任意の v ∈ V に対して f(t + v) = f(t) かつ f(v) = 0 であるから, 任意の v ∈ V に対して g_{r}(v) = 0 となる. g_{r} の次数は q^{n} 未満なので, 各 r に対して g_{r} = 0 である. 従って f(t + u) = f(t) + f(u) となる. )

(b) (a) より f_{V} (t) は

f_{v}(t) = t^{q^{n}} + a_{1}(V)t^{q^{n−1}} + … + a_{n}(V)t

なる形をしている. ここで各 a_{r} ∈ S であり, 特に a_{n}(V) は V の 0 でないベクトルの積である.

(1)  ∑_{L<V} a_{1}(L) = 0

を示せ. ここで和は V の全ての線 (即ち 1 次元部分空間) L にわたる. (V に属する各 v ≠ 0 は一意的に定まる線 L = kv に属するので,

f_{V} (t) = t ∏_{L<V} t^{−1}f_{L}(t) = t ∏_{L<V} (t^{q−1} + a_{1}(L))

が従う. ゆえに和 (1) は f_{V} (t) の t^{q^{n}−1} の係数と等しく, これは明らかに 0 である. )

(c) U を V の部分ベクトル空間とする. V から S への写像 v → f_{U}(v) は上の (a) より k-線型写像であり, その核は U である. 従ってその像 f_{U}(V) は V の U による商と同型であり, これを V/U と表すことにする. V/U の各元はある v ∈ V に対して ∏_{u∈U}(v + u) の形の積である. 即ち V の中の U の剰余類の元による S の積である.

f_{V} (t) = f_{V/U}(f_{U}(t))

及び, T が U の部分ベクトル空間のとき V/U = (V/T)(U/T)

を示せ.

(d) 1 ≤ r ≤ n − 1 に対して

(2)  a_{r}(V) = ∑_{L<V} a_{r}(V/L)

を示せ. ここで和は先のように V の線 L にわたる. (上の (c) より f_{V} (t) = f_{V/L}(f_{L}(t)) を得るので,

a_{r}(V) = a_{r}(V/L) + a_{r−1}(V/L)a_{1}(L)^{q^{n−r}}

が従う. V の線 L の数は 1 + q + … + q^{n−1} ≡ 1 (mod q) であるから,

(3)  a_{r}(V) = ∑_{L} a_{r}(V/L) + ∑_{L} a_{r−1}(V/L)a_{1}(L)^{q^{n−r}}

が従う. n = dim V に関する帰納法より,

(4)  a_{r−1}(V/L) = ∑_{M} a_{r−1}(V/M)

としてよい. ここで和は L を含む V の 2 次元部分空間 M にわたる. 従って (3) の右辺の第 2 項は

∑_{M} a_{r−1}(V/M) ( ∑_{L<M} a_{1}(L))^{q^{n−r}}

となり, 上の (1) より 0 となる. )

(e) (d) より

a_{r}(V) = ∑_{U} a_{r}(V/U)

である. 和は V の (n − r) 次元部分空間 U に渡り, a_{r}(V/U) は v ∉ U なる v ∈ V の積である.

27. 例 26 のように, k を位数 q の有限体とし, x_{1}, …, x_{n} を q 上独立な不定元とし, k[x] = k[x_{1}, …, x_{n}] とする. V を x_{1}, …, x_{n} によって張られる k-ベクトル空間とし,

(1)  f_{V} (t) = t^{q^{n}} + a_{1}t^{q^{n−1}} + … + a_{n}t

を根が V に属するモニックな多項式とする. k[a] = k[a_{1}, …, a_{n}] ⊂ k[x] とする.

(a) (1) の係数 a_{1}, …, a_{n} は k 上代数的独立である. (b_{1}, …, b_{n} を k 上独立な不定元とし, W を多項式

g(t) = t^{q^{n}} + b_{1}t^{q^{n−1}} + … + b_{n}t

の分解体における根からなる集合とする. g′(t) = b_{n} ≠ 0 であるからこれらの根は全て相異なり, α, β ∈ k に対して g(αt + βu) = αg(t) + βg(u) より W は n 次元 k-ベクトル空間である. W の基底を (y_{1}, …, y_{n}) にとり, θ : k[x] → k[y] を, x_{i} を y_{i}(1 ≤ i ≤ n) に写す k-代数準同型写像とする. このとき θ(a_{i}) = b_{i}(1 ≤ i ≤ n) で, b_{i} は k 上代数的独立であるから a_{i} も k 上代数的独立である. )

(b) G = GL(V) ≅ GL_{n}(k) をベクトル空間 V の自己同型群とする. このとき G は代数 k[x] に作用する; k[x]^{G} を G-不変な部分代数とする. G は f_{V} (t) の根を置換するので, これは各係数 a_{i} を固定する. 従って k[a] ⊂ k[x]^{G} である. 実際は k[a] = k[x]^{G} である. (下の (d) を参照)

(c) k[x] は基底を (x^{α})_{α∈E} とする自由 k[a]-加群である. ここで

E = {α = (α_{1}, …, α_{n}) : 0 ≤ α_{i} ≤ q^{n} − q^{i−1} − 1}

である. (0 ≤ r ≤ n − 1 に対して, x_{1}, …, x_{r} で張られる V の部分空間を V_{r} とする (V_{0} = 0 である). 多項式 g_{r}(t) = f_{V} (t)/f_{V_{r}}(t) は次数 q^{n} − q^{r} のモニック多項式で, 環 k[a, x_{1}, …, x_{r}] に係数を持ち, 根として x_{r+1} を持つ.

今 h ∈ k[x] とする. g_{n−1} を x_{n} における h の次数を q^{n} − q^{n−1} 以下に下げるのに用いる. そして g_{n−2} を x_{n−1} における h の次数を q^{n} − q^{n−2} 以下に下げるのに用いる. 同様にしていくと最後に

(2)  h = ∑_{α∈E} h_{α}x^{α}

で, 係数 h_{α} ∈ k[a] ⊂ k[x]^{G} を得る.

従って x^{α}, α ∈ E は k[x]^{G}-加群として k[x] を張る. ゆえにこれらはまた k(x)^{G} 上のベクトル空間として体 k(x) = k(x_{1}, …, x_{n}) を張る. なぜなら k(x) の元は u ∈ k[x] と v ∈ k[x]^{G} を用いて u/v の形に書けるからである. しかし Galois 理論によれば, k(x) の k(x)^{G} 上の次元は

|G| = ∏_{i=1}^{n}(q^{n} − q^{i−1}) = |E|

であり, 従って (x^{α})_{α∈E} は k(x) の k(x)^{G} 上の基底となる. 即ち h ∈ k[x] に対して (2) の表示は一意的である. )

(d) いま h ∈ k[x]^{G} とする. このとき (2) において α ≠ (0, …, 0) ならば h_{α} でなければならず, h = h_{0,...,0} である. 従って k[x]^{G} = k[a] となる. (Dickson の定理)

注意及び参考文献例 11. Bell 多項式, Stirling 数等の詳しいことは例えば L.Comtet’s book [C3] を参照せよ. 例 13. この例は A.O.Morris [M15] による. 例 27. 著者はここで与えた Dickson の定理の証明を R.Steinberg に学んだ.